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1、精选优质文档-倾情为你奉上例谈2010年中考数学中的存在性问题 随着新课改的不断深入，近年来各地中考数学试题不断推陈出新，“选拔性”与“能力性”兼容，命题由“知识性”立意向“素质性”、“能力性”立意转变，出现了一大批题型设计思路开阔、内涵丰富、立意深刻、发人深思的好试题，存在性问题恰恰是这些试题中突出考查学生能力的典型代表。由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高，所以一直是连续几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目。一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是
2、指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般是“是否存在，如果存在，请求出（或请证明）；如果不存在，请说明理由”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题存在性问题探索的方向是明确的探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件
3、的对象，使问题得到解决的解法。2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象
4、；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。例1、(2010年陕西卷)问题探究(1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在
5、求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由解析：（1）如图（2）如图连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。（3）如图存在直线l。过点D的直线只要作 DAOB与点A ，则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心。过点P的直线只要平分DOA的面积即可。易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积,即直线 PH为所求直线l.设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2).2=4k+b 即b=24k.y=kx+24k直线OD的表达式为y=2x 解之点H的坐标为（，）PH与线段AD的交点F（2,22k）,022k4,1k1
6、 SDHF=解之，得。（舍去） b=8直线l的表达式为y=（2）否定型存在性问题反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更经常地使用反证法。例2、(2010年安徽卷)如图，已知，相似比为k（k1），且的三边长分别为a、b、c（abc），的三边长分别为、.（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.解析:（1）证：，且相似比为又（2）取此时且（3）不存在这样的和.理由如下：若则 又， ，
7、而故不存在这样的和，使得（3）讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。例3、(2010年重庆市江津区卷)如图，抛物线与轴交于两点A（1，0），B（1，0），与轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理
8、由 解析：（1）把A B代入得：解得： （2）令，得 OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC = BDCA， ABD=BAC 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形。令 ，则 ，点D在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） DE=四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE (3)存在这样的点MABC=ABD= DBC= MN轴于点N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC= 在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） 则() 当AMN DCB时，有 即 解得（舍去） （舍去）
9、 点M在轴右侧时，则 () 当AMN DCB时，有 解得（舍去） () 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） M点的坐标为2、定量分类（1）数值存在性问题例4、（2010年舟山卷)ABC中，A=B=30，AB=把ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，ABC可以绕点O作任意角度的旋转(1)当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2)如果抛物线(a0)的对称轴经过点C，请你探究：当，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；OyxCBA11-1-1设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存
10、在，请说明理由解：(1) 点O是AB的中点，设点B的横坐标是x(x0)，则，解得，(舍去)点B的横坐标是(2)当，时，得()以下分两种情况讨论情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，OyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，A，B两点关于原点对称，OyxCBA(乙)11-1-1点B的坐标为(，)将点A的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点B的纵坐标在这种情况下，A，B两点都在抛物线上情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)经
11、计算，A，B两点都不在这条抛物线上(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)存在m的值是1或-1(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1m1当m=1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上因此当m=1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)（2）定值存在性问题例5、（2010年咸宁卷）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的
12、交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当时，求线段的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；ABCDABCDQABCDlMPE（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形QABCDlMP（第24题）EF，此时，RtAQMRtACF2分即，3分（2）为锐角，故有两种情况：当时，点P与点E重合ABCD（备用图1）QPElM此时，即，5分当时，如备用图1，此时RtPEQRtQMA，由（1）知，而， ABCD（备用图2）MQRFP综上所述，或
13、8分（说明：未综述，不扣分）（3）为定值9分当2时，如备用图2，由（1）得， 四边形AMQP为矩形 11分CRQCAB12分（3）极值存在性问题例6、（2010年莆田卷）如图，矩形ABCD (点A在第一象限)与x轴的正半轴相交于M,，与y的负半轴相交于N，ABx轴，反比例函数y=的图象过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F。(1)若B（-3，3），直线AC的解析式为y=.求a的值；连结OA、OC，若OAC的面积记为S，ABC的面积记为S，记S= SS，问S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由(2)AE与CF是否相等？请证明你的结论。（4）点存在性问题例7
14、、（湘潭）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线过A、C、O三点(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（5）直线存在性问题例8、（2010年扬州卷）在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在线段AB上移动时，求y与x的
15、函数关系式（写出自变量x的取值范围）当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由ABCDABCD备用图 （6）三角形存在性问题例9、（2010年红河卷）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果
16、P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s.（1）求OAB的度数.（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=OAB=30（2）如图10，连接OP，OM. 当PM与O相切时，有PM O=PO O=90， PM OPO O由（1）知OBA=60 OM= OB OBM是等边三角形 B OM=60可得O OP=M OP=60OP= O OtanO OP =6tan
17、60=又OP=tt=，t=3 即：t=3时，PM与O相切.（3）如图9，过点Q作QEx于点E BAO=30，AQ=4t QE=AQ=2t AE=AQcosOAB=4tOE=OA-AE=-t Q点的坐标为（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ = = = （） 当t=3时，SPQR最小= （4）分三种情况：如图11.当AP=AQ1=4t时，OP+AP=t+4t=t=或化简为t=-18当PQ2=AQ2=4t时 过Q2点作Q2Dx轴于点D，PA=2AD=2A Q2cosA=t即t+t = t=2当PA=PQ3时，过点P作PHAB于点HAH=PAcos30=（-t）=
18、18-3t AQ3=2AH=36-6t 得36-6t=4t，t=3.6综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，APQ是等腰三角形.（7）平行四边形存在性问题例10、（2010年遵义卷）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由（8）
19、圆存在性问题例11、(2010年成都卷)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？（9）时间存在性问题例12、（2010年青岛卷）已知：把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与
20、点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上ACB = EDF = 90，DEF = 45，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当DEF的顶点D移动到AC边上时，DEF停止移动，点P也随之停止移动DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0t4.5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
21、是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由（图（3）供同学们做题使用）ADBCF（E）图（1）ADBCFE图（2）PQ（10）位置存在性问题例13、（2010年苏州卷）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D
22、与点A重合) (1)在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程（11）变化存在性问题例14、（2010年广州卷）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、
23、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO（12）关联存在性问题例15、（2010年宜昌卷）如图，P是ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D, E,F三点的O的面积为,矩形PDEF的面积为。（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求的最小值；（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。ACB专心-专注-专业