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1、优秀学习资料欢迎下载高二数学抛物线的简单几何性质练习【同步达纲练习】A级一、选择题1. 若 A是定直线l 外的一定点，则过A且与 l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2. 抛物线 y2=10 x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 3. 已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是 ( ) A.y2=11x B.y2=-11x C.y2=22x D.y2=-22x 4. 过抛物线y2=2px(p 0) 的焦点且垂直于x 轴的弦 AB ， O为抛物线顶点， 则 AOB( ) A.小于
2、 90B.等于 90C.大于 90D.不能确定5. 以抛物线y2=2px(p 0) 的焦半径 PF为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题6. 圆 心 在 抛 物 线y2=2x上 ， 且 与x 轴 和 该 抛 物 线 的 准 线 都 相 切 的 圆 的 方 程是 . 7. 若以曲线252x+162y=1 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B两点，则 AB = . 8. 若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1 所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 . 三、解答题9. 抛物线x2=4y 的焦点为F，过点 (0，-1)
3、作直线 l 交抛物线A、B 两点，再以AF 、 BF为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R的轨迹方程 . 10. 是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC在直线 x+y-2=0 上，顶点 B、D在抛物线y2=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由. AA级一、选择题1. 经过抛物线y2=2px(p 0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定2. 直线 y=kx-2 交抛物线y2=8x 于 A、 B两点，若 AB的中点横坐标为2， 则 AB 为 ( ) A.15B.415C.215D.42精选学习资料 - - - - - - - - -
4、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载3. 曲线 2x2-5xy+2y2=1( ) A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4. 若抛物线y2=2px(p 0) 的弦 PQ的中点为 (x0,y0)(y 0) ，则弦 PQ的斜率为 ( ) A.-0 xpB.0ypC.px-D.-px05. 已知抛物线y2=2px(p 0) 的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则2121xxyy的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p2D.-p2
5、二、填空题6. 抛物线y2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 . 7. 以椭圆52x+y2=1 的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A，则 AF = . 8. 若 OAB为正三角形， O为坐标原点， A、B两点在抛物线y2=2px 上，则 OAB的周长为 . 三、解答题9. 抛物线 y=-22x与过点 M(0，-1) 的直线 l 相交于 A、B两点， O为坐标原点，若直线OA和 OB斜率之和为1，求直线l 的方程 . 10. 已知半圆的直径为2r，AB为直径，半圆外的直线l 与 BA的延长线垂直，垂足为T，且 TA=2a(
6、2a2r), 半圆上有M 、 N两点，它们与直线l 的距离 MP 、NQ 满足条件MP =AM , NQ =AN，求证： AM +AN=AB . 【素质优化训练】一、选择题1. 过点 A(0，1)且与抛物线y2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 设抛物线y=ax2(a 0) 与直线 y=kx+b 相交于两点， 它们的横坐标为x1,x2, 而 x3是直线与 x 轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载A.x3
7、=x1+x2B.x3=11x+21xC.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x23. 当 0k31时，关于x 的方程x2=kx 的实根的个数是( ) A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4. 已知点A(1， 2)，过点 (5，-2) 的直线与抛物线y2=4x 交于另外两点B、C，则 ABC是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5. 将直线 x-2y+b=0 左移 1 个单位，再下移2 个单位后，它与抛物线y2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于 ( ) A.-1 B.1 C.7 D.9 二、填空题6. 抛物线 y2=-8x 被点 P(-1
8、，1) 所平分的弦所在直线方程为 . 7. 已知抛物线y2=2x 的弦过定点 (-2 ，0)，则弦 AB中点的轨迹方程是 . 8. 已知过抛物线y2=2px 的焦点F 的弦AB 被 F 分成长度为m、 n 的两部分，则m1+n1= . 三、解答题9. 已知圆 C过定点 A(0，p)(p 0) ，圆心 C在抛物线x2=2py 上运动，若MN为圆 C在 x轴上截得的弦， 设 AM =m, AN =n，MAN= .(1) 当点 C运动时， MN 是否变化 ?写出并证明你的结论?(2) 求mn+nm的最大值，并求取得最大值时的值和此时圆C的方程 . 10. 已知抛物线y2=4ax(0 a1) 的焦点为
9、F，以 A(a+4,0) 为圆心， AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和 N，设 P为线段 MN 的中点，( ) 求 MF +NF的值；( ) 是否存在这样的a 值，使 MF 、 PF、 NF成等差数列 ?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由. 【生活实际运用】1. 已知点 P(x0,y0) 在抛物线含焦点的区域内，求证以点P为中点的抛物线y2=2px(p 0)的中点弦方程为yy0-p(x+x0)=y20-2px0注： 运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y2=2px 上点的切线方程有什么联系 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
10、- - - - - - -第 3 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载若 P(x0,y0)为非对称中心， 将抛物线y2=2px 换成椭圆22ax+22by=1 或双曲线22ax-22by=1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论 . 中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2. 公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O恰在圆形水面中心， OA=1.25 米 . 安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离 1 米处达到
11、距水面最大高度2.25 米 .如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外? 分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以 OA所在直线为y 轴，过 O点作 oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意 A(0，1.25) ，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25) ，抛物线与x 轴正向交点为C，OC即圆型水池的半径. 设抛物线 ABC的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25) 将 A(0，1.25) 代入求得p=21抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令 y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米) 即水池的半
12、径至少要2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外. 【知识验证实验】1. 求函数 y=136324xxx-124xx的最大值 . 解：将函数变形为y=222)2()3(xx-222) 1(xx，由几何意义知， y 可以看成在抛物线f(x)=x2上的点 P(x,x2) 到两定点A(3，2) 和 B(0，1) 的距离之差， PA - PB AB ，当P 、 A、B三点共线，且P在 B的左方时取等号，此时P点为 AB与抛物线的交点，即P为 (6371，183719) 时， ymax=AB =10. 2. 参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外. 【知识探究学习】1. 如图，设F
13、 是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线， MN是法线， ME是平行于抛物线的轴的直线. 求证：法线MN必平分 FME ，即 1=2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载解：取坐标系如图， 这时抛物线方程为y2=2px.(p 0)， 因为 ME平行 x 轴( 抛物线的轴 ) ，1=2, 只要证明 1=3，也就是 FMN的两边 FM和 FN相等 . 设点 M的坐标为 (x0,y0)，则法线 MN的方程是y-y0=-py0(x-x0), 令 y=0，便得到法线与x 轴的交点N的坐
14、标 (x0+p,0) ，所以 FN= x0+p-2p=x0+2p, 又由抛物线的定义可知，MF =x0+2p, FN=FM ,由此得到 1=2=3，若 M与顶点 O重合，则法线为x 轴，结论仍然成立. 2. 课本第 124 页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案 : 【同步达纲练习】A级1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x-21)2+(y 1)2=1 7.3100 8.y2=12x 或 y2=-4x 9. 解：设 R(x,y),F(0,1),平行四边形FARB 的中心为C(2x,21y),l:y=kx-1,代入抛物线方程，得x2-4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(
15、x2,y2), 则 x1+x2=4k,x1x2=4，且 =16k2-16 0，即|k| 1 ， y1+y2=42221xx=42)(21221xxxx=4k2-2, C为AB的 中 点.1222122222121kyyykxxx3442kykx消去 k 得 x2=4(y+3),由得， x 4，故动点 R的轨迹方程为x2=4(y+3)( x 4). 10. 解：设存在满足题意的正方形. 则 BD ：y=x+b, 代入抛物线方程得x2+(2b-4)x+b2=0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载 =(
16、2b-4)2-4b2=16-16b 0, b1, ，设B(x1,y1),D(x2,y2),BD中点M(x0,y0), 则x1+x2=4-2b, x0=2-b,y0=x0+b=2, M在 AC直线上， (2-b)+2-2=0， b=2 与相矛盾，故不存在满足要求的正方形. AA级1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.95-18 8.123p 9. 解 ： 设l:y=kx-1,代 入y=-22x, 得x2+2kx-2=0 ， 设A(x1,y1),B(x2,y2) ， 则x1+x2=-2k,x1x2=-2, 又11xy+22xy=111xkx+221xkx=2k-2121xxxx=2k
17、-22k=k=1，直线l的方程为 y=x-1. 10. 证明：由 MP =AM , NQ =AN 知 M 、 N 在以 l 准， A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，又 TA =2a=p, 抛物线方程为y2=4ax，又圆的方程为 (x-a-r)2+y2=r2，将两方程相减可得：x2+2(a-r)x+a2+2ar=0，设M(x1,y1),N(x2,y2) ，则 x1+x2=2r-2a, AM +AN=PM +QN =x1+x2+2a=2r, 即 AM +AN =AB 【素质优化训练】1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.4x+y+3=0 7.y2=x+2( 在
18、 已 知 抛 物 线 内 部 的 部 分 ) 8.2p9. 解： (1) 设圆心 C(x0,y0), 则 x20=2py0，圆 C的半径 CA =2020)(pyx，其方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2, 令 y=0，并将x20=2py0，代入，得x2-2x0 x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p, MN =xN-xM=2p(定值 ) (2)m= AM =220)(ppx,n= AN =220)(ppx,m2+n2=4p2+2x20,mn=4044xp，mn+nm=mnnm22=404202424xpxp=20202)(4yppypp= 2020
19、)(2ypyp=2202021yppy22，当且仅当y0=p 时等号成立， x0=2p，此时 MCN为等腰直角三角形，且MCN=90 ， MAN=21 MCN=45 ，故当 =45时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p2或(x+2p)2+(y-p)2=2p210. 解： (1) 由已知得F(a,0),半圆为 x-(a+4) 2+y2=16(y 0) ，设 M(x1,y1),N(x2,y2) ，则 MF + NF=x1+x2+2a=2(4-a)+2a=8 (2) 若 MF 、 PF、 NF成等成数列，则有2PF =MF +NF , 另一方面，设 M 、 P、N 在抛物线的准线上的射影为M 、 P、 N，则在直角梯形M MNN 中， PP是中位线， 又有 2PP =M M +NN= MF + FN, 因而 PF=PP , P点应在抛物线上，但P点是线段MN 的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使MF 、PF 、 NF 成等差数列的a 值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页