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1、2000 年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3 分，共 15 分）1.设fxxx，则ffx. 2. 1limln1xxxxxx. 3. 14451xdxx. 4.通过直线122123:32;:312321xtxtLytLytztzt的平面方程为. 5.设,zz x y由方程,0yzFxx确定（F为任意可微函数） ，则zzxyxy二、选择题（每题3 分，共 15 分）1.对于函数112121xxy，点0 x是( ) A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设fx可导，1sinF xfxx，若欲使F x在0 x可导，则必有（）A. 00f； B
2、. 00f；C. 000ff；D000ff3. 00sinlimxyxyxy（）A. 等于 1； B. 等于 0；C. 等于1；D 不存在4.若0000,xyxyffxy都存在，则,fx y在00,xy( ) A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在；D 极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数，则级数21sin1nnnn( ) A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散；D 收敛性与取值有关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 -
3、- - - - - - - - - 三（ 6 分）设fx有连续导数，00,00ff，求20020limxxxf t dtxf t dt. 四（ 6 分）已知函数( )yy x由参数方程(1)010yxtttey确定，求202td ydx. 五（ 6 分）设,fxg x在,a b上可微，且0gx，证明存在一点c acb，使得faf cfcg cg bgc. 六（ 6 分）设fxx，sin0202xxg xx，求0 xFxf t g xt dt. 七（ 6 分）已知,uu x y由方程, , , ,0,0ufx y z tg y z th z t确定，其中, ,f g h都是可微函数，求,uuxy
4、. 八（ 8 分）过抛物线2yx上一点2,a a作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线241yxx所围成的平面图形面积最小. 九（ 8 分）求级数2311111 32 33 33nn的和 . 十（8 分）设fx在, a b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：21bbaafx dxdxbafx. 十一（ 8 分）已知两个球的半径分别为, ()a b ab，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积 . 十二（ 8 分）计算曲面积分222xyz ds，其中为曲面222(0)zaxya. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
5、- - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2002 年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5 分，共 40 分）1.tan0lim0 xxkxeec cx，则k，c2. 设fx在1,上可导，下列结论成立的是A. 若lim0 xfx，则fx在1,上有界 B. 若lim0 xfx，则fx在1,上无界C. 若lim1xfx，则fx在1,上无界3. 设由1yex yxx确定( )yy x，则0y. 4.arcsinarccosxxdx. 5. 曲线22222zxyxyy，在点1,1,2的切线的参数方程为. 6.设,sinx
6、yzfg eyx，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，则2zx y7. 交换二次积分的次序2130,xxdxfx y dy. 8.幂级数111112nnxn的收敛域. 二.（8 分）设40tannnIxdx，求证1122121nInnn. 三.（8 分）设fx在,a b上连续，( )( )0bbxaaf x dxf x e dx，求证 : fx在,a b内至少存在两个零点. 四.（8 分）求直线1211xyz绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2yy所包围的立体的体积 . 五.（9 分）设k为常数，试判断级数221lnnknnn的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.
7、（9 分）设221arctan,0,0,0,0,0yx yxyfx yx y讨论,fx y在0,0连续性， 可偏导性与可微性. 七.（9 分）设f u在0u可导，2200,:2 ,0fD xytx y，求22401limtDfxyydxdyt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 八.（9 分）设曲线AB的方程为22430 xyyx，一质点P在力F作用下沿曲线AB从0,1A运动到0,3B，力F的大小等于P到定点2,0M的距离， 其方向垂
8、直于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功 . 2004 年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5 分，共 40 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 1.0 x时，sincoscos2xxxx与kcx为等价无穷小，则c2. 21limarctanxxxx3. 2222111lim4164nnnnn4. 4ln 1,4fxxxn时0nf5. 2sincoscossinxxxdxxx6.11 2n
9、nnn. 7.设,fx y可微，1,22,1,23,1,24xyfff，,2xfx fxx，则1. 8. 设010 xxfxg x其他，D为,xy，则Df y f xy dxdy. 二 （10 分）设fx在, a b上连续，fx在, a b内二阶可导，( )( )0f af b，( )0bafx dx，求证 : 1) ,a b内至少存在一点使得ff；2）,a b内至少存在一点,使得ff三.（10 分）设22:4 ,Dxyx yx，在D的边界yx上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界224xyx于Q1）试将,P Q的距离PQ表示为t的函数； 2）求D饶yx旋转一周的旋转体的
10、体积. 四（ 10 分）已知点(1,0,1),(3,1,2)PQ-, 在平面212xyz-+=上求一点M，使PMMQ+最小 . 五（ 10 分）求幂级数1132nnnnxn的收敛域 . 六（ 10 分）求证：3322532xyzdxdydz，其中222:1xyz. 七（ 10 分）设fx连续，可导，11f，G为不含原点单连通域，任取,MNG，G内积分212NMydxxdyxfy与路径无关 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （1
11、）求fx； （ 2）求212ydxxdyxfy其中为22331xy边界取正向 . 2006 年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5 分，共 40 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 1.3xfxa，41limln12nfffnn2. 25001lim1xtxxedtx3. 1202arctan1xdxx4.已知点4,0,0 ,(0, 2,0),(0,0,2)ABC,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程
12、为5. 设由yzxze确定( ,)zz x y，则,0edz6.函数2,xfx yeaxby中常数,a b满足条件时，1,0f为其极大值 . 7.设是sin(0)yax a上从点0,0到,0的一段曲线，a时，曲线积分222yxy dxxyedy取最大值 . 8.级数1111npnnnn条件收敛时，常数p的取值范围是二.（10 分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2 小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为 100 公里 /小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里 /小时3. 三.（10 分）曲线的极坐标方程为1cos02，求该曲线在4所对应的点的切线L的直角
13、坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积. 四 （ 8分）设( )f x在,上是导数连续的有界函数，1f xfx， 求证：1.,f xx. 五（ 12 分）设锥面22233(0)zxyz被平面340 xz截下的有限部分为. （1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，(2,0, 2 3),( 1,0,3)AB为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程 . 六（ 10 分）曲线220 xzy绕z轴旋转一周生成的曲面与1,2zz所围成的立体区域记为，求2221dxdydzxyz. 七（ 10 分） 1）设幂级数21nnn
14、a x的收敛域为1,1，求证幂级数1nnnaxn的收敛域也为1,1；2）试精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 问命题 1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 2008 年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一填空题（每题5 分，共 40 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - -
15、 - - - - - - - 1.a =，b=时，2limarctan2xaxxxbxxp+= -2. a =，b=时( )ln(1)1xf xaxbx=-+在0 x?时关于x的无穷小的阶数最高。3.2420sincosxxdxp=4.通过点()1,1,1-与直线,2,2xt yzt=+的平面方程为5.设222,xzxy=-则(2,1)nnzy?= 6.设D为,0,1yx xy=围成区域，则arctanDydxdy =蝌7.设G为222 (0)xyx y+=?上从(0,0)O到(2,0)A的一段弧，则()()xxyex dxexy dyG+-= 8.幂级数1nnnx￥=?的和函数为，收敛域为。
16、二 （8 分）设数列nx为1223,33,33(1,2,)nnxxxxn+=-=-+=LL证明：数列nx收敛，并求其极限三 （8 分）设( )f x在,a b上具有连续的导数，求证/1max( )( )( )bbaxbaaf xf x dxfx dxba?-蝌四 （8 分） 1）证明曲面:(cos )cos,sin ,(cos )sinxbayazbaqjqqjS=+=+()02 ,02qpjp()0ab为旋转曲面2）求旋转曲面S所围成立体的体积五 （10 分）函数( , )u x y具有连续的二阶偏导数，算子A定义为( ),uuA uxyxy抖=+抖1）求( )A uA u-；2)利用结论
17、1）以,yxyxxh=-为新的自变量改变方程222222220uuuxxyyxx yy抖?+=抖抖的形式六 （8 分）求26001limsin()ttxtdxxydyt+?蝌七 （9 分）设222:1(0)xyzzS+=?的外侧，连续函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 222( ,)2()()()( , )2)zzzf x yxyx zedydzy zedzdxzf x yedxdyS=-+-蝌，求( ,)f x y八（ 9 分
18、）求23(3)( )(1) (13 )xxf xxx-=-的关于x的幂级数展开式2010 年江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4 分，共 32 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 1.30sin sinlimsinxxxx2.设函数,f可导，arctantanyfxx，则y3. 2cosyx，则ny4.21xxdxx e5. 4211dxx6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.设2,x
19、fxyfy可微，123,22,3,23ff，则,2,1x ydz8.级数1111 !2!nnnnn的和为二 （10 分）设fx在0,c上二阶可导， 证明：存在0,c， 使得300212cccf x dxff cf三 （10 分）已知正方体1111ABCDA B C D的边长为2，E为11D C的中点，F为侧面正方形11BCC B的中点，（1）试求过点1,A E F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,A E F的平面截正方体所得到的截面的面积. 四 （ 12 分）已知ABCD是等腰梯形，/,8BCAD ABBCCD,求,AB BC AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体
20、积最大。五（ 12 分）求二重积分22cossinDxy dxdy，其中22:1Dxy六 （12 分）应用高斯公式计算222axbyczdS， （, ,a b c为常数），其中222:2xyyz. 七.（12 分）已知数列na，123111,2,5,3nnnaaaaaa2,3,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性 . 2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（本一）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 一、填空题（每小题4分，共
21、 32分，把答案写在题中横线上）1、3431) 1()1)(1)(1(limxxxxx2、),1ln(2xy则)(ny3、208sin xdx4、131arccos1dxxx5、函数),(),(),(yxfxx皆可微，设),(),(xyyxfz则yzxz6、设,:222zzyx则dxdydzzyx2)(7、点)3,1 ,2(到直线22311zyx的距离为8、级数2) 1()1(nkknnn为条件收敛，则常数k的取值范围是二、 （每小题 6分，共 12分）（1）求nnnn1)1(321lim. （2）设)(xf在0 x处三阶可导，且,3)0(,0)0(ff求30)()1(limxxfefxx.三
22、、 （每小题 6分，共 12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数)(xf在0 x处可导，但在0 x的某去心邻域内处处不可导. （2）函数)(xf在),(上一阶可导)0(，)0(f为极值，且)0(,0(f为曲线)(xfy的拐点 . 四、 （10分） 设函数),(yxf在平面区域D上可微，线段PQ位于D内， 点QP,的坐标分别为),(),(yxQbaP，求证：在线段PQ上存在点),(M，使得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
23、-第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - )(,()(,(),(),(byfaxfbafyxfyx五、 （12分）计算曲线积分dzyxzdyxzydxzyx)()()(222222222，其中为yzyx6222与)0(422zyyx的交线，从z轴正向看去为逆时针方向. 六 （12 分）点)3,2,5(,)1, 2, 1(BA在平面322:zyx的两侧，过点BA,作球面使其在平面上截得的圆最小 . （1）求球面的球心坐标与该球面的方程. （3）证明：直线AB与平面的交点是圆的圆心 . 七 （12 分） 求级数122)1()1(nnnnnn的和 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -