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1、习题 55-1如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为m2和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr，将由两个定滑轮以及质量为m2和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：maTmg222mamgT12()TT rJJrTT)(1ra，2/ 2Jmr联立，解得：ga41，mgT811。5-2如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长
2、时间杆才会停止转动。解： （1）设杆的线密度为：lm，在杆上取一小质元dmd x，有微元摩擦力：d fdmggd x，微元摩擦力矩：dMg xd x，考虑对称性，有摩擦力矩：20124lMg xd xmgl；（2）根据转动定律dMJJdt ，有：000tMdtJd，2011412mgltml，03ltg。或利用：0M tJJ，考虑到0，2112Jml，有：03ltg。5-3如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R, 其转动惯量为2/2MR，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：受力分析如图
3、，可建立方程：mgTmaJTRaR，212JmR联立，解得：22mgaMm，2MmgTMm，T精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 考虑到dvadt，0022vtmgdvdtMm，有：22mgtvMm。5-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端， 而在绳的另一端B系了一质量为4/M的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量4/2MRJ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳
4、与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程AMaTMg1人BaMgMT442物JRTRT21滑轮由约束方程 : RaaBA和4/2MRJ, 解上述方程组得到2ga. 解二：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，注意到u为匀速，0d udt，系统对轴的角动量为：213()()442MLM vRM uv RRM v RM uBAR()()体人(物物体 )而力矩为：13M44M gRM gRM g Rv，根据角动量定理dtdLM有：)23(43MuRMvRdtdMgR，2ga。5-5计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量
5、。解：设球的半径为R，总重量为m，体密度334mR，考虑均质球体内一个微元：2sind mrdrdd，由定义：考虑微元到轴的距离为sinr2( sin)Jrdm，有：222000( sin )sinRJrrdrdd520012(1cos)cos 5Rrd225mR。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/kN m，当0时弹簧无形变，细棒的质量kg0.5m，求在0的位置上
6、细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从00 90时，考虑机械能守恒，那么：0时的机械能为：22()(2)112 3lmgml（重力势能转动动能），090时的机械能为：212k x有：22211122 32lmgmlk x（）根据几何关系：22215.1)5 .0(x，得：128.3srad5-7 如图所示，一质量为m、半径为 R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘 A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解： （1）设虚线位置的 C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有
7、：221JmgR，而2221322JmRmRmRRg3434RgRvc1623ARgvR（2）273yFmgmRmg（重力）（向心力），方向向上。5-8如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为m和m2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l31和l32轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度0v与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以021v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守恒，有：22002122()2( )32333llmvlmvlmm有：22004221()9933llv lv l032vl5-9一质量均匀分布的圆盘，质量
8、为M，半径为R，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。 开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求： （1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度； （2）经过多少时间后，圆盘停止转动。 ( 圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为221MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 解： （1）利用角动量守恒：22
9、21mRMRmvR得：2(2)mvmM R；（2）选微分dmrdrd，其中：面密度2MR，20223RfMMgrdmgrrdrM gRR由fMtJ有：2221()032M gRtM RmR，知：224MmtRMg将22mMm Rv代入，即得：32mvtM g。5-10有一质量为1m、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为2m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞， 设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1vv和2vv，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕
10、O点的转动惯量2131lmJ) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1vv和2vv方向相反，以逆时针为正向，有：22 112 213m v lm lm v l，得：lmvvm1212)(3又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：11012lfmMg xd xm gll，利用fdMJdt，有：210011312tm l ddtm gl，得：21212()23mvvltgm g。5-11 如图所示，滑轮转动惯量为2mkg01.0，半径为cm7；物体的质量为kg5，用一细绳与劲度系数N/m200k的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求： （1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止
11、而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解： （1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为maxx。由机械能守恒：2maxmax12k xmgx，有：max20.49mgxmk；（2）当物体下落时，由机械能守恒：222111222k xmvJmg x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 考虑到vR，有：2222111222k xmRJmg x，欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令0dd x，有：21() 22dk
12、 xmRJmgd x，将0dd x代入，有：)(245.0mkmgx，当0.245xm时物体速度达最大值，有：22max2121()2mgxkxvJmr，代入数值可算出：max1.31/vm s。5-12设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的 k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。 （1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解： （1）已知fMk，而动力矩PM，通电时根据转动定律有：fdMMJdt代入两边积分有：dkPJdtt020，可求得：)1 (
13、2tJkekP；（2）见上式，当 t时，电扇稳定转动时的转速：Pk稳定；（3）断开电源时，电扇的转速为0Pk，只有fM作用，那么：dkJdt，考虑到dddtd，有：000kddJ，得：0JJPkkk。5-13如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体 A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮 B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？解： （1）A在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒：222011
14、1222AJJmv，其中AvR，212JmR，可算出：033AvR；（2）物体A运动后，由牛顿定律：Tmgma，考虑到JTR，Ra可求出：13Tmg。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。 当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少？解：此过程角动
15、量守恒：0mRvJ，有：mRvJ。5-15以速度0v作匀速运动的汽车上， 有一质量为m（m较小） ，边长为l的立方形货物箱， 如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度； （2）此时，货物箱 A边所受的支反力。解： （1）角动量守恒：20322mllmv，034vl根据转动定律2223lmgml，34gl；（2）如图，支反力xCxNma，而：00cos45cos45CxC nC taaa00cos45cos45xC nC tNmama。【注：如图，对于立方体绕z轴的转动惯量，有：2222002()3llmJxy
16、d xd ymll】思考题5-1 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、 质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量1m和2m的物体 (1m2m) ，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？解：amTgm111（1）amgmT222（2）JrTT)(21（3）ra（4）联立方程可得1T、2T，21TT。5-2一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动， 若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？答：增大5-3 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上, 双臂伸直水平地举起二哑铃, 在该人把
17、此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒； （B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒； （D）机械能不守恒，角动量不守恒。答： （C）5-4在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴、在质点所在的yxzC taACCnaxN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 平面内，如图a所示； （2）设
18、转轴垂直于质点所在的平面，如图b所示。答：以为轴转动惯量29maJ；以为轴转动惯量23maJ；以为轴转动惯量25 .7maJ。5-5如图a所示，半径分别是1R和2R、转动惯量分别是1J和2J的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。由201JJ，有小圆柱的最终角速度为：201JJ。5-6 均质细棒的质量为M， 长为L， 开始时处于水平方位， 静止于支点O上。 一锤子沿竖直方向在dx处撞击细棒，给棒的冲量为0I jv。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -