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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n+1个n阶行列式由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大本章讨论一般的n元线性方程组的求解问题一般的线性方程组的形式为 (I)方程的个数m与未知量的个数n 不一定相等，当m=n时，系数行列式也有可能等于零因此不能用克莱姆法则求解对于线性方程组(
2、I)，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？(3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。掌握用初等变换求解线性方程组。本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定.。本章难点：秩；线性方程组解的判定. 3.1 矩阵的初等变换在本章的2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法伴
3、随矩阵法但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法初等变换法为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系一. 初等变换定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1 互换两行（记 ）； 2 以数 乘以某一行（记 ）； 3 把某一行的 倍加到另一行上（记 ）。 若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 定义 若矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 与 行等价，记 ； 若矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵 ，则称 与 列等价，记 ； 若矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ，则称 与
4、等价，记 。 等价关系满足： 1 反身性： ； 2 对称性： ； 3 传递性： 。 对 矩阵 ，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式 ， （称之为标准形）。例1 把下列矩阵化为标准形式：(1) A=，(2) A=解：(1) (2). A= 二. 利用初等变换求矩阵的逆作n2n矩阵(A E)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为E，同时右边子块E就化成了A1简示为：初等行变换(A E) (E A1)例2 设A=， 求A1解：对矩阵(A E)施以初等行变换(A E)=所以 A1 = 下面介绍一种利用矩阵求逆解简单的矩阵方程的方法作矩阵(A B)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为E
5、，这时右边的子块就化成了A1B即初等行变换(A B)(E A1B)例 求矩阵方程 AX=B 的解，其中 A=， B=解法一：|A|= 10 A可逆先求A1， (A E)= A1 =所以 X=A1 B=解法二：(A B)=得矩阵方程的解 X=A1B=同理，利用初等列变换，也可求解矩阵方程XA=B即当A可逆时，作矩阵，用初等列变换把它化成，此时 X=BA1就是矩阵方程XA=B的解例4 用初等行变换解线性方程组：解 （称 是该线性方程组的增广矩阵） , （ 称为行阶梯形矩阵） ，（ 称为行最简形矩阵） 对应的线性方程组为 取 ，则 即 3.2 矩阵的秩定义 在 矩阵 中，任取 行 列的元素，按原排列
6、组成的 阶行列式，称之为 的 阶子式。 若 矩阵 中有一个 阶子式 ，并且所有的 阶子式全为零，则称 为 的最高阶非零子式， 称为 的秩，记 。 例 在 中，一个2 阶子式 ，所有3 阶子式均为零： ， ， ， 故 。 特别，当 阶方阵 的行列式 ，则 ；反之，当 阶方阵 的秩 ，则 。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 （满秩）。 例现在我们来讨论矩阵秩的计算，矩阵秩的计算可有两种方法方法 利用定义，求矩阵的不为零的子式的最高阶数，若矩阵中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式均为零或不存在，则r(A)=r例 设，求A的秩R(A)解：A中有二阶子式=1，但由于第一行与第三行的元素对应成比
7、例，所以它的任何三阶子行列式均为零，R(A)=2例 设，其中a10， b20， c40解：因A中只有三个非零行，所以A的任意一个四阶子式都有一行为零，于是所有四阶子式均等于零而三阶子式，R(A)=3方法 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩上面例中的矩阵A是阶梯形矩阵，从上述计算过程我们看到，由于A有三个非零行，因此算得R(A)=3这个规律对任意一个阶梯形矩阵都成立即阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数 这样，是否可以用行(列)初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵来求秩呢？定理1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩证明：先证矩阵的行变换不改变其秩设，A的行向量为a1， a2，am (1)不妨考虑把A的第行的k倍加到第
8、行上，得到矩阵，这里B的向量组为，a1，am ()其中 =ka1+a2显然向量组(1)与向量组(2)等价，因而有相同的秩，即 R(A)=R(B)显然，其它的两种初等行变换也不改变矩阵的秩同理可证初等列变换也不改变矩阵的秩由定理1，一个矩阵经过初等行(列)变换得到的阶梯形矩阵与原矩阵有相同的秩因此，为求矩阵A的秩，先将其化为阶梯形矩阵，则秩R(A)等于阶梯形矩阵非零行的行数例 设A=， B=，求R(A)， R(B)解：A=所以R(A)=3B=所以R(B)=2 3.3 线性方程组的解这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况设线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为和，即 =， =定理1
9、 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即R()=R()此定理与消元法所得的结果是一致的用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形： 或者 其中cii0，i=1，2， r，dr+10在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵所以，当dr+10时R()R()，方程无解；当dr+1=0时，R()R()，方程组有解例1 判断方程组有解还是无解解：显然，R()=3，而R(A)=2，所以方程组无解下面讨论线性
10、组在有解的条件下解的情况设线性方程组(1)有解，则R(A)=R()=r，因而A必有一个r阶子式D0(当然它也是的不为零的r阶子式)为方便叙述起见，不妨设D位于A的左上角因此方程组(1)与(2)同解当r=n时，由克莱姆法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解当rn时，把方程组(2)改写为(3)此方程组作为x1，x2，xr的方程组时，其系数行列式正是D，而D0，由克莱姆法则，对于xr+1，xr+2，xn的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解xr+1，xr+2，xn就是方程组(1)的一组自由未知量对于(3)用克莱姆法则，可解出x1，x2，xr： (4)这就是线性方
11、程组(1)的一般解从上面的讨论可得：定理2 当线性方程组有解时，(1) 若R(A)=r=n，则方程组有唯一解(2) 若R(A)=rn，则方程组有无穷多解例2 求解方程组 解：对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由于r()=r(A)=24，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为x3、x4为自由未知量对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论推论1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩R(A)=rn例3 l取何值时方程组 有非零解？并求其一般解解：计算系数行列式=l2(l1)令D=，知l=0或 l=1时，方程组有非零解(1) 当l=时，易求得一般解为 x3为自由未知量 (2) 当l=1时，易求得一般解为x3为自由未知量专心-专注-专业