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1、 Hopf代数与量子群课程简介课程名称Hopf代数与量子群课程代码课程英文名称Hopf Algebras and Quantum Groups任课教师任课教师职称课程类别第二层次课程学时4 *17= 68学分4授课方式讲授主要内容简介本课程旨在介绍Hopf代数的基本概念、基本结果；辫子双代数、量子double结构理论，量子群到低维拓扑的应用、张量范畴等，量子包络代数的结构与表示、晶体基等基本结果的介绍，为今后进一步深入研究打下基础。内容共分五章，共68课时。第一章 Hopf 代数1.1 余代数、双代数、Hopf 代数; 1.2. Hopf 代数的模和余模、模代数和余模代数; Hopf模、Hop
2、f双模；1.3. 例：双代数 M_q(2), Hopf 代数 GL_q(2)、 SL_q(2), U_q(sl_2); 1.4. U_q(sl_2)的表示论（非单位根和单位根情形）; 1.5. U_q(sl_2)和SL_q(2)的对偶性; 1.6. U_q(sl_2)-模和 SL_q(2)-余模之对偶性; 1.7. 量子 Clebsh-Gordan.第二章 杨-巴克斯特方程和（余）辫子双代数2.1 杨-巴克斯特方程; 2.2. 辫子双代数及其 R-矩阵; 2.3. 辫子Hopf代数中对极的 平方； 2.4. 余辫子双代数; 2.5. 对偶Hopf代数A(R) 和 U(R)的FRT 构造; 2.
3、6. 应用：GL_q(2)和 SL_q(2).第三章 Drinfeld 量子Double3.1. 群的双交叉积; 3.2. 双代数的双交叉积; 3.3 左、右伴随表示; 3.4. Drinfeld 量子 Double: 有限维与无限维; 3.5. 量子Double 的表示论解释; 3.6. 应用于 U_q(sl_2); 3.7. 限制量子群u_q的R-矩阵.第四章 低维拓扑与张量范畴4.1 扭结与链：同痕分类、链图、Jones-Conway多项式；4.2 Tangles、辫子；4.3 张量范畴及其例子、张量函子；4.4 Tangle范畴、Tangle图范畴；4.5 辫子张量范畴；4.6 辫子范
4、畴及其泛性；4.7 中心构造、Drinfeld 量子Double的范畴意义；4.8 张量范畴中的对偶性；4.9 Ribbon范畴、Ribbon代数；4.10 量子迹和量子维数；4.11 扭结和链的量子不变量第五章 量子包络代数及其表示5.1 U_q(g)的生成元与关系式定义; 5.2 U_q(g)的PBW基及表示; 5.3 表示的例;5.4 辫子群与PBW型基; 5.5 U_q(g)的中心与Rosso型; 5.6 R-矩阵与k_qG; 5.7 晶体 基的存在性和唯一性定理; 5.8 晶体基的例与晶体图考核方式课后作业（20%）、课堂表现（10%）、期末考试（闭卷笔试，70%）教材C. Kass
5、el, Quantum Groups, GTM 155, 1995.参考书目及文献1 Sweedler, M., Hopf Algebras. W.A. Benjamin, Inc. New York, 1969.2 Montgomery, S., Hopf algebras and their actions on rings. CBMS Regional Conference Series in Math. vol. 82. AMS., 1993. xiv+2383 Jantzen, C., Lectures on Quantum Groups, GSM 6, AMS, 1996.4 Hong, J. and Kang Seok-Jin, Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases, GSM 42, Amer. Math. Soc. 2002.5Majid, M., Foundations of quantum group theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. x+607