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1、江 苏 省 高等数学竞赛试题（本科二级）一 填 空 题（每题4分，共3 2分）1 s i n x-s i n(s i n x)1.l i mx W)s i n xl n(x +x 2)l +N3.y =c o s2 x，)5)(x)=4.f -exdx5 j +8 1 dx=_2 1-X42x +2y-z +2=()6.圆(面积为x2+产+乞2-4x-2y +2z =8,求 48,8。,4。长,使得梯形绕AO旋转一周所得旋转体体积最大。五（12分）求二重积分Ux +s i n 2 y)dxdy,其中 D:x 2+y 2 0,y 0D六、(12 分)求 J Q+2y+e Jd x +x(l +y
2、 b y ,其中为曲线 “一一】从rx2-y2=2x 1 x =乂*=0,=1所围区域，则 0二、（8 分）设 数 列 为：x l，%=j 6 +x.5 =12）,求证：数 列 收敛，并求其极限三、（8分）设函数x）在.向上持续求证：存在自（。力）,使得）.四、（8分）将孙平面上曲线（犬 一 与2 +声=G（0 4 份绕直线无=3匕旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体体积.五、（8分）设 X4+yi0,/(x,y)=(x,y)H(),0);(x,y)=(0,0).讨论 x,y)在(0,0)处持续性、可偏导性、可微性.六、（1 0分）已知曲面4心+4尸-z2=l与 平 面x +y-z =0
3、交线在盯平面上投影为一椭圆，求此椭圆面积.l i m ff d x fr s i n(y 2)r f y.七、(8 分)求 一o+o x八、（1 0分）求D:X2+y2 2x,0 yx.江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5 分，共 40分）1 J(X)=G3,l i m l n /(l)/(2)/()=T o O 4(-(”)2 一 =2.l i m JA A-0 0 资.f,a r c t a n x.3.J f-=0 U +X2 4.已知点A（-4,0,0）,8（0,-2,0）,。（0。2）,0为坐标原点，则四周体Q A B C 内接球面方程为5.设由x =z e w 拟
4、定z =z（x,y），则）6.函数/Q,）=6-工如+6-产）中常数4,6 满足条件,时,/.（一1,0）为其极大值.7.设是 =a s i n x（a0）上从点（0,0）到（兀,0）一段曲线，a=时，曲线积分 J （x 2+），）d x +Q x y +e y 2）d y 取最大值.r8.级数不（-1），+|巫 壬 巫 条 件 收 敛 时，常数p取值范畴是np”=1二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车最大速度为1（）（）公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度变化率最小值不不不大于-200公里/小时3三.（i o分）曲线极坐标方程为p =i+
5、c o s。oweq,求该曲线在e=：所相应点切线L直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形面积.四(8分)设/(x)在(-00,+8)上是导数持续有界函数，|/G)-求证：|/G)|0)被柱面Z =x 2+2x+2截下有限某些为E .为计算曲面Z面积，用薄铁片制作2模型，A(L 0,5),8(-1,0,1),。(-1,0,0)为2：上三点,将Z沿线段8 c剪开并展成平面图形。，建立平面在极坐标系，使。位于x轴正上方，点A坐标为(0,5),写出。边界方程，并求。面积.六（10分）曲 线“2=2z绕z轴旋转一周生成曲面与z=i,z=2所围成立体区域记为I本科一级考生做0J -dxdydzX 2+产
6、+Z 2c本科二级考生做 f f f(x 2+,2+2 dxdydz七（10分）本科一级考生做1）设暴级数Ea 2X，.收敛域为-1,1,求证暴级数 上 心“n=1=1收敛域也为L1 ;2）试问命题1）逆命题与否对的，若对的给出证明；若不对的举一反例阐明.本科二级考生做：求 塞 级 数./（，+，收敛域与和函数n=l江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5 分，共 40分）1./Q）是周期为兀奇函数，且在x=0 处有定义，当寸，/（x）=sinx-cosx+2,求当兀 时，/G）表达式.2.lim(sin x)a n Z3.lim-+-+-2+l 2+4 几2+24.f G)=x2
7、In(1-x),/?2/(0)=-x)7.设/(x,y)可微，/(1,2)=2,/(1,2)=3,/(1,2)=4,(P (x)=/G,/G,2 x),x y则中(1)=.8-设-Q)=；蠢,。为-oo x 4-oo,-oo y-wo3.设由0-丫+(一 )=1 +拟定)=乂 幻，贝！|y(0)=4(a r c s in x-a r c c o s x)dx=5 .曲线z =x k,在点(1,1,2)切线参数方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _尤2 +y2 =2y6.设z =/(.)+g Qx,s in y),f有二阶持续导数，g有二阶持续偏导数，贝|至:d
8、xdy-7 .互换二次积分顺序小小一.(%)，羯,=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.o .28.幕级数个(l+g+；1初收敛域r t=l 二.(8分)设/G)&h+o o)上持续，单调减少，求证 ab f(x)dx ha f(x)dxo o三.(8 分)设/(x)在 上持续，心=1/(x)e.也=0 ,求证：/(x)在(a,b)aa内至少存在两个零点.四.(8分)求直线三=2=绕丫轴旋转一周旋转曲面方程，求求该曲面与2 1 1y=0,y=2 所包围立体体积.五.（9分）设为常数,收敛？何时发散？（_ i）,试判断级数X /敛散性,何时
9、绝对收敛？何时条件“=2 办六.（9 分）设/（X,y）=j 1 (x,y)声(),().(Jx2+y2 讨论/(x,y)在点(0,0 )处持y a r c t a n0 (x,y)=(0,0)续性，可偏导性？可微性.七.（9 分）设/（，）在=0 可导，/（0）=0,Q:x2 +y2 +z 2 K 2，求 lim 川 f G 2一 o+朽+），2+z?A l x d y d z八.（9分）设曲线A 8 极坐标方程为p=l-c o s。-gw Osg,一质点P在力产作用下沿曲线A B从A（0,-l）运动到8（0,1）,力 F 大小等于P 到定点M（3,4）距离，其方 向 垂 直 于 线 段 且
10、 与），轴正向夹角为锐角，求力产对质点P 做得功.江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一.填空(每题3分，共 1 5 分)-1.设/(工)=JL+同,贝 lj f/(x)=c.Xx-X2 .l i m-=l n x-x +13 .已知(r 2)=_L,则:(x)=4.J/X4 xdx=w+1/0 拟 定(F 为任意可微函数),则m n 猿&+矿dz二选取题(每题3分，共 1 5 分)1 .对于函数丫：二1，点=0 是()A.持续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D 可去间断点2 .已知函数 y =/(x)对一切 x 满 足 矿 Q)+3 x/G)=1 -e-,若(%)=0(x#0),则()
11、A./(x )是/(x)极大值；B.(x J(x )是曲线y =/(x)拐点；0 0 0C./(x )是/(x)极小值；0D/(x)不是/G)极值，G J(x)也不是曲线y=/(x)拐点0 0 0A.等 于1；B.等于0；C.等于-1；D不存在，但也不是+84.若%L.-L、都存在，则/(x,y)在G,y )A.极限存在，但不一定持续；B.极限存在且持续；C.沿任意方向方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定持续C.发散；D收敛性与a取值关于三(6 分)求lim(+!，ln+l +2 n+n)四(6分)已知函数y=y(x)由参数方程x+拟定，求 也|1ey+y+l=0 dx2/=o五（6分）设
12、/（x）,g（x）在 上 持 续，在（,Z?）内可导且对于（力）一切A均有r（x）gG）-/G），G）wo,证明若/G）在（。力）内有两个零点，则gG）至少存在一种介于这两个零点之间零点。六（6分）设/（%）=0，求 J 2/（无 一11。x 0 、l+ex_d z七（6 分）已 矢 口 z=x-c os v,y=eu s i n v ,求 一dx dy八（8分）过抛物线y =x 2 上一点Q 2）作切线，问为什么值时所作切线与抛物线y =r 2 +4x-l 所围成平面图形面积最小。九（8分）求级数不 （x-l 收敛域及和函数./=1十（8分）设/G）在 上 持 续 且 不 不 大 于 零，运用二重积分证明不等式:J”f x lx hL lx 2 G -a）2H （8分）计算曲线积分/=J （v 4+4x y 3%x +（6 x 2 y 2-5 y 4）d y ,其中L 为曲线Ly 2 =_ J（x-3）上 点&-2,-1）沿逆时针方向到该曲线上点8（3,0）一段曲线。十 二(8 分)计算曲面积分口 4zxdydz-Izydzdx4-G-2)dxdy,其中2为曲面Z=(0 W y Wa)绕Z 轴旋转一周所成曲面之下侧