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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考数学压轴题解题策略 面积的存在性问题解题策略2015年9月24日星期四 专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确例题解析例 如图1-1,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线yx26x10滑动,在滑动过程中CD/x轴,CD1,AB在CD的下方当点D在y轴上时,AB落在x轴上当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标图1-1【解析】先求出CB5,再进行两次转化,然后解方程把上下两部分的面积比为14转化
2、为S上S全15或S上S全45把面积比转化为点C的纵坐标为1或4如图1-2,C (3, 1)如图1-3,C(, 4)或(3, 4)图1-2 图1-3例 如图2-1,二次函数y(xm)2k的图象与x轴交于A、B两点,顶点M的坐标为(1,4),AM与y轴相交于点C,在抛物线上是否还存在点P,使得SPMB=SBCM,如存在,求出点P的坐标图2-1【解析】BCM是确定的,PBM与三角形BCM有公共边BM,根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”,过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P一目了然,点P有2个由y(x1)24(x1)(x3),得A(1,0),B(3,0)由A、M,得C(
3、0,2)如图2-2,设P(x, x22x3),由PC/BM,得CPEBMF所以解方程,得所以或图2-2例 如图3-1,直线yx1与抛物线yx22x3交于A、B两点,点P是直线AB上方抛物线上的一点,四边形PAQB是平行四边形,当四边形PAQB的面积最大时,求点P的坐标图3-1 【解析】PAB的面积最大时,平行四边形PAQB的面积也最大我们介绍三种割补的方法求PAB的面积:如图3-2,把PAB分割为两个共底PE的三角形,高的和等于A、B两点间的水平距离;如图3-3,用四边形PACB的面积减去ABC的面积;如图3-4,用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积我们借用图3-2介绍一个典型结论
4、已知A(1,0)、B(2, 3),设P(x,x22x3)SPABSPAESPBE当时,PAB的面积最大的几何意义是点E为AB的中点,这是一个典型结论同时我们可以看到,由于xBxA是定值,因此当PE最大时,PAB的面积最大来源:Zxxk.Com图3-2 图3-3 图3-4例 如图4-1,在平行四边形ABCD中,AB3,BC5,ACAB,ACD沿AC方向匀速平移得到PNM,速度为每秒1个单位长度;同时点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为每秒1个单位长度;当PNM停止运动时,点Q也停止运动,如图4-2,设移动时间为t秒(0t4)是否存在某一时刻t,使SQMCS四边形ABQP14?若存在,求出t
5、的值;若不存在,请说明理由来源:学*科*网Z*X*X*K图4-1 图4-2【解析】两步转化,问题就解决了QMC与QPC是同底等高的三角形,QPC是ABC的一部分因此SQMCS四边形ABQP14就转化为SQPCSABC15,更进一步转化为SQPC如图4-3,解方程,得t2图4-3例 如图5-1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0, 1),直线y2x4与抛物线相交于点B,与y轴交于点D将ABD沿直线BD折叠后,点A落在点C处(如图5-2),问在抛物线上是否存在点P,使得SPCD3SPAB?如果存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由图1 图2【解析】由A(0, 1),B(4,
6、 4),D(0,4),可得ABAD5,这里隐含了四边形ADCB是菱形因此PCD与PAB是等底三角形,而且两底CD/AB如果SPCD3SPAB,那么点P到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍如果过点P与CD平行的直线与y轴交于点Q,那么点Q到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍所以QD3QA点Q的位置有两个,在DA的延长线上或AD上如图5-3,过点Q画CD的平行线,得P,或如图5-4,过点Q画CD的平行线,得P,或图5-3 图5-4例 如图6-1,抛物线经过点E(6, n),与x轴正半轴交于点A,若点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形的面积记作S,则S取
7、何值时,相应的点P有且只有3个?图6-1【解析】如图6-2,当点P在直线AE上方的抛物线上,过点P作AE的平行线,当这条直线与抛物线相切时,PAE的面积最大这时我们可以在直线OE的上方画一条与OE平行的直线,这条直线与抛物线有2个交点P和P,满足SPAESPOESPOE来源:学,科,网Z,X,X,K设过点P与直线AE平行的直线为,联立,消去y,整理,得x216x8m0由0,解得m8因此方程x216x640的根为x1x28所以P(8, 2)如图6-3,作PHx轴于H,可以求得SS四边形OAPE95216 图6-2 图6-3例 如图7-1,点P是第二象限内抛物线上的一个动点,点D、E的坐标分别为(
8、0, 6)、(4, 0)若将“使PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”,请写出所有“好点”的个数图7-1【解析】第一步,求PDE的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式;第二步,分析S关于x的函数关系式如图7-2,SPDESPODSPOESDOE来源:学|科|网因此S是x的二次函数,对称轴为直线x6,S的最大值为13如图7-3,当8x0时,4S13所以面积的值为整数的个数为10当S12时,对应的x有两个解8, 4,都在8x0范围内所以“使PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个图7-2 图7-3例 如图8-1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a, 3)(其中a4),射线OA与反比例
9、函数的图象交于点P,点B、C分别在函数的图象上,且AB/x轴,AC/y轴试说明的值是否随a的变化而变化? 图8-1【解析】如图8-2,我们在“大环境”中认识这个问题,关系清清楚楚由于S1S2,所以SABOSACO所以B、C到AO的距离相等于是ABP与ACP就是同底等高的三角形,它们的面积比为1图8-2例 如图9-1,已知扇形AOB的半径为2,圆心角AOB90,点C是弧AB上的一个动点,CDOA于D,CEOB于E,求四边形ODCE的面积的最大值图9-1【解析】如图9-2,图9-3,设矩形ODCE的对角线交于点F,那么OF1为定值作OHDE于H,那么OHOF因为DE2为定值,因此当OH与OF相等时
10、(如图9-4),DOE的面积最大,最大值为1所以矩形ODCE的面积的最大值为2图9-2 图9-3 图9-4例 如图10-1,在ABC中,C90,AC6,BC8,设直线l与斜边AB交于点E,与直角边交于点F,设AEx,是否存在直线l同时平分ABC的周长和面积?若存在直线l,求出x的值;若不存在直线l,请说明理由图10-1【解析】先假设存在,再列方程,如果方程有解那么真的存在ABC的周长为24,面积为24如图10-2,点F在AC上,假设直线EF同时平分ABC的周长和面积,那么AEx,AF12x,解方程,得当,此时点F不在AC上所以取(如图10-3)如图10-4,点F在BC上,假设直线EF同时平分ABC的周长和面积,那么AEx,BE10x,BF12(10x)2x,方程整理,得此方程无实数根 图10-2 图10-3 图10-4 专心-专注-专业