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1、2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2014.4 一填空题：(本题满分56 分，每小题4 分) 1已知集合2|05xAxx，2|230,Bx xxxR，则BA_2直线310 xy的倾斜角的大小是_3函数cos 24yx的单调递减区间是_4函数22yxxx的值域是 _5设复数z满足132i zi，则z_6某学校高一、高二、高三共有2400 名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本 . 已知高一有820 名学生，高二有780 名学生，则在该学校的高三应抽取_名学生 . 7函数sincoscos2sincossinxxxfxxx
2、x的最小正周期T=_8已知函数) 12(arcsin)(xxf，则)6(1f_9如图，在直三棱柱111ABCA B C中，0190 ,2,1ACBAAACBC，则异面直线1A B与AC所成角的余弦值是_10若211,1nnNnx的展开式中4x的系数为na，则23111limnnaaaL=_11在极坐标系中， 定点 A(2,),2点 B 在直线0sincos上运动， 则点 A 和点 B 间的最短距离为_12如图， 三行三列的方阵中有9 个数(1 2 312 3)ijaij，；，从中任取三个数，111213212223313233aaaaaaaaa则至少有两个数位于同行或同列的概率是_ ( 结果用
3、分数表示)13如图所示，在边长为2 的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 线段CD（含端点） 上运动，P是圆Q上及内部的动点， 设向量(,APmABnAFm nuuu ruuu ruuu r为实数）， 则mn的最大值为 _14对于集合12,nAa aa（*,3)nNn，定义集合,1ijxaaijnSx，记集合S中的元素个数为()S A若12,na aa是公差大于零的等差数列，则()S A
4、=_二选择题： （本题满分20 分，每小题5 分）15已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题, 其中正确的是 -( )ml/ml /ml /mlA B. C. D.16在ABC中，角CBA、的对边分别是cba、，且BA2，则BB3sinsin等于 - （）AcaBbcCabDcb17函数21(2)yx图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是 - （）A23B21C33D318设圆 O1和圆 O2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是两条双曲线；一条双曲线和一条直线；一条双曲线和一个椭圆以上命题正确的是-（）A B CD 三解答题
5、： （本大题共5 题，满分74 分）19 （本题满分12 分，第（ 1）小题分，第（2）小题分）如图，ABC中，090ACB，030ABC，3BC， 在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N） ，将ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 20 （本题满
6、分14 分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道， 而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登已知0120ABC，0150ADC，1BD（千米） ，3AC（千米）假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200 米，请问：两位登山爱好者能否在2 个小时内徒步登上山峰（即从 B 点出发到达C 点）21 （本题满分14 分；第（ 1）小题分，第（2）小题分）已知椭圆2222(0)xyaa的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线)1(xky与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点,0M m，使得
7、对任意的kR，MA MBuuu r uuu r为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.22 （本题满分16 分；第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 7 分）定义：对于函数fx，若存在非零常数,M T，使函数fx对于定义域内的任意实数x，都有fxTfxM，则称函数fx是广义周期函数，其中称T为函数fx的广义周期，M称为周距（1）证明函数1xfxxxZ是以 2 为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（ 2 ） 试 求 一 个 函 数yg x， 使sinfxg xAxxR（A、为 常 数 ，0,0A）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T和周距
8、M；（3） 设函数yg x是周期2T的周期函数， 当函数2fxxg x在1,3上的值域为3,3时，求fx在9,9上的最大值和最小值A C B D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 23 （本题满分18 分，第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 9 分，第（ 3）小题 6 分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n） ：第一行是以4 为首项， 4 为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：2,11,1
9、1,2fff；,f i j为数表中第i行的第j个数（1）求第 2 行和第 3 行的通项公式2,fj和3,fj；（2）证明：数表中除最后2 行外每一行的数都依次成等差数列，并求,1f i关于i（1,2,inL）的表达式；（ 3 ） 若,111if iia，11iiiba a， 试 求 一 个 等 比 数 列1,2,g iinL， 使 得121123nnSb gb gb g nL，且对于任意的1 1,4 3m，均存在实数，当n时，都有nSm1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1fffnfnfffnffnfnLLLL L精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
10、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）参考答案及评分标准2014.4 一填空题：(本题满分56 分，每小题4 分) 5, 15633,88kkkZ43,51 3i640 7814 966102 112121413135 1423n二选择题： （本题满分20 分，每小题5 分）15161718三解答题： （本大题共5 题，满分74 分）19 （本题满分12 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 6 分）解： （1）连接OM，则OM
11、AB，设OMr，则3OBr，在BMO中，1sin23OMrABCOBr，所以33r，-（4 分）所以2443Sr- （6 分）（2）QABC中，90ACBo，30ABCo,3BC，1AC，-（8 分）2323141435 313()3333327VVVACBCr圆锥球 （12 分）20 （本题满分14 分）解：由0150ADC知030ADB，由正弦定理得001sin30sin120AD，所以，3AD-（4 分）在ADC中，由余弦定理得：22202cos150ACADDCADDC，即22203323cos150DCDC，即2360DCDC，解得3331.3722DC（千米）， -（10 分）精品
12、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2.372BC（千米），-（12 分）由于2.3722.4，所以两位登山爱好者能够在2 个小时内徒步登上山峰-（14 分）21 （本题满分14 分；第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）解： （1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则222ab，由222cab得222222aaca，由4221cb解得4,822ba, 则椭圆方程为14822yx. -（6 分）（2）由22(1)28yk xxy得
13、2222(21)4280,kxk xk设1122(,),(,),A xyB xy由韦达定理得：,1282,12422212221kkxxkkxxMA MBu uu r uu u r221122121212(,) (,)()(1)(1)xm yxm yx xm xxmkxx=22221212(1)()()kx xmkxxkm=22222222284(1)()2121kkkmkkmkk=22254821m kmk，- （10 分）当5416m，即114m时，MA MBuuu r uu u r167为定值，所以，存在点11(,0)4M使得MA MBuu u r u uu r为定值（ 14 分） 22
14、 （本题满分16 分；第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 7 分）解： （1）Q1xfxxxZ，222112xxfxfxxx， （非零常数）所以函数1xfxxxZ是广义周期函数，它的周距为2- （4 分）（2）设0g xkxb k，则sinfxkxbAx2fxfxQ222sinsinkk xbAxkxbAx（非零常数）所以fx是广义周期函数，且22,kTM- （ 9 分）（3）222224fxfxxg xxg xQ，所以fx是广义周期函数，且2,4TM-（10 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
15、 - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 设12,1,3x x满足123,3fxfx，由24fxfx得：11116442444443 1215fxfxfxfx，又24fxfxfxQ知 道fx在 区 间9,9上 的 最 小 值 是x在7,9上 获 得 的 ， 而167,9x，所以fx在9,9上的最小值为15 - （ 13 分）由24fxfx得24fxfx得：222210846442023fxfxfxfxL，又24fxfxfxQ知道fx在区间9,9上的最大值是x在9, 7上获得的，而2109, 7x，所以fx在9,9上的最大值为23-（16 分
16、）23 （本题满分18 分；第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 9 分，第（ 3）小题 6 分 ）解： （1）2,1,1,121,4841,2,1fjfjfjfjjjnL3,2,2,122,82 84816161,2,2fjfjfjfjjjjnL -（3 分）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第13iin行是以id为公差的等差数列，则由1,11,1,2,1f ijf ijf i jf i jf i jf i j,2,2if i jf i jd（常数）知第1 13iin行的数也依次成等差数列，且其公差为2id.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；- （7 分）由于114,22
17、iidddi，所以114 22iiid，所以1( ,1)(1,1)(1,2)2(1,1)if if if if id，由12iid，得,1fi2 (1,1)2if i，- （9 分）于是1,11,1122iif ifi， 即1,11,1122iifif i，又 因 为11,14222f， 所 以 ， 数 列,12if i是 以2 为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以 ，,12112ifiii，所以,112if ii（1,2,inL） - （12 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
18、 - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （3）,111if iia,11211iifiai，11111111221212121iiiiiiiiba a，令( )2ig i1111111( )2221212121iiiiiiib g i，- （14 分）2231111111212121212121nnnSL11113213n - （15 分）nSm111321nm111132133nmm，1 1,4 3m10134m，132113nm23log1113nm，令23log113m，则当n时，都有nSm，适合题设的一个等比数列为( )2ig i -（18 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -