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1、第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩 第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解 第1页/共92页 本章先引进矩阵的初等变换，建立本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法方程组的方法第2页/共92页1 矩阵的初等
2、变换矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结三、小结 第3页/共92页引例引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第4页/共92页解解第5页/共92页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第6页/共92页于是解得于是解得（2）第7页/共92页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换如下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个
3、方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）第8页/共92页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换第9页/共92页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以
4、转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换第10页/共92页定义定义1二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:第11页/共92页定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第12页/共92页第13页/共92页等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同
5、解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第14页/共92页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第15页/共92页第16页/共92页第17页/共92页第18页/共92页特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个）、每个台阶台阶 只有一只有一行，行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元第19页/共92页注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行注意：行最简形矩阵
6、是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形第20页/共92页例如，例如，第21页/共92页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类是这个等价类中最简单的矩阵中最简单的矩阵.第22页/共92页行变换行变换第23页/共92页定理定理1 设设 与与 为为 矩阵，那么矩阵，那么（1）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（2）
7、的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（3）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阶可逆矩阵阵 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使第24页/共92页推论：方阵可逆的充分必要条件是推论：方阵可逆的充分必要条件是 ，即并可验证1-=AXEAX第25页/共92页利用初等变换求逆阵的方法：第26页/共92页 解解例例第27页/共92页第28页/共92页即即初等行变初等行变换换第29页/共92页例例解解第30页/共92页第31页/共92页第32页/共92页例例3 3 求解矩阵方程求解矩阵方程，其中，其中解：解：第33页/共92页例例4 4 设设 的行最简形矩阵为的行
8、最简形矩阵为 ，求求 ，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 ，使，使第34页/共92页三、小结三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.初等变换第35页/共92页4.利用初等变换求逆阵的步骤是:第36页/共92页2 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结 第37页/共92页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩第38页/共92页简单结论简单结论:1、第39页/共92页4、2、3、第40页/共92页例例1解解第41页/共92页例例2解解第42页/共92页例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子
9、式，第43页/共92页另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！第44页/共92页问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法推论推论 若可逆矩阵若可逆矩阵 使使 则则 第45页/共92页初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解第46页/共92页第47页/共92页第48页/共92页第49页/共92页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可
10、知第50页/共92页第51页/共92页则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.第52页/共92页例例5 5解解分析：分析：第53页/共92页第54页/共92页第55页/共92页例例6 设设 已知已知 ，求，求 与与 的值。的值。第56页/共92页矩阵秩的的性质：矩阵秩的的性质：1、2、第57页/共92页证明：证明：例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)第58页/共92页例例8 证明：若证明：若 且且 ，则，则 第59页/共92页三、三、小结小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用
11、初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第60页/共92页思考题第61页/共92页3 线性方程组线性方程组的的解解一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结、思考题 第62页/共92页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：（3）线性方程组（线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。如果无解，就称它不相容。第63页/共92页证明：证明：只需证条件的充分性即可。只需证条件的充
12、分性即可。第64页/共92页故方程有惟一解。故方程有惟一解。第65页/共92页第66页/共92页（*）解（解（*）称为线性方程组（）称为线性方程组（3）的通解。）的通解。由于参数由于参数可取任意值，故方程组（可取任意值，故方程组（3）有无限）有无限多个解。第67页/共92页定理定理4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充有非零解的充分必要条件是分必要条件是R(A)n.定理定理5 线性方程组线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理定理6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理定理
13、7 设设AB=C，则则 第68页/共92页小结有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；第69页/共92页例1 求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第70页/共92页即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程
14、组第71页/共92页由此即得第72页/共92页例 求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第73页/共92页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解 对增广矩阵B进行初等变换第74页/共92页故方程组有解，且有第75页/共92页所以方程组的通解为第76页/共92页例 解证解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为第77页/共92页第78页/共92页由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：第79页/共92页例 设有线性方程组解解第80页/共92页第81页/共92页其通解为第82页/共92页这时又分两种情形：这时又分两种情形：第83页/共92页第84页/共92页()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结第85页/共92页思考题第86页/共92页思考题解答解解第87页/共92页第88页/共92页第89页/共92页故原方程组的通解为故原方程组的通解为第90页/共92页2023/3/20第91页/共92页2023/3/20感谢您的观看！第92页/共92页