《2022年最新历浙江省高等数学竞赛--工科类试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年最新历浙江省高等数学竞赛--工科类试题.pdf（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品文档精品文档04 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一计算题（每小题 15 分，满分 60 分）1 计算：200cos2limtan11xtxxetdtxxxx。解: 原式2002cos2limtanxtxetdtxxxxx00202cos22lim2tansecxxexxxxxx00202cos22limtantanxxexxxxxx00203332cos22limtantanxxexxxxxxxxx其中223333000tantantantanlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxx2222232300001sectantantan4limlimlimlim33
2、3xxxxxxxxxxxxxx原式00320032cos223cossin1limlim423xxxxxexxexexxx0001cossinsincoslim22xxxxxexexexexx00012sin1lim42xxexx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档30tansinlimxxxx在课堂上作为一个典型的例子; 3tan()xxO x2 计算：20cos2004xdxxx。解: 原式220cos200
3、424xdxx2222sin20044xdxt22222222sin2004200444xdxdxtt22222212004200444120044tdt22221arctan2004200444t221arctan2004200444. 其他想法 : 原式22202coscos20042004xxdxdxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档后者222022cos()cos22004()()200422xtt
4、xdxdtxxtt2202sin20044tdtt, 看来做不下去了 ! 3 求函数22,415fx yxyy在22,41x yxy上的最大、小值。解: 在圆内 (开集) ,2xfx yx, ,815yfx yy, 解得驻点15(0,)8, 但不在圆域内 . 在圆周上2241xy, 求22,415fx yxyy的极值, 是条件极值问题 . 2222,415(41)F x yxyyxy,280 xFx yxx,81520yFx yyy22,410Fx yxy解得: 驻点(0,1),(0, 1)(0,1)19f,(0, 1)11f故最大值为(0,1)19f, 最小值为(0, 1)11f. 4 计算
5、：3max,Dxy xd，其中,11,01Dx yxy。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档3max,Dxy xd123433DDDDxydx dx dxyd16这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二 （本题满分 20 分） 设1tan1xfxarcx，求0nf. 解: 21( )1fxx, 则2(1)( )1xfx, 则两边对x求(1)n阶导数 ,由莱布尼茨公式得: 2( )(1)(2)(1)( )2(1)( )(1
6、)( )0nnnxfxnxfxn nfx, 令0 x,得: ( )(2)(0)(1)(0)nnfn nf,而(0)1,(0)0ff, 则()120,;(0)( 1)!,;nnnfnn当 为偶数当 为奇数. 2yx1D2Dxyo3D4D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档三 （本题满分 20 分） 设椭圆22149xy在3 31,2A点的切线交y轴于B点，设l为从A到B的直线段，试计算sin3cosln12 331ly
7、y dxyxxdyx。解: 方程22149xy两边对x求导得: 2029xyy, 则132xy, 直线段l的方程为 : 32 3, 012yxx令sin( , )31yP x yyx, ( , )cosln12 33Q x yyxx, 则cos31Pyyx, cos2 31Qyxxsi n3c o sl n12331lyy d xyxxd yx3 3DBCCAd33122 303sin3323 333312Dddydxx933 39213 3ln2 sinln 2 sin422242. 3 31,2ABlOxyC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下
8、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档四 （本题满分20 分） 设函数f连续，ab，且0bafx dx，试证明：0fx，,xa b。证明: 01lim()nbiiaifx dxfx由于ab, 故0ix, 无论,a b怎么分、1,iiixx怎么取，01lim()niiifx存在且相等，即01lim()0niiifx，由于f连续，故0fx，,xa b； （理由说的不够充分）假设存在0,xa b，使得00fx，不妨设00fx，则000,0 xxxfx都有，由于函数f连续，故在00,xx内存在最大、最小值分
9、别为00,Mm，显然000,0Mm，而00020bxaxfx dxfx dxm与0bafx dx矛盾，故假设错误，即0fx，,xa b。五 （本题满分 15 分） 判别级数211!nnn的敛散性。解：斯特林公式：12!2,01nnnnnee极限形式：12!1lim12nnnn en. 22111211!2nnnnnnnnnee精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档22222211112661111!22nnnnnnnn
10、nnnennnennee故211!nnn收敛. 判别11!nnn的敛散性 : 证明: 1lim0!nnn(1) 证明!3nnn, 即!3nnn1) 当1n, 显然成立 ; 2)假设n时也成立 ,即!3nnn; 3) 当1n时, 1111113333nnnnnnnnnnnn1111!(1)!33(1)nnnnnnnnnnn11(1)!3nnnn而1nnn是单调递增数列, 而且有界 (证明两个重要极限里第2 个). (1)!n13!nnn, 而3lim0nn, 由夹逼定理得 : 1lim0!nnn. 2219!nnn,而219nn收敛, 由比较判别法得 : 211!nnn也收敛 . 精品资料 -
11、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档六 （本题满分 15 分） 设函数fx在0,1上连续，证明：22112222002fxfxdxdxtxttx，0t。证明: 221112222220001fxfxdxdxdxtxtxtx221122220011arctan2fxfxdxdxtttxttx. 许瓦兹不等式 : 有限项情况 :222111nnniiiiiiiabab, 0,0,1,2, ,iiabin(乘积和的平方小于等于平方和的乘
12、积) 可推广到可数情况 : 222111iiiiiiia bab; 均值的形式 : 2()( )( )EEE; 积分的形式 : 2( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxf x dxg x dx2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12 分满分散60 分）1 计算11|12 |x dx2 设ln(1),0( ),0 xxf xxaxb x可导，求常数,a b的值3 计算23lim2nnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 40 页 -
13、 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4 计算sin3cos4sinxdxxx5 求函数( )|1|3|f xxxx的值。二、（本题满分20 分）设( )f x在0 x点二阶可导，且0( )lim11cosxf xx，求(0),(0)ff和(0)f的值。三、（本题满分20 分）证明：当02x时，31tan3xxx四、（本题满分20 分）设22222222222222(1 sin )sin10(1 sin),1sincos4xxxAdx Bdx Cdxxxxx，试比较 A，B，C 的大小。五、（本题满分15 分）设22221111,1,2,3,.122kakkkkkk（1）求li
14、mkka；（2）证明数列ka单调减少。六、（ 本 题 满 分15 分 ）对 下 列( ),fx分 别 说 明 是 否 存 在 一 个 区 间 , ,(0),a ba使( ) | , | , f xxa bx xa b，并说明理由。（1）212( )33f xx（2）1( )f xx（3）1( )1f xx2005 年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一 1. 解1112x dx1121122112xdxxdx11222112xxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 40 页 -
15、 - - - - - - - - - 精品文档精品文档111102422415222. 2. 解：100limlim ln 11xxxfxx，00limlimxxfxaxbb，因为fx在0 x处连续，所以1b，0fa，2000ln 10limlimxxfxfxxfxx0011111limlim22 12xxxxx，由fx在0 x处可导，00ff，于是12a. 3. 解：23lim2 362nnnn. 4. 解：sin3cos4sinxdxxx，sin4sin3cos4cos3sinxAxxBxx43si n34c osABxABx，430340ABAB，425A，325B，精品资料 - - -
16、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档sin43 4cos3sin3cos4sin2525 4sin3cosxxxdxdxxxxx43ln 4sin3cos2525xxxC. 5. 解：13fxxxx当0 x时，1334fxxxxx；当01x时，132fxxxxx；当13x时，132f xxxxx；当3x时，1334fxxxxx. 二解：000limlim1cos01cosxxfxffxxx；0001cos0limlim01cosxxf
17、xffxxfxxx；00221coslimlim1111cos22xxfxfxxxxx，2210002fxffxfxo x22102fxo x，所以01f. 三证明：令31tan3f xxxx，00f；因为2211cosfxxx，00f；32sin2cosxfxxx，00f；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2412sin21cosxfxx222412sin1sin2cosxxx224sin4sin20cosxx
18、x，0,2x，所以0fx，进而0fx，0fx，即得31tan3xxx，02x. 四解：22221sin1sinxAdxx222212sinsin1sinxxdxx202dx；2222222202sinsin2coscosxxBdxdxxxxx，由于222sin1cosxxx，得BA，2222210 1sin4xCdxx2222010 1sin24xdxx，利用2sin1xx，0,2x，得22222222410 110 1sin10144xxxx，于是CA，故BAC. 五、设2201nnkxnk，1,2,n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
19、名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（1）求limnnx； （2）证明数列nx单调减少 . 解： （1）显然2221212nnnxnnn故有lim0nnx. （2）211201nnkxnk222201111121122nknknnnn，2122220211142431nnnknxxnnnnnknk222221 2111241241nnnnnnnnnn22210241n nnnnn，于是数列nx单调减少 . 六解：（1）21233fxx，在0,上严格单调递增，欲使,f a ba b，必有f aa，f
20、bb. 考虑21233fxxx，2320 xx，223122x，11x，22x，所以存在区间1,2，使1,21,2f. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（3）f x在0,上严格单调减少，欲使,f a ba b，必有f ab，f ba. 1ba，1ab，所以存在区间1,aa，01a，使得11,faaaa. （4）f x在0,上严格递增，欲使,f a ba b，必须faa，f bb. 11fxxx，21xx，213
21、24x，此方程无实数解，故不存在区间,a b，0a，使得,f a ba b. 2006 浙江省高等数学( 微积分 ) 竞赛试题一、计算题（每小题12 分，满分 60 分）1、计算lim1nxnxnen. 解: xxxnnenxn1lim11limxxnxnenxne精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档111limxxnxneenxnexeenxnexnxn1limnxenxexxnnx1lim12tetexttx1
22、0121lim1)1ln(11lim2101200tttttexttx202)1 ()1ln()1(limtttttextx202)1ln()1(limttttextxttextx2)1ln(11lim020022xex。2、求4881(1)xxdxxx. 解: 4848242828411111(1)2(1)2(1)xxxxxxdxdxdxxxxxxx242224211114(1)4(1)xxxxdxdxxxxx3111122411411ABCdxdxxxxxxx131ln(1)lnln(1)422xxxC311ln(1)lnln(1)848xxxC. 精品资料 - - - 欢迎下载 - -
23、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档3、求22110 xyyedyedxx. 解: 2222111111000 xxyyyyyeedyedxdydxdye dxxx22111000 xxyyedxdydye dxx2221110001(1)2xyxee dxy e dyxe dx. 4、求过(1,2,3)且与曲面3()zxyz的所有切平面皆垂直的平面方程. 解: 令3( , )()F x y zxyzz则( , )1xFx y z,2( , , )3()
24、yFx y zyz,2( , )3()1zFx y zyz令所求平面方程为: (1)(2)(3)0A xB yC z, 在曲面3()zxyz上取一点(1,1,1), 则切平面的法向量为1,0,1, 则0AC在曲面3()zxyz上取一点(0,2,1), 则切平面的法向量为1,3, 4, 则340ABC. 解得 : ABC即所求平面方程为: 6xyz. 二、 (15 分) 设3( )6xxf xe, 问( )0f x有几个实根 ?并说明理由 . 解: 当0 x, 306xxe当0 x, 00e且xe的增长速度要比36x来得快 ! 所以( )0fx无实根 . 三、 ( 满分 20 分) 求31nnx
25、中20 x的系数 . 解: 当1x时, 33331111nnxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档3301122nnxxxx322(1)2nnxn nx故31nnx中20 x的系数为171. 四、 (20 分) 计算Cxyds, 其中C是球面2222xyzR与平面0 xyz的交线 . 解：2222()()2()CCCxyzdsxyz dsxyyzzx ds而2()0Cxyzds, 22223()2CCxyz
26、dsR dsR, CCCxydsyzdszxds, 故33CRxyds. 五、 (20分) 设12,na aa为非负实数, 试证 :1sinsinnkkakxx的充分必要条件为11nkkka. 证明：必要性由于1sinsinnkkakxx, 则1sinsinnkkkxxaxx, 0 x0011sinsinlimlim1nnkkxxkkkxxakaxx. 充分性 ; 要证明1sinsinnkkakxx, 只需证明 : 1sin1sinnkkakxx, 这里sin0 x,若sin0 x, 不等式显然成立; 即只需证明 : 1sin1sinnkkkxax, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
27、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档而11sinsinsinsinnnkkkkkxkxaaxx,11nkkka故只要说明 : sinsinkxkx, 即sinsinkxkx, 当1k时, 显然成立 ; 假设当kn时, 也成立 , 即sinsinnxnx; 当1kn时, sin(1)sin()sincossin cosnxnxxnxxxnxsinsin(1)sinnxxnx. sinsinnxnx六 、 (15分 ) 求 最 小 的 实 数c, 使 得 满
28、足10()1fxd x的 连 续 函 数( )f x都 有10()fx dxc. 解: 11110000()()2( )2( )2fx dxfxdxt f tdxf tdx, 取2yx, 显然10( )1f x dx, 而110024()2233fx dxxdx, 取(1)nynx,显然10( )1f x dx, 而11001()(1)22,2nnfx dxnxdxnn, 故最小的实数2c. 2007 浙江省高等数学( 微积分 ) 竞赛试题 ( 解答 ) 一. 计算题（每小题12 分，满分60 分）1、求951xdxx. 解: 955551155111xxtdxdxdttxx111111555
29、u tuduududuuu312222155uuCCxx215235) 1(52) 1(152。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2、求1120(1)(12 )limsinxxxxxx. 解: 11112200(1)(12 )(1)(12 )limlimsinxxxxxxxxxxxx011022201ln(1)1ln(12 )lim (1)(1 2 )(1)(21)2xxxxxxxx xxxxx01102220(
30、1)ln(1)2(21)ln(12 )lim (1)(1 2 )(1)2(21)xxxxxxxxxxxxxxx1122200(1)ln(1)2(21)ln(12 )lim(1)lim(12 )(1)2(21)xxxxxxxxxxxxxxxx2200(1)ln(1)2(21)ln(12 )limlim2xxxxxxxxeexx0000ln(1)2ln(12 )limlim24xxxxeexx22eee. 3、求p的值 ,使22007()()0bxpaxpedx. 解: 222007()2007()txpbbpxptaapxpedxte dt被积函数是奇函数, 要积分为零 , 当且仅当积分区间对称
31、, 即: apbp, 解得: 2abp. 4、计算2222max,00, (0,0)abb xa ydxedyab. 解: 22222222max,max,00abb xa yb xa yDdxedyed, 其中D如右图22222 22212max,max,b xa yb xa yDDeded222212a yb xDDeded22220000abbyaxa yb xbadyedxdxedy222200baa yb xabyedyxedxbaab1D2Dbyxa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
32、第 19 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档222222220011()()22baa yb xed a yed b xabab221(1)a beab. 5、计算2()Sxy dS, 其中S为圆柱面224,(01)xyz. 解: 2221()()2SSSxy dSxydSydS142SSdSydS2281yzDxxydydzyz2228104yzDyydydzy8被积函数关于y是奇函数 , 积分区域关于z对称, 二、 (20 分) 设1211211212345632313nunnn, 111123nvnnn, 求: (1)1010uv;(2) limn
33、nu. 解: (1)111232313nnkukkk1211211212345632313nnn, 23111111nnnnkkkvnkkk111111111111123456323132nnnnn31111121132313nnnnnkkkuvkkkkk11211033nnkkkkk1nvuv; zxyo精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(2) 111limlimlim123nnnnnuvnnn11111lim
34、1221111nknnnnnn ( 图来说明积分上下) 2111lim1nnkknn201ln 31dxx. 三、( 满分 20 分) 有一张边长为4的正方形纸 ( 如图 ),C、D分别为AA、BB的中点，E为DB的中点， 现将纸卷成圆柱形，使A与A重合，B与B重合，并将圆柱垂直放在xOy平面上，且B与原点O重合，D若在y轴正向上，求：（1）通过C，E两点的直线绕z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xOy平面和过A点垂直于z轴的平面所围成的立体体积. 解: CEL:22224xyz旋转曲面上任意取一点( , )Mx y z则000(,)N xyz的坐标为：0002222zxzyzz，
35、(0,0,)Qz22222222zzMQxyNQACABDBEx(2,2,0)E4ByACD2z(0, 4,4 )MNQ精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy，（2）(0,0,4)A，故过(0,0,4)A垂直z轴的平面方程为：4z令0 x，解得在坐标面yoz上的曲线方程为：22282zy，图中所求的旋转体的体积为：2242082zVdz242082zdz2420322z
36、dz222321283233. 四、 (20 分) 求函数2222( , , )xyzf x y zxyz, 在222( , , ) 14Dx y zxyz的最大值、最小值 . 解：222222222222222 ()2 ()222( , , )()()xx xyzx xyzxyxzxyzfx y zxyzxyz2222232222222222()2 ()2( , , )()()yz xyzy xyzzxzyxy zfx y zxyzxyz2222232222222222()2 ()2( , , )()()zy xyzz xyzyxyzxz yfx y zxyzxyz由于, x y具有轮换对称
37、性, 令xy, 0 x或0yz解得驻点 : (0, )y y或( ,0,0)x对22221(0, )2xyzfy yxyz, 2222( ,0,0)1xyzf xxyz, 在圆周2221xyz上, 由条件极值得 : 令2222( , , )(1)F x y zxyzxyzxyzB4z222282zxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档( , , )220 xFx y zxx( , , )20yFx y zzy(
38、, , )20zFx y zyz222( , )10Fx y zxyz解得 : 22(0,)22,22(0,)22,22(0,)22,22(0,)22,(1,0,0),( 1,0,0)221(0,)222f,221(0,)222f,221(0,)222f,221(0,)222f,(1,0,0)1f,( 1,0,0)1f; 在圆周2224xyz上, 由条件极值得 : 令2222( , , )(4)F x y zxyzxyz( , , )220 xFx y zxx( , , )20yFx y zzy( , , )20zFx y zyz222( , )40Fx y zxyz解得 : (0,2,2),
39、(0,2,2),(0,2,2),(0,2,2) ,(2,0,0),( 2,0,0)1(0,2,2)2f,1(0,2,2)2f,1(0,2,2)2f, 1(0,2,2)2f,(2,0,0)1f,( 2,0,0)1f; 2222( , , )xyzf x y zxyz, 在222( , , )14Dx y zxyz的最大值为1, 最小值为12. 五、 (15 分) 设幂级数0nnna x的系数满足02a,11nnnaan,1,2,3,n, 求此幂级数的和函数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第
40、 23 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档证明：0( )nnnS xa x1111111( )(1)nnnnnnnnS xna xaxnx000( )nnnnnnna xnxS xnx而12000011(1)nnnnnnnnxnxxnxxxxxxxx, 即: 2( )( )(1)xS xS xx一阶非齐次线性微分方程- 常数变易法 , 求( )( )0S xS x的通解 : ( )xS xce, 令( )( )xS xc x e代入2( )( )(1)xS xS xx得: 2( )( )( )(1)xxxxc x ec x ec x ex, 即: 211
41、( )(1)111xxxxxxec xdxxedxxedxxexxx11xxxxxexeedxecxx故2( )( )(1)xS xS xx的通解为 : 1( )11xxxxxeS xececexx, 由于(0)0S, 解得1c, 故0nnna x的和函数1( )1xS xex. 211111xxxx六、 (15 分) 已知( )f x二阶可导 , 且( )0fx,2( ) ( )( )0fx f xfx,xR, (1) 证明 :2121212()(),2xxf xf xfx xR. (2) 若(0)1f, 证明(0)( ),fxf xexR. 证明 : (1) 要证明2121212()(),
42、2xxf xf xfx xR, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档只需证明1212121111ln()ln()ln,2222f xfxfxxx xR, 也即说明( )ln( )F xf x是凹函数 , ( )ln( )( )fxf xf x, 22( )( )( )( )ln( )0( )( )f x fxfxfxf xf xfx, 故( )ln( )F xf x是凹函数 , 即证. (2) 2( )( )(0)
43、(0)2FF xFFxx222( )( )( )(0)ln(0)(0)2( )xf x fxfxffxxffx(0)fx, 即: (0)( ),fxf xexR. 2008 浙江省高等数学( 微积分 ) 竞赛试题 ( 解答 ) 一. 计算题1、求xxxxxeeesin13203lim. 解: xxxxxxxxxxeeeeeesin1320sin1320331lim3limxeeexxeeeeeexxxxxxxxxxxxxeeeesin130sin133320323232lim3lim2cos33200032limeexeeexxxx。2、计算dxxx)5sin()3cos(1. 解: dxxx
44、xxdxxx)5sin()3cos()3()5cos(2cos1)5sin()3cos(1dxxxxxxx)5sin()3cos()3sin()5sin()3cos()5cos(2cos1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档dxxxxxdxxxxx)5sin()3cos()3sin()5sin()5sin()3cos()3cos()5cos(2cos1dxxxdxxx)3cos()3sin()5sin()5cos(
45、2cos1dxxxdxxd)3cos()3cos()5sin()5sin(2cos1Cxx)3cos(ln)5sin(ln2cos1Cxx)3cos()5sin(ln2cos1。法二：dxxdxxx2sin)4(2sin2)5sin()3cos(1dxxx2sin)4(tan1)4tan(222，令4arctan),4tan(txxtdtttdtttdtttt12sin212sin22sin22sin2112sin1222222dttt2sin2cos12sin2cos112sin2dttt2sin2cos112sin2cos112cos1Cxx2sin2cos1)4tan(2sin2cos1
46、)4tan(ln2cos1。3、设xxxfarcsin)(3，求)0()2008(f. 解: xxgarcsin)(, 则211)(xxgxtarcsin，则3sin)(sintttf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档)1(31)(30)(3sinsinsin)(sinnnnnnnntCttCttdttfd0)1(310sin0)(sintnntnntCdttfd0)2007(302008)2008(sin200
47、8)(sintttdttfd0)2006(32cos320072008ttt0)2005(343sin9cos6200620072008ttttt被积函数是奇函数, 要积分为零 , 当且仅当积分区间对称, 即: apbp, 解得: 2abp. 4、计算2222max,00, (0,0)abb xa ydxedyab. 解: 22222222max,max,00abb xa yb xa yDdxedyed, 其中D如右图22222 22212max,max,b xa yb xa yDDeded222212a yb xDDeded22220000abbyaxa yb xbadyedxdxedy22
48、2200baa yb xabyedyxedxba222222220011()()22baa yb xed a yed b xabab221(1)a beab. 5、计算2()Sxy dS, 其中S为圆柱面224,(01)xyz. 解: 2221()()2SSSxy dSxydSydS142SSdSydSab1D2Dbyxazxyo精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2281yzDxxydydzyz2228104yz
49、Dyydydzy8被积函数关于y是奇函数 , 积分区域关于z对称, 二、 (20 分) 设1211211212345632313nunnn, 111123nvnnn, 求: (1)1010uv;(2) limnnu. 解: (1)111232313nnkukkk1211211212345632313nnn, 23111111nnnnkkkvnkkk111111111111123456323132nnnnn31111121132313nnnnnkkkuvkkkkk11211033nnkkkkk1nvuv; (2) 111limlimlim123nnnnnuvnnn11111lim1221111n
50、knnnnnn ( 图来说明积分上下) 2111lim1nnkknn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档201ln 31dxx. 三、( 满分 20 分) 有一张边长为4的正方形纸 ( 如图 ),C、D分别为AA、BB的中点，E为DB的中点， 现将纸卷成圆柱形，使A与A重合，B与B重合，并将圆柱垂直放在xOy平面上，且B与原点O重合，D若在y轴正向上，求：（3）通过C，E两点的直线绕z轴旋转所得的旋转曲面方程；（4