线段和差最值的存在性问题解题策略(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略 2015年9月13日星期日 专题攻略两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1)三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2)两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题图1 图2

2、图3例题解析例 如图1-1,抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一个动点,如果PAC的周长最小,求点P的坐标图1-1【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A与点B对称,连结BC,那么在PBC中,PBPC总是大于BC的如图1-3,当点P落在BC上时,PBPC最小,因此PAPC最小,PAC的周长也最小由yx22x3,可知OBOC3,OD1所以DBDP2,因此P(1,2)图1-2 图1-3例如图,抛物线与y轴交于点A,B是OA的中点一个动点G从点B出发,先经过x轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A如果动点G走过的路程最短,请找出点

3、M、N的位置,并求最短路程图2-1【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A关于抛物线的对称轴对称的点A,作点B关于x轴对称的点B,连结AB与x轴交于点M,与抛物线的对称轴交于点N在RtAAB中,AA8,AB6,所以AB10,即点G走过的最短路程为10根据相似比可以计算得到OM,MH,NH1所以M(, 0),N(4, 1)图2-2例 如图3-1,抛物线与y轴交于点A,顶点为B点P是x轴上的一个动点,求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P的坐标图3-1【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|PAPB|的最小值与最大值由抛物线的解析式可以得到A

4、(0, 2),B(3, 6)设P(x, 0)绝对值|PAPB|的最小值当然是0了,此时PAPB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2)解方程x222(x3)262,得此时P在PAB中,根据两边之差小于第三边,那么|PAPB|总是小于AB了如图3-3,当点P在BA的延长线上时,|PAPB|取得最大值,最大值AB5此时P图3-2 图3-3例 如图4-1,菱形ABCD中,AB2,A120,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PKQK的最小值图4-1【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q,在KPQ中,PKQK总是大于PQ的如图4-3,当点K落在PQ上时,PKQK的最小值为P

5、Q如图4-4,PQ的最小值为QH,QH就是菱形ABCD的高,QH这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短图4-2 图4-3 图4-4例 如图5-1,菱形ABCD中,A60,AB3,A、B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、B和A上的动点,求PEPF的最小值图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定,怎么办?BE1,AF2是确定的,那么我们可以求PBPA3的最小值,先求PBPA的最小值(如图5-2)如图5-3,PBPA的最小值为AB,AB6所以PEPF的最小值等于3图5-2 图5-3例 如图6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)

6、,求a为何值时,四边形ABEF周长最小?请说明理由图6-1【解析】在四边形ABEF中,AB、EF为定值,求AEBF的最小值,先把这两条线段经过平移,使得两条线段有公共端点如图6-2,将线段BF向左平移两个单位,得到线段ME如图6-3,作点A关于x轴的对称点A,MA与x轴的交点E,满足AEME最小由AOEBHF,得解方程,得图6-2 图6-3例 如图7-1,ABC中,ACB90,AC2,BC1点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,当点A在x轴上运动时,点C也随之在y轴上运动在整个运动过程中,求点B到原点的最大距离图7-1【解析】如果把OB放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的,那

7、么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB的最大值就是另两边的和显然OBC是不符合条件的,因为OC边的大小不确定如图7-2,如果选AC的中点D,那么BD、OD都是定值,OD1,BD在OBD中,总是有OBODBD如图7-3,当点D落在OB上时,OB最大,最大值为图7-2 图7-3 例 如图8-1,已知A(2,0)、B(4, 0)、设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?图8-1【解析】点B(4, 0)、的坐标隐含了DBA30,不由得让我们

8、联想到30角所对的直角边等于斜边的一半如果把动点M在两条线段上的速度统一起来,问题就转化了如图8-2,在RtDEF中,FD2FE如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时,那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E因此当AFFE最小时,点M用时最少如图8-3,当AEDE时,AFFE最小,此时F图8-2 图8-3例 如图9-1,在RtABC中,C90,AC6,BC8点E是BC边上的点,连结AE,过点E作AE的垂线交AB边于点F,求AF的最小值图9-1【解析】如图9-2,设AF的中点为D,那么DADEDF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图9-3,当DEBC时,DE最小设DAD

9、Em,此时DB由ABDADB,得解得此时AF图9-2 图9-3例 如图10-1,已知点P是抛物线上的一个点,点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2),连结PD、PE,求PDPE的最小值图10-1【解析】点P不在一条笔直的河流上,没有办法套用“牛喝水”的模型设P,那么PD2所以PD如图10-2,的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y1的距离PH所以PDPH因此PDPE就转化为PHPE如图10-3,当P、E、H三点共线,即PHx轴时,PHPE的最小值为3高中数学会学到,抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合,在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质,最好铺垫一个小题,求证PDPH. 图10-2 图10-3专心-专注-专业

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