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1、1 2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1.0sinsin(sin )limsinxxxx2.22ln(1)1xxyx，/y3.2cosyx，( )( )nyx4.21xxe dxx5.4211dxx6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.(2,)xzfxyy，f可微，/12(3,2)2,(3,2)3ff，则( , ) (2,1)x ydz8.级数11 ( 1)!2!nnnnn的和为. 二.（10 分）设( )f x在, a b 上连续，且( )( )bbaabf x dxxf x dx，求证：存在点,a b ，使得( )0
2、af x dx. 三 （10 分）已知正方体1111ABCDA B C D的边长为 2，E 为11D C的中点， F 为侧面正方形11BCC B的中点， （1）试求过点1,A E F的平面与底面ABCD所成二面角的值。 （2）试求过点1,A E F的平面截正方体所得到的截面的面积. 四 （12 分）已知 ABCD是等腰梯形，/,8BCAD ABBCCD,求,AB BC AD的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12 分）求二重积分22cossinDxy dxdy，其中22:1,0,0Dxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
3、 - -第 1 页，共 17 页2 六、（12 分） 求21xxyedxxy dy， 其中为曲线22201212xxxyxx从0,0O到1, 1A. 七.（12 分）已知数列na单调增加，123111,2,5,3nnnaaaaaaL2,3,nL记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性 . 2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1.0sinsin(sin )limsinxxxx2.2arctantanxyxex，/y3. 设由yxxy确定 yy x ，则dydx4.2cosyx，( )( )nyx5.21xxe dxx6.(2,)xzfxyy，f可微
4、，/12(3,2)2,(3,2)3ff，则( , ) (2,1)x ydz7 设,f u v 可微，由22,0F xzyz确定,zz x y ，则zzxy8. 设22:2 ,0Dxyx y，则22Dxy dxdy二.（10 分）设a为正常数，使得2axxe对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10 分）设 fx 在 0,1 上连续，且1100( )( )f x dxxf x dx ，求证：存在点0,1 ，使得0( )0f x dx. 四.（12 分）求广义积分4211dxx五 （12 分）过原点0,0 作曲线lnyx的切线，求该切线、曲线lnyx与x精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 六、 （12 分）已知 ABCD是等腰梯形，/,8BCAD ABBCCD,求,AB BC AD的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。七（12 分）求二重积分22cossinDxy dxdy，其中22:1,0,0Dxyxy2008 年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一填空题（每题5 分，共 40 分）1.a =， b=时，2limarctan2xaxxxbxxp+= -2. a =， b=时( )ln(1)1xf xaxbx=-+在0 x ?时关于x的无穷小
6、的阶数最高。3.2420sincosxxdxp=4.通过点()1,1,1-与直线,2,2xt yzt=+的平面方程为5.设222,xzxy=-则(2,1)nnzy?= 6.设 D 为,0,1yx xy=围成区域，则arctanDydxdy=蝌7.设 G为222 (0)xyx y+=?上从(0,0)O到(2,0)A的一段弧，则()()xxyex dxexy dyG+-= 8.幂级数1nnnx￥=?的和函数为，收敛域为。二 （8 分）设数列nx为1223,33,33(1,2,)nnxxxxn+=-=-+=LL证明：数列nx收敛，并求其极限三 （8 分）设( )f x在,a b 上具有连续的导数，求
7、证/1max( )( )( )bbaxbaafxf x dxfx dxba?-蝌精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 四 （8 分）1）证明曲面:(cos )cos,sin ,(cos )sinxbayazbaqjqqjS=+=+()02 ,02qpjp()0ab为旋转曲面2）求旋转曲面 S 所围成立体的体积五 （10分）函数( ,)u x y具有连续的二阶偏导数，算子A定义为( ),uuA uxyxy抖=+抖1）求( )A uA u-；2)利用结论 1）以,yxyxxh=-为新的自变量改变方程222222220u
8、uuxxyyxx yy抖?+=抖抖的形式六 （8 分）求26001limsin()ttxtdxxydyt+?蝌七 （9 分）设222:1(0)xyzzS+=?的外侧，连续函数222( , )2()()()( , )2)zzzf x yxyx ze dydzy ze dzdxzf x ye dxdyS=-+-蝌求( , )f x y八 （9 分）求23(3)( )(1) (13 )xxf xxx-=-的关于x的幂级数展开式2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1.3xfxa ，41limln12nfffnnL2. 25001lim1xtxxedt
9、x3. 1202arctan1xdxx4.已知点4,0,0 , (0, 2,0),(0,0,2)ABC,O为坐标原点，则四面体 OABC的内接球面方程为5. 设由yzxze确定( ,)zz x y，则,0edz6.函数2,xfx yeaxby中常数,a b满足条件时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 1,0f为其极大值 . 7.设是sin(0)yax a上从点0,0 到,0 的一段曲线，a时，曲线积分222yxy dxxyedy取最大值 . 8.级数1111npnnnn条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10
10、 分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2 小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100 公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3三. （10 分）曲线的极坐标方程为1cos02，求该曲线在4所对应的点的切线 L 的直角坐标方程，并求切线L 与x轴围成图形的面积 . 四（8 分）设( )f x在,上是导数连续的有界函数，1fxfx，求证：1.,fxx五（12 分）本科一级考生做： 设锥面22233(0)zxyz被平面340 xz截下的有限部分为.（1）求曲面的面积； （2）用薄铁片制作的模型，(2,0, 2 3),( 1,0,3)AB为上的两点
11、， O为原点，将沿线段 OB 剪开并展成平面图形 D ，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)xyz被柱面222zxx截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，(1,0,5),( 1,0,1),1,0,0ABC为上的三点，将沿线段 BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x轴正上方，点 A坐标为 0,5 ，写出 D 的边界的方程，并求 D 的面积 . 六（10 分）曲线220 xzy绕z轴旋转一周生成的曲面与1,2zz所围成的立体区域记为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
12、纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 本科一级考生做2221dxdydzxyz本科二级考生做222xyzdxdydz七（10 分）本科一级考生做1）设幂级数21nnna x的收敛域为1,1 ，求证幂级数1nnnaxn的收敛域也为1,1 ；2）试问命题 1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数2112nnnnx的收敛域与和函数2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1.22232323212lim12nnnnnnL2. 23001lim1xtxedtx3. 2lim320
13、xxxaxb，则,a b4.2sin1,0 xfxxxef5. 设由yzxze确定( ,)zz x y，则,0edz6.函数2,xfx yeaxby中常数,a b满足条件时，1,0f为其极大值 . 7.交换二次积分的次序211,xeexdxfx y dy. 8.设22: 2,02Dxxyyx，则221Ddxdyxy二.（8 分）设2sin0ln 10axbxcxfxxx，试问, ,a b c为何值时， fx 在0 x处一阶导数连续，但二阶导数不存在. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 三.（9 分）过点 1,5
14、 作曲线3: yx的切线 L， （1）求 L 的方程； （2）求与 L所围成平面图形 D 的面积； （3）求图形 D 的0 x部分绕x轴旋转一周所得立体的体积 . 四 （8 分）设( )f x在,上是导数连续的函数，00f，1fxfx，求证：1.0,xfxex五（8 分）求120arctan1xdxx六（9 分）本科三级做：设2222tan,0,0,0,0,0 xyxyx yxyfx yx y，证明,fx y 在点 0,0 处可微，并求0,0,dfx y民办本科做：设圆柱面221(0)xyz被柱面222zxx截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，(1,0,5),( 1,0,1
15、),1,0,0ABC为上的三点，将沿线段 BC剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点 A坐标为 0,5 ，写出 D 的边界的方程，并求D 的面积 . 七 （9 分）本科一级考生做： 用拉格朗日乘数法求函数22,22fx yxxyy 在区域2224xy上的最大值与最小值 . 八（9 分）设 D 为,02yx xy所围成的平面图形，求cosDxy dxdy. 2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. fx是周期为的奇函数，且在0 x处有定义，当0,2x时，sincos2fxxx，求当,2x时，fx的表达式. 2. 2tan
16、2limsinxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 3. 2222lim14nnnnnnnnL4.2ln 1,2fxxxn时0nf5. 21xxexdxxe6.11 2nnnn. 7.设,fx y 可微，1,22,1,23,1,24xyfff，,2xfx fxx，则1. 8. 设010 xxfxg x其他， D 为,xy，则Dfy fxy dxdy. 二 （10分）设 fx 在,a b 上连续， fx 在,a b 内可导，( ),f aa，2212bafx dxba,求证：,a b 内至少存在一点使得1ff三
17、.（10 分）设22:4,24Dyxyxxy，在 D 的边界 yx上任取点 P ,设 P 到原点距离为 t ，作PQ垂直于 yx，交 D的边界224yx于Q1）试将,P Q的距离 PQ 表示为 t 的函数；2）求 D 饶 yx 旋转一周的旋转体的体积四（10 分）已知点(1,0,1),(3,1,2)PQ-, 在平面212xyz-+=上求一点M，使PMMQ+最小五（10 分）求幂级数1132nnnnxn的收敛域。六（10 分）设,fx y 可微，1,22,1,22,1,23xyfff，,2,2,2xffxxfxx，求1 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
18、- - - - -第 8 页，共 17 页9 七（10 分）求二次积分222021de d2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. fx是周期为的奇函数，且在0 x处有定义，当0,2x时，sincos2fxxx，求当,2x时，fx的表达式 . 2. 0 x时，sincosxxx 与kcx为等价无穷小，则c3.2tan2limsinxxx4. 2222lim14nnnnnnnnL5.2ln 1,2fxxxn时0nf6. 21xxexdxxe7. 1, 1arctan,xzdzy. 8. 设010 xxfxg x其他， D 为,xy，则Dfy fxy
19、 dxdy. 二 （10分）设 fx 在,a b 上连续， fx 在,a b 内可导，( ),f aa，2212bafx dxba,求证：,a b 内至少存在一点使得1ff三.（10 分）设22:4,24Dyxyxxy，在 D 的边界 yx上任取点 P ,设 P 到原点距离为 t ，作PQ垂直于 yx，交 D的边界224yx于Q1）试将,P Q的距离 PQ 表示为 t 的函数；2）求 D 饶 yx 旋转一周的旋转体的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 四 （10分） 设 fx 在,上有定义，fx 在0 x处
20、连续， 且对一切实数12,x x有1212fxxfxfx，求证： fx 在,上处处连续。五（10 分）上 k 为常数，方程110kxx在 0,恰有一个根，求 k 的取值范围。六（10 分）已知点(1,0,1),(3,1,2)PQ-, 在平面212xyz-+=上求一点M，使PMMQ+最小七（10 分）求幂级数1132nnnnxn的收敛域。2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1.0lim0 xxkxeec cx，则 k，c2. 设 fx 在 1,上可导，下列结论成立的是A. 若 lim0 xfx，则 fx 在 1,上有界B. 若 lim0 xfx，则
21、 fx 在 1,上无界C. 若 lim1xfx，则 fx 在 1,上无界3. 设由1yex yxx 确定( )yy x，则0y4.arcsinarccosxx dx5. 曲线22222zxyxyy，在点 1,1,2 的切线的参数方程为6.设,sinxyzfg eyx，f有二阶连续导数， g 有二阶连续偏导数，则2zx y7. 交换二次积分的次序2130,xxdxfx y dy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 8.幂级数11112nnxnL的收敛域二.（8 分）设 fx 在 0,上连续，单调减少，0ab，
22、求证00( )( )baaf x dxbf x dx三. （8分） 设 fx 在,a b 上连续，( )( )0bbxaaf x dxf x e dx， 求证: fx 在,a b内至少存在两个零点 . 四.（8 分）求直线1211xyz绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2yy所包围的立体的体积 . 五.（9 分）设 k 为常数，试判断级数221lnnknnn的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六. （9 分）设221arctan,0,0,0,0,0yx yxyfx yx y讨论,fx y 在点 0,0 处连续性，可偏导性？可微性. 七.（9 分）设 f u 在0u可
23、导，22200,:2fxyztz ，求222501limtfxyzdxdydzt八.（9 分）设曲线 AB 的极坐标方程为1cos22，一质点 P 在力Fu r作用下沿曲线 AB 从0, 1A运动到0,1B，力Fu r的大小等于 P 到定点3,4M的距离，其方向垂直于线段MP ，且与 y 轴正向的夹角为锐角，求力Fur对质点 P做得功 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1.0lim0 xxkxeec cx，则 k，c2.
24、 设 fx 在 1,上可导，下列结论成立的是A. 若 lim0 xfx，则 fx 在 1,上有界B. 若 lim0 xfx，则 fx 在 1,上无界C. 若 lim1xfx，则 fx 在 1,上无界3. 设由1yex yxx 确定( )yy x，则0y4.arcsinarccosxx dx5. 411dxxx6.设,sinxyzfg eyx，f有二阶连续导数， g 有二阶连续偏导数，则2zx y7. 交换二次积分的次序2130,xxdxfx y dy. 8.函数,21fx yxy满足方程225xy的条件的极大值为极小值为二.（8 分）设 fx 在 0,上连续，单调减少，0ab，求证00( )(
25、 )baaf x dxbf x dx三.（8 分）设sinfxkxx，1）若1k，求证 fx 在,上恰有一个零点； 2）若0k，且 fx 在,上恰有一个零点，求常数k的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 四.（8 分）求201sin1cosxxedxx五. （9 分）设221arctan,0,0,0,0,0yx yxyfx yx y讨论,fx y 在点 0,0 处连续性，可偏导性？可微性. 六.（8 分）设,zfx y ， xy ，f的二阶偏导数连续，可导，0y求全导数22d zdx七.（9 分
26、）设 f u 在0u可导，2200,:2 ,0fD xytx y，求22401limtDfxyydxdyt八.（9 分）求sin,:0,0,2Dxy dxdy Dxyxy2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 3 分，共 15 分）. 1.设 fxxx ，则 ffx2. 1limln1xxxxxx3. 已知21dfxdxx，则 fx4.14451xdxx5.设,zz x y 由方程,0yzFxx确定（ F为任意可微函数），则zzxyxy二选择题（每题 3 分，共 15 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13
27、页，共 17 页14 1.对于函数112121xxy，点0 x是（）A. 连续点；B. 第一类间断点； C. 第二类间断点； D 可去间断点2.已知函数 yfx 对一切x满足231xxfxxfxe，若000(0)fxx，则（）A. 0fx是 fx 的极大值；B. 00,xfx是曲线 yf x 的拐点；C. 0fx是 fx 的极小值；D0fx不是 fx 的极值，00,xfx也不是曲线 yfx 的拐点3. 23323lim2xxxxx（）A. 等于 1； B. 等于 0；C. 等于1；D 不存在，但也不是4.若0000,xyxyffxy都存在，则,fx y 在00,xyA. 极限存在，但不一定连续
28、；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在；D 极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数，则级数21sin1nnnnA. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散；D 收敛性与取值有关三（6 分）求111lim12nnnnnL四（6 分）已知函数( )yy x由参数方程(1)010yxtttey确定，求202td ydx五（6 分）设,fxg x 在,a b 上连续，在, a b 内可导且对于,a b 一切x均有0fx g xfx gx，证明若 fx 在,a b 内有两个零点，则 g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
29、 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 六（6 分）设101101xxxfxxe，求201fxdx。七（6 分）已知zuv，cos ,sinuuxev yev，求,zzxy八（8 分）过抛物线2yx上一点2,a a作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线241yxx所围成的平面图形面积最小。九（8 分）求级数11nnn x的收敛域及和函数 . 十（8 分）设 fx 在,a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：21bbaafx dxdxbafx十一（ 8 分）计算曲线积分43224465LIxxy dxx yydy ，其中 L 为曲线2135yx上点( 2, 1)A沿逆
30、时针方向到该曲线上点3,0B的一段曲线。十二（ 8 分）计算曲面积分2421zxdydzzydzdxzdxdy，其中为曲面(0)yzeya绕z轴旋转一周所成曲面之下侧2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题 3 分，共 15 分）1. 已知21dfxdxx，则 fx设2. 1ln0limtanxxx3.211dxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 4 若级数11266nnnnnan收敛，则a的取值为5.sinaafxfxxdx二选择题（每题 3 分，共 15 分）1.函数211xefx
31、x x，的可去间断点为（）A. 0,1x； B. 1x；C. 0 x；D 无可去间断点2.改变积分次序21101,yydyfx y dx（）A. 1111,xxdxfx y dy； B. 01111000,xxdxfx y dydxfx y dy；C. 1101,xxdxfx y dy；D1111,xxdxfx y dy3. 设 fx 可导，1sinF xfxx， 若欲使 F x 在0 x可导， 则必有（）A. 00f； B. 00f；C. 000ff；D000ff4.若0000,xyxyffxy都存在，则,fx y 在00,xyA.连续且可微；B.连续但不可微；C. 可微但不连续；D 不一定
32、可微，也不一定连续5.22,2xfx yexyy 在点1, 12处取（）A. 极大值2eB. 极小值2e；C. 不取极大值；D 极小值e三（6 分）设222200ln 1limlnxextxaxbxdxxxe dt，求常数,a b。四（6 分）设(1)yzxy，求1,1dz。五（6 分）设,fxg x 在,a b 上连续，在, a b 内可导且对于,a b 一切x均有0fx g xfx gx，证明若 fx 在,a b 内有两个零点，则 g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17
33、页17 六（6 分）计算二重积分2Dyx dxdy，其中 D 为正方形区域1,02xy七（8 分）过抛物线2yx上一点2,a a作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线241yxx所围成的平面图形面积最小。八（6 分）当0 x时，220 xFxxtft dx的导数与2x为等价无穷小，求0f。九（8 分）求幂级数21121nnnx的收敛域及和函数 . 十（8 分）将1arctan1xfxx展开为x的幂级数，并指出收敛区间。十一（ 8 分）求581xxdxx。十二（ 8 分）设函数 fx 在,上连续，且满足222222242xytf txyfxydxdyt，求 fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页