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1、矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组第1页 共92页第1页，本讲稿共90页第2页 共92页一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第2页，本讲稿共90页第3页 共92页1、引例求解线性方程组：一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组第3页，本讲稿共90页第4页 共92页解：1)消元第4页，本讲稿共90页第5页 共92页2)回代（4 4个未知数个未知数3 3个方程，无穷解。可取每个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知数，一行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代）进行回代）(B4)第5页，本讲稿共90页第6页 共92页则
2、（2）解得第6页，本讲稿共90页第7页 共92页方程组的同解变换(消元过程)：1）对换两个方程3）2）对增广矩阵 B=(A|b)进行相应的三种初等行变换第7页，本讲稿共90页第8页 共92页(B4)(B1)行阶梯形：第8页，本讲稿共90页第9页 共92页(B4)(B5)行最简形第9页，本讲稿共90页第10页 共92页对增广矩阵（对增广矩阵（A|b）施行初等行变换，变成行最简）施行初等行变换，变成行最简形。形。方程组的求解注意：注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。元进行变换，并不是方程的同解变换。第10页，本
3、讲稿共90页第11页 共92页1）2）3）jikrr+初等变换的逆变换第11页，本讲稿共90页第12页 共92页行等价：列等价：等价：性质：矩阵的等价关系A B反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性第12页，本讲稿共90页第13页 共92页标准形标准形：第13页，本讲稿共90页第14页 共92页如：第14页，本讲稿共90页第15页 共92页初等矩阵的概念单位矩阵 经一次初等变换得到的矩阵1、定义2、三种初等矩阵三种初等变换 三种初等方阵第15页，本讲稿共90页第16页 共92页jirr1)|第16页，本讲稿共90页第17页 共92页第17页，本讲稿共90页第18页 共92页第18页，本讲
4、稿共90页第19页 共92页(k 0)2)|第19页，本讲稿共90页第20页 共92页第20页，本讲稿共90页第21页 共92页3）|第21页，本讲稿共90页第22页 共92页第22页，本讲稿共90页第23页 共92页第23页，本讲稿共90页第24页 共92页)(nkjiAE第24页，本讲稿共90页第25页 共92页定理11）行变换，）行变换，A为为A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵2）列变换，）列变换，A为为A右乘右乘相应的相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵第25页，本讲稿共90页第26页 共92页初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵的
5、转置仍为初等矩阵；第26页，本讲稿共90页第27页 共92页解：解：记 B第27页，本讲稿共90页第28页 共92页定理2证:A可逆 存在有限个初等矩阵(充分性 )(必要性 )显然显然.第28页，本讲稿共90页第29页 共92页证明：证明：推论1A可逆A经有限次初等行变换 E可逆矩阵的行最简型为可逆矩阵的行最简型为E第29页，本讲稿共90页第30页 共92页初等行变换初等行变换同理，对方程组若A可逆第30页，本讲稿共90页第31页 共92页（作业）（作业）推论2第31页，本讲稿共90页第32页 共92页 解解例 2第32页，本讲稿共90页第33页 共92页第33页，本讲稿共90页第34页 共9
6、2页例3解：解：第34页，本讲稿共90页第35页 共92页第35页，本讲稿共90页第36页 共92页小结1.单位矩阵 初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:第36页，本讲稿共90页第37页 共92页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论第三节第三节 矩阵的秩矩阵的秩第37页，本讲稿共90页第38页 共92页矩阵的秩一、矩阵秩的概念第38页，本讲稿共90页第39页 共92页1.矩阵的子式k阶子式阶子式(km,n)：任取任取k行、行、k列交叉得到的列交叉得到的矩阵的行列式矩阵的行
7、列式相应的位置保持不变第39页，本讲稿共90页第40页 共92页2.最高阶非零子式和秩A的秩的秩A的最高阶非的最高阶非0子式的阶子式的阶R(A)或或 r(A)第40页，本讲稿共90页第41页 共92页第41页，本讲稿共90页第42页 共92页例1解解第42页，本讲稿共90页第43页 共92页例2解解第43页，本讲稿共90页第44页 共92页问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法第44页，本讲稿共90页第45页 共92页1、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非
8、零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、第45页，本讲稿共90页第46页 共92页显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，第46页，本讲稿共90页第47页 共92页例4解解第47页，本讲稿共90页第48页 共92页A得得第48页，本讲稿共90页第49页 共92页取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一个最高阶非0子式注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对换情况。第49页，本讲稿共90页第50页 共92页例5解解分析：分析：第50页，本讲稿共90页第51页 共92页第51页，本讲稿共90页第52页 共92页1、
9、n阶方阵阶方阵A可逆可逆2三、矩阵秩的一些结论第52页，本讲稿共90页第53页 共92页3、4、5、Sylverster不等式不等式:第53页，本讲稿共90页第54页 共92页例1例2例3第54页，本讲稿共90页第55页 共92页矩阵的秩的性质1.2.3.4.5.6.7.(见下节)8.(见下节)第55页，本讲稿共90页第56页 共92页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第四节第四节 线性方程组的解线性方程组的解第56页，本讲稿共90页第57页 共92页线性方程组线性方程组系数矩阵为系数矩阵为线
10、性方程组可记为：线性方程组可记为：相容线性方程组。相容线性方程组。（不）（不）一、线性方程组有解的判定条件第57页，本讲稿共90页第58页 共92页1)m=n 时,A是n阶方阵,若|A|则可用克莱默法则求解,或用A的逆矩阵表示解.0,2)对一般的情况如何判定有没有解对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解有解时如何求解?问题：问题：第58页，本讲稿共90页第59页 共92页1、非齐次线性方程组推：若方程组的个数小于变元的个数，推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。则不可能有唯一解。则方程组：1）无 解2）唯一解3）无穷解第59页，本讲稿共90页第60页 共92页证：（充分性）
11、第60页，本讲稿共90页第61页 共92页第61页，本讲稿共90页第62页 共92页Onn个m-n个第62页，本讲稿共90页第63页 共92页第63页，本讲稿共90页第64页 共92页第64页，本讲稿共90页第65页 共92页方程组的通解，自由度为方程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越越小，解的自由度越大大第65页，本讲稿共90页第66页 共92页2、齐次方程方程组第66页，本讲稿共90页第67页 共92页齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增
12、广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；3、求解线性方程组步骤:第67页，本讲稿共90页第68页 共92页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法第68页，本讲稿共90页第69页 共92页第69页，本讲稿共90页第70页 共92页例 求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第70页，本讲稿共90页第71页 共92页例 求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换第71页，本
13、讲稿共90页第72页 共92页故方程组有解，且有无穷解故方程组有解，且有无穷解第72页，本讲稿共90页第73页 共92页例 第73页，本讲稿共90页第74页 共92页例 设有线性方程组解解第74页，本讲稿共90页第75页 共92页第75页，本讲稿共90页第76页 共92页其通解为其通解为第76页，本讲稿共90页第77页 共92页这时又分两种情形：这时又分两种情形：第77页，本讲稿共90页第78页 共92页第78页，本讲稿共90页第79页 共92页解二:由于方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法:第79页，本讲稿共90页第80页 共92页第80页，本讲稿共90页第81页 共92页第81页，本讲
14、稿共90页第82页 共92页第82页，本讲稿共90页第83页 共92页三、推广到矩阵方程Th7 AX=B 有解 R(A)=R(A,B).证：将证：将X X，B B 按列分块，得按列分块，得第83页，本讲稿共90页第84页 共92页（充分性）R(A)=R(A,B)第84页，本讲稿共90页第85页 共92页（必要性）AXB 有解第85页，本讲稿共90页第86页 共92页Th9第86页，本讲稿共90页第87页 共92页非齐次线性方程组齐次线性方程组()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=三、小结第87页，本讲稿共90页第88页 共92页思考题第88页，本讲稿共90页第89页 共92页答答答答相等.即由此可知思考题解答第89页，本讲稿共90页第90页 共92页6、第90页，本讲稿共90页