《ch矩阵的初等变换与线性方程组实用.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch矩阵的初等变换与线性方程组实用.pptx（87页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-1-初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具性方程组的重要工具.其核心是利用初等变换，把复其核心是利用初等变换，把复杂矩阵化成简单矩阵来处理杂矩阵化成简单矩阵来处理,，同时要求简单矩阵还，同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质要保留原来矩阵的若干性质.第1页/共87页下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换.(1)互换两行：互换两行：(2)数乘某行：数乘某行：(3)倍加某行：倍加某行：3.1.1 3.1.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义3.1 矩阵的初等行变换与初等
2、列变换统称为矩阵的矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换初等变换同理，把同理，把 r换成换成 c可定义矩阵的可定义矩阵的初等列变换初等列变换.-2-3.1.1 矩阵的初等变换第2页/共87页 定义定义 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成经过有限次初等变换变成矩阵矩阵B，就称矩阵，就称矩阵A与与B等价等价，记作，记作例如例如-3-第3页/共87页-4-记号例如(下页)3.1.2 3.1.2 初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵定义定义 由由n阶单位矩阵阶单位矩阵E经过一次初等变换得经过一次初等变换得到的矩阵称为到的矩阵称为n阶阶初等矩阵初等矩阵.第4页/共87页-5-第5页/共87页
3、-6-为什么为什么?回想它们的逆变换？再验证一下：回想它们的逆变换？再验证一下：定理定理 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵是同一种初等矩阵.且且第6页/共87页例例1 初等矩阵为非奇异矩阵初等矩阵为非奇异矩阵.解解例如：例如：-7-第7页/共87页定理定理定理定理相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于设设A是一个是一个mn矩阵，对矩阵，对A施行一次初施行一次初等等行行变换，相当于在矩阵变换，相当于在矩阵A的左边乘相应的的左边乘相应的 m 阶初等阶初等对对A施行一次初等施行一次初等列列变换，相当于在矩阵变换，相当于
4、在矩阵A的的右边乘相应的右边乘相应的 n 阶初等矩阵，即阶初等矩阵，即矩阵；矩阵；此定理也可称为此定理也可称为“左行右列左行右列”原则原则.-8-第8页/共87页-9-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.第9页/共87页-10-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.第10页/共87页-11-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.第11页/共87页-12-上式上式例例2 计算计算解解第12页/共87页-13-(A)交换交换 的第一列与第二列得到的第一列与第二列得到 (B)交换交换 的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到 (C)交换交换 的第一列与第二列得到的第一列与第二列得
5、到 (D)交换交换 的第一行与第二行得的第一行与第二行得 故选故选(C).例例3 设设A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵(n2),交换交换A的第的第1行与第行与第2行得到矩阵行得到矩阵B，则（，则（）解解第13页/共87页3.1.3 矩阵的等价标准型矩阵的等价标准型1.阶梯形矩阵阶梯形矩阵 非零行的首非零元的列下标随其行下标的递非零行的首非零元的列下标随其行下标的递增而严格递增增而严格递增(即首非零元的左下方元素全为零即首非零元的左下方元素全为零).定义定义 具有以下特征的矩阵称为阶梯矩阵：具有以下特征的矩阵称为阶梯矩阵：零行位于全部非零行的下方零行位于全部非零行的下方;例如例如都是阶梯矩阵都是阶梯
6、矩阵.-14-三、矩阵的等价标准型第14页/共87页-15-非零行的首非零元所在列的其余元均为零非零行的首非零元所在列的其余元均为零.例如例如都是行简化梯矩阵都是行简化梯矩阵.定义定义 如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则称其为最简阶梯矩阵称其为最简阶梯矩阵(行简化梯矩阵行简化梯矩阵):非零行的首非零元为非零行的首非零元为1;2.简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵第15页/共87页-16-例例4 只用初等只用初等行行变换将矩阵变换将矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵.第16页/共87页-17-阶梯形 阶梯形 最简阶梯形 第17页/共87页-18-定理定理 只用
7、初等只用初等行行变换必能将矩阵化为阶梯形矩变换必能将矩阵化为阶梯形矩和行简化阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵.若再用初等若再用初等列列变换还可将矩阵化为更简单的形状变换还可将矩阵化为更简单的形状.例例5 用初等变换将例用初等变换将例4中的矩阵中的矩阵 A 化为更简化为更简.根据例根据例4，不难得到下面定理：，不难得到下面定理：阶梯形矩阵不唯一，行简化阶梯形矩阵唯一阶梯形矩阵不唯一，行简化阶梯形矩阵唯一.第18页/共87页-19-(续例续例4)形状为形状为第19页/共87页-20-3.标准形矩阵标准形矩阵化为化为:定理定理 用初等变换必能将矩阵用初等变换必能将矩阵称此矩阵为矩阵称此矩阵为矩阵称此矩阵
8、为矩阵称此矩阵为矩阵 A A 的的的的等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形.r r minmin(mm,n n).).第20页/共87页例例6 用初等变换将下列矩阵化为标准形：用初等变换将下列矩阵化为标准形：-21-第21页/共87页小结：矩阵的初等变换与初等矩阵小结：矩阵的初等变换与初等矩阵 “左行右列左行右列”原则和等价标准形定理原则和等价标准形定理 作业：作业：P86 1（1）（）（4）第22页/共87页-23-使得使得和和根据根据“左行右列左行右列”原则和等价标准形定理，原则和等价标准形定理，或对任意矩阵或对任意矩阵 A 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P 和和 Q,使得使得(1)推论推
9、论推论推论1 1 对任意矩阵对任意矩阵 A 存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵一些有用的推论如下：一些有用的推论如下：第23页/共87页-24-定理定理定理定理 n阶方阵阶方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A 可表示成有限个初等矩阵的乘积可表示成有限个初等矩阵的乘积.(2)因为初等矩阵的逆仍然是初等矩阵，再由因为初等矩阵的逆仍然是初等矩阵，再由(2)得：得：推论推论推论推论2 2 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A的等价标准的等价标准这是因为如果这是因为如果 A可逆，则可逆，则(1)式中式中A的等价标准形必的等价标准形必为为 E，否则左边是可逆矩阵，否则左边是可逆矩
10、阵,右边是不可逆矩阵，矛盾右边是不可逆矩阵，矛盾.反之反之,如果如果 A 的等价标准形为的等价标准形为 E，由，由(1)式有式有 由由(2)知知 A 是可逆的是可逆的.形为形为E.第24页/共87页-25-这说明这说明:方阵方阵 A 可逆的充要条件是只用初等可逆的充要条件是只用初等行行变换必可将变换必可将 A 化为单位矩阵化为单位矩阵 E.推论推论推论推论3 3如果如果 A 可逆可逆,由由(2)又得又得第25页/共87页3.1.4 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵设设A可逆，则其逆可逆，则其逆也可逆，根据前面定理，也可逆，根据前面定理，存在初等矩阵存在初等矩阵使使构造分块矩阵构造分块矩阵(
11、A,E)，则，则即即初等行变换初等行变换-26-四、用初等变换求逆矩阵第26页/共87页的逆矩阵的逆矩阵.作作36矩阵矩阵例例1 求矩阵求矩阵解解-27-第27页/共87页-28-第28页/共87页于是得到于是得到如果不知矩阵如果不知矩阵 A 是否可逆，也可按上述方法去做是否可逆，也可按上述方法去做,只要只要n2n左边子块有一行元素全为零，则左边子块有一行元素全为零，则A不可逆不可逆.-29-第29页/共87页例例2 判断判断 求求作作36矩阵矩阵 左边子块第三行全为，左边子块第三行全为，A不可逆不可逆.解解是否可逆，若可逆是否可逆，若可逆-30-第30页/共87页五、用逆矩阵解矩阵方程-31
12、-1.解矩阵方程解矩阵方程 AX=B (假设假设 A 可逆可逆)方法方法1：先求：先求 ，再计算，再计算方法方法2：方法方法1：先求：先求 ，再计算，再计算2.解矩阵方程解矩阵方程 XA=B(假设假设 A 可逆可逆)方法方法2：3.1.5 用逆矩阵解矩阵方程用逆矩阵解矩阵方程第31页/共87页-32-解解例例3 求矩阵求矩阵X，使，使 ,其中其中 由由AX+B=X，得，得 第32页/共87页-33-这说明这说明 EA是可逆矩阵是可逆矩阵，且，且第33页/共87页小结：用初等变换求逆矩阵小结：用初等变换求逆矩阵 解矩阵方程解矩阵方程作业：作业：P86 2（2）、）、3（2）第34页/共87页-3
13、5-3.2.2 3.2.2 用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩3.2.1 3.2.1 矩阵秩的定义矩阵秩的定义3.2 矩阵的秩3.2 3.2 矩阵的矩阵的秩秩第35页/共87页3.2.1 3.2.1 矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义在矩阵在矩阵中任选中任选 k 行行 k 列列其相交处的其相交处的个元素，按原来个元素，按原来定义定义3.5的位置构成的位置构成 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的的 k 阶子式阶子式.矩阵共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式.最低阶为最低阶为 阶，阶，最高阶为最高阶为 阶阶.其中不为零的子式称为非零子式其中不为零的子式称为非零子式
14、.1.k 阶子式阶子式3 3.2.1.2.1 矩阵的秩的定义第36页/共87页等等,它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.等等,例如它们都是二阶子式.-37-的最高阶子式是的最高阶子式是3阶，共有阶，共有4个个3阶子式阶子式.易见易见第37页/共87页2.2.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定义定义定义定义3.63.6如果在矩阵如果在矩阵A中有一个中有一个 r 阶非零子式阶非零子式 D，且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于全等于0，那么，那么D记作记作R(A)，即，即R(A)=r.称为矩阵称为矩阵A的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数r 称为矩阵称为矩阵
15、A的的秩秩，在矩阵在矩阵A中，当所有的中，当所有的r+1阶子式全等于零时，由阶子式全等于零时，由行列式的性质可知，所有高于行列式的性质可知，所有高于r+1阶的子式阶的子式(如果存在如果存在的话的话)也全等于零，因此也全等于零，因此A的秩的秩 R(A)就是就是A中不等于零中不等于零的子式的最高阶数的子式的最高阶数.规定零矩阵的秩等于零规定零矩阵的秩等于零.第38页/共87页定义定义定义定义阶方阵阶方阵 ，则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵.定义定义定义定义，则称，则称 为为行满秩阵行满秩阵；，则称，则称 为为列满秩阵列满秩阵；则称则称 A为为降秩矩阵降秩矩阵.因为可逆矩阵的秩等于其阶数，故可逆矩阵又
16、因为可逆矩阵的秩等于其阶数，故可逆矩阵又称为满秩矩阵称为满秩矩阵.不可逆方阵又称为降秩矩阵不可逆方阵又称为降秩矩阵.A 可逆可逆 A 非奇异非奇异|A|0 A 满秩矩阵满秩矩阵 A 的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为|A|A 的标准形为的标准形为E.第39页/共87页例例解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩变换法去求矩阵的秩.第40页/共87页定理定理3.4 3.2.2 用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩由于由于的充要条件是有可逆矩阵的充要条件是有可逆矩阵P、Q，使，使因此可得因此可得
17、推论推论若可逆矩阵若可逆矩阵P、Q，使，使则则 由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数变换变成阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩即是该矩阵的秩.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即3.2.2 用初等变换求矩阵的秩第41页/共87页 例例2 2 将下列矩阵利用初等变换化为将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形行阶梯形,再再化为化为行最简形行最简形,最后最后化为标准形化为标准形.并求其秩并求其秩.第42页/共87页秩显然为秩显然为.是是A的标准形的标准形.为行阶梯形
18、矩阵，为行阶梯形矩阵，为行最简形矩阵，为行最简形矩阵，注意：注意：化矩阵为化矩阵为行行阶梯形或阶梯形或行行最简形时仅能用最简形时仅能用初等初等行行变换变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用等列变换均可以使用.第43页/共87页例例设设其中其中求求解解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故第44页/共87页第45页/共87页 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质第46页/共87页第47页/共87页例例4 设设又又 或或 解解若若R(A)3，求，求 a .-48-第48页/共87页3.3.2 3.3.2 非齐次线性方程组有解的
19、充非齐次线性方程组有解的充 分必要条件分必要条件3.3 线性方程组3.3.3 3.3.3 齐齐次次线线性性方方程程组组有有解解的的充充分分必要条件必要条件3.3.1 3.3.1 用高斯消元法解线性方程组用高斯消元法解线性方程组3.33.3 线性方程组线性方程组 -49-第49页/共87页-50-克莱姆法则只适用克莱姆法则只适用n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组,且系数行列式不为零且系数行列式不为零.使用使用高斯消元法可求解更一般的线性方程组高斯消元法可求解更一般的线性方程组.1.线性方程组何时有解线性方程组何时有解?2.若有解若有解,解是否唯一？解是否唯一？3.有解时有解
20、时,如何求出全部的解？如何求出全部的解？问题问题问题问题 方法方法方法方法 矩阵的初等变换矩阵的初等变换.第50页/共87页 矩阵形式:(2.3)1.线性方程组的一般式含有n个未知量m个方程的线性方程组一般形式为：-51-一、线性方程组的一般式其中 为n元未知量矩阵。为常数项矩阵，为系数矩阵，3.3.1 用高斯消元法解线性方程组用高斯消元法解线性方程组第51页/共87页称为增广矩阵.-52-线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.例如第52页/共87页2.高斯消元法的求解过程例1 解线性方程组(注意方程组初等变换与增广矩阵初等行变换的关系).-53-二、高斯消元法的求解过程互换方程(1)与(2)
21、的位置，得解第53页/共87页(2)+(1)(-2),(3)+(1)(-4)，得(3)+(2)(-1),得-54-第54页/共87页-55-(3)(-1/2)，得 阶梯形方程组 阶梯形矩阵 第55页/共87页-56-(2)+(3)2,(1)+(3)(-2)，得(2)(-1/3)，得 第56页/共87页-57-(1)+(2)(-1)，得可得原方程组的解为：行简化梯矩阵 第57页/共87页-58-由于三种变换均可逆由于三种变换均可逆,所以所以变换前的方程组与变换前的方程组与 在例在例1的求解过程中，对方程组始终用到如下三种变换：的求解过程中，对方程组始终用到如下三种变换：(1)交换方程的位置；交换
22、方程的位置；(2)以不等于以不等于0的数乘某个方程两边；的数乘某个方程两边；(3)把一个方程的把一个方程的k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上.等价地，就是对增广矩阵等价地，就是对增广矩阵只实施初等行变换只实施初等行变换.变换后的方程组是同解的变换后的方程组是同解的.第58页/共87页-59-最后一行对应的方程是：最后一行对应的方程是：0=20=2,所以方程组无解所以方程组无解.例例2 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组对增广矩阵使用初等对增广矩阵使用初等行行变换化梯矩阵变换化梯矩阵:解解第59页/共87页-60-(1)对增广矩阵使用初等行变换化行最简形矩阵对增广矩阵使用初等行变换化行
23、最简形矩阵:例例3 解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组解解 第60页/共87页-61-(2)写出同解的最简梯形方程组写出同解的最简梯形方程组 (3)移项移项:保留第一个未知量在左边，其余的移到右边保留第一个未知量在左边，其余的移到右边此时此时,右边的未知量称为右边的未知量称为自由变量自由变量.(4)令自由变量取任意常数，即得一般解令自由变量取任意常数，即得一般解(通解或全部解通解或全部解)即令即令为任意常数为任意常数.第61页/共87页-62-(取任意常数取任意常数)得方程组的一般解为得方程组的一般解为:从以上从以上3例可以看出，一个线性方程组的解可能例可以看出，一个线性方程组的解可能出现三
24、种情况：无解，唯一解，无穷多解出现三种情况：无解，唯一解，无穷多解.第62页/共87页-63-梯矩阵梯矩阵(判断是否有解判断是否有解)方程组方程组增广矩阵增广矩阵行简化梯矩阵行简化梯矩阵梯形方程组梯形方程组令自由变量为令自由变量为任意常数任意常数,得解得解有有解解结束结束移项移项行变换行变换无解无解 使用高斯消元法求解线性方程组步骤使用高斯消元法求解线性方程组步骤使用高斯消元法求解线性方程组步骤使用高斯消元法求解线性方程组步骤 第63页/共87页矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行
25、数标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数小结：小结：作业：作业：P86 4（3）、）、6（3）用高斯消元法解线性方程组用高斯消元法解线性方程组第64页/共87页-65-的秩，可以方便地讨论线性方程组的解的秩，可以方便地讨论线性方程组的解.利用线性方程组利用线性方程组(3.1)的系数矩阵的系数矩阵A与増广矩阵与増广矩阵 设线性方程组设线性方程组(3.1)的系数矩阵的秩的系数矩阵的秩R(A)=r，其增广矩阵其增广矩阵 有有从而只有两种可能：从而只有两种可能：对线性方程组对线性方程组(3.1)的增广矩阵的增广矩阵施以行初等变换，施以行初等变换，化化为行阶梯形矩阵，由定理为行阶梯形矩阵，
26、由定理3.4知，初等变换不改知，初等变换不改变矩阵的秩，从而判别出线性方程组解的情况变矩阵的秩，从而判别出线性方程组解的情况.3.3.2 非齐次线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件3.3.2 非齐次非齐次线性方程组线性方程组有有解解的充分必要条件的充分必要条件第65页/共87页-66-不不妨妨设设mn线线性性方方程程组组(3.1)的的增增广广矩矩阵阵经经过过一一系系列列初初等等行行变变换换化化为为如如下下行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵第66页/共87页-67-同解阶梯形方程组为 量称为自由未知量.自由未知量共有 nr个.称为主元,主元所在定义定义 列对应的未知量 称为约束变量,其余
27、未知第67页/共87页-68-方程组中有矛盾方程，方由克莱姆法则知,方程组有唯一解.由梯形方程组可得 若则方程组有解，且 (1)当 r=n 时,梯形方程组为 程组无解;若第68页/共87页-69-（2）当 r n 时,梯形方程组为 移项 任给自由变量 一组值,由克拉默法则知,可唯一确定 因此原方程组有无穷多个解.第69页/共87页 线性方程组方程组线性方程组方程组Ax=b有解的充要条有解的充要条 如果如果r=n，那么方程组有唯一解；，那么方程组有唯一解；如果如果rn，那么方程组有无穷多解，那么方程组有无穷多解.线性方程组方程组线性方程组方程组 Ax=b无解的充要条件是无解的充要条件是件是件是定
28、理定理定理定理3.53.5-70-第70页/共87页-71-问问方方程程组组何何时时无无解解，何何时时有有解解?当当方方程程组组有有解解时时求出其一般解求出其一般解.例例4 对方程组的增广矩阵作初等行变换对方程组的增广矩阵作初等行变换 解解 第71页/共87页-72-如果如果q=4,p=1对对B进一步作初等行变换进一步作初等行变换,可得可得 当当q=4时时,R(A)=R(A,b)=3，原方程组有解，原方程组有解;当当q4时时,R(A)=3，R(A,b)=4，原方程组无解，原方程组无解;第72页/共87页-73-得同解方程组得同解方程组:令令 ,移项得：移项得：得通解为得通解为:第73页/共87
29、页-74-如果q=4，p1，对B进一步作初等行变换,可得 得同解方程组并移项令 ，得一般解为(为任意常数)第74页/共87页练习练习1 问问a,b 取何值时，下列方程组无解？有唯取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？一解？有无穷多解？-75-练习练习2 当当k为何值时，下列方程组有解为何值时，下列方程组有解第75页/共87页练习练习1 问问a,b 取何值时，下列方程组无解？有唯取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？一解？有无穷多解？解解-76-第76页/共87页原方程组无解；原方程组无解；原方程组有无穷多解原方程组有无穷多解.原方程组有唯一解；原方程组有唯一解；当当a=5，
30、b3时，时，当当a=5，b=3时，时，当当a5，b为任意时，为任意时，-77-第77页/共87页练习练习2 当当k为何值时，下列方程组有解为何值时，下列方程组有解 方程组有无穷多解方程组有无穷多解.解解-78-第78页/共87页定理定理定理定理3.6 3.6 若齐次线性方程组若齐次线性方程组系数矩阵的秩系数矩阵的秩R(A)=r，则，则 如果如果r=n，齐次线性方程组只有零解；，齐次线性方程组只有零解；如果如果rn，齐次线性方程组有非零解，齐次线性方程组有非零解.3.3.3 齐次线性方程组有解的充分必要条件齐次线性方程组有解的充分必要条件-79-3 3.3.3.3.3 齐次线性方程组有解的充分必
31、要条件第79页/共87页-80-推论推论推论推论1 1 当方程个数少于未知量个数当方程个数少于未知量个数(mn)时时,此时齐次方程组一定有非零解此时齐次方程组一定有非零解(无穷多解无穷多解).推推推推论论论论2 2 n个个方方程程n个个未未知知量量的的齐齐次次方方程程组组 A 有有非非零零解解的的充充要要条条件件是是|A|=0，而它仅有零解的充要条件是，而它仅有零解的充要条件是|A|0.第80页/共87页例例5 判断下列齐次线性方程组解的情况判断下列齐次线性方程组解的情况 方程组只有零解方程组只有零解.解解-81-第81页/共87页解解-82-第82页/共87页 方程组有非零解方程组有非零解.
32、-83-第83页/共87页原方程组的同解方程组为原方程组的同解方程组为取取取取等于等于等于等于k k k k(k k为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数)，则原方程组的全部解为，则原方程组的全部解为，则原方程组的全部解为，则原方程组的全部解为或或或或第84页/共87页推论推论推论推论1 1 Ax=b 无解无解 推论推论推论推论2 2 Ax=b 有唯一解有唯一解 推论推论推论推论3 3 Ax=b 有无穷多解有无穷多解 Ax=0,由于由于 方程组一定有解，且有方程组一定有解，且有 推论推论推论推论4 4 Ax=0 只有零解只有零解(唯一解唯一解)推论推论推论推论5 5 Ax=0 有非零解有非零解(无穷解无穷解)小结：小结：小结：小结：-85-第85页/共87页小结：线性方程组解的判定定理小结：线性方程组解的判定定理作业：作业：P87 8第86页/共87页感谢您的观赏第87页/共87页