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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载版权归原著全部本答案仅供参考习题 7 7-1原长为 0 . 5 m 的弹簧,上端固定,下端挂一质量为 0 . 1 kg 的物体,当物体静止时,弹簧长为 0 . 6 m现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以放手时开头计时,取竖直向下为正向,写出振动式；（g 取 9.8）解：振动方程：x A cos t ,在此题中,kx mg ,所以 k 9.8；k 9.8 98；m 0.1取竖直向下为 x 正向,弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平稳位置,所以假如使弹簧的初状态为原长,那么：A=0.1
2、m,当 t=0 时, x=-A,那么就可以知道物体的初相位为 ；所以：x 0.1cos（98 t）即：x 0.1cos 98 ；7-2有一单摆,摆长 l .1 0 m,小球质量 m 10 g,t 0 时,小球正好经过.0 06 rad 处,并以角速度 0.2rad/s 向平稳位置运动；设小球的运动可看作简谐振动,试求： （ 1）角频率、频率、周期； （2）用余弦函数形式写出小球的振动式；（g 取 9.8）解：振动方程：x A cos t 我们只要依据题意找到对应的各项就行了；（1）角频率：g 9.8 3.13 rad / s,l频率：1 g 9.8 0.5 Hz,2 l 2周期：T 2 l 2
3、 2 s；g 9.8（2）振动方程可表示为：A cos 3.13 t）,3.13 A sin 3.13 t）01 2,象限）依据初始条件,t 0 时： cos,sinA 3.13A 03 4,象限）可解得：,A 8 8. 10 2 rad, 227 0 3 . 95 rad-2.32所以得到振动方程：8 . 8 10 2 cos 3 . 13 t 2 . 32 rad；7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体,最初用手将物体在弹簧原特长托住,然后放手,此系统便上下振动起来,已知物体最低位置是初始位置下方 10.0 cm 处,求：（ 1）振动频率；（ 2）物体在初始位置下方 .8 0 cm 处的速
4、度大小；细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载解：（1）由题知 2A=10cm,所以 A=0.05m,选弹簧原长下方 0.05m 处为平稳位置；由 k x 0 m g ,知 k g 9.82 196,k 196 14,m x 0 5 10 m振动频率：1 k 7 Hz ；2 m（2）物体在初始位置下方 8.0cm处,对应着是 x=0.03m 的位置,所以：cosA x 35,由
5、 cos 2 sin 2 1,有：sin 5,4而 sin v,那么速度的大小为：v 4 A 0.56 m s ；A 57-4一质点沿 x 轴作简谐振动,振幅为 12 cm,周期为 2 ；当 t 0 时,位移为6 cm,且向 x 轴正方向运动；求： （1）振动表达式； （2）t .0 5 s 时,质点的位置、速度和加速度； （3）假如在某时刻质点位于 x 6 cm,且向 x 轴负方向运动,求从该位置回到平稳位置所需要的时间；解：（ 1）由题已知 A=0.12m,T=2 s ,2T又 t=0 时,x 0 6 cm ,v 0 0,由旋转矢量图,可知：3故振动方程为：x 0.12cos（t）m；3（
6、2）将 t=0.5 s 代入得：x0.12cos（t3）0.12cos60.104 m,3PQxv0.12 sin（t3）0.12cos60.188 m s,a0.122cos（t）0.123x 轴负向；2cos62 1.03 m s,方向指向坐标原点,即沿A（3）由题知,某时刻质点位于x6cm A,2P 位置回到2且向 x 轴负方向运动,如图示,质点从平稳位置 Q 处需要走32,建立比例式：2t,T 第 2 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -
7、- - - - - - - - - - -有：t5s ；优秀学习资料欢迎下载67-5两质点作同方向、 同频率的简谐振动,振幅相等； 当质点 1 在 x 1 A / 2 处,且向左运动时,另一个质点 2 在 x 2 A / 2 处,且向右运动；求这两个质点的位相差；解：由旋转矢量图可知：当质点 1 在 x 1 A / 2 处,且向左运动时,相位为,3而质点 2 在 x 2 A / 2 处,且向右运动,相位为4；3所以它们的相位差为；7-6. 质量为 m 的密度计,放在密度为 的液体中；已知密度计圆管的直径为 d ；试证明,密度计推动后,在竖直方向的振动为简谐振动；并运算周期；解：平稳位置：当 F
8、 浮 G 时,平稳点为 C 处；设此时进入水中的深度为 a：gSa mg可知浸入水中为 a 处为平稳位置；以水面作为坐标原点 O,以向上为 x 轴,质心的位置为 x,分析受力：不管它处在什么位置,其浸没水中的部分都可以用 a x 来表示,所以力2F g a x S gaS gS x ,利用牛顿定律：F m d x2,dt2 22 gS g d d x 2再令：,可得：2 x 0,可见它是一个简谐振动；m 4 m dt周期为：T 2 4 m；d g1 k 1 k 27-7证明图示系统的振动为简谐振动；其频率为：；2 k 1 k 2 m细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 10 页 - -
9、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载证明：两根弹簧的串联,由相互作用力相等,有：k x 1 k x ,将串联弹簧等效于一根弹簧,仍有：k x 1 k x 2 k x ,考虑到 x 1 x 2 x,可得：1 1 1,所以：k k k 2k k 1 k 2 k 1 k 2代入频率运算式,可得：1 k 1 k 1 k 2；2 m 2 k 1 k 2 m7-8当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和
10、势能各占总能量的一半？解：由 E P 1k x ,2E k 1mv 2,有：E P 1k A 2cos 2t ,2 2 2E k 1 m 2A 2sin 2t 1 k A 2sin 2t ,2 2A（1）当 x 时,由 x A cos t ,2有：cos t 1,sin t 3,2 2E P 1,E k 3；E 4 E 4（2）当 E P E k 1 E 时,有：cos 2t sin 2t 2cos t 12,x 2 2 A 0.707 A ；7-9两个同方向的简谐振动曲线 如下列图 （1）求合振动的振幅；（2）求合振动的振动表达式；解：通过旋转矢量图做最为简洁；由图可知,两个振动同频率,且细
11、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 初相：12,A2优秀学习资料,欢迎下载初相：22说明两者处于反相状态,（反相 2 1 2 k 1,k 0 1 2,）A 1 A ,合成振动的振幅：A A 2 A 1；合成振动的相位：2；2合成振动的方程：x（A 2 A 1）cos（2t）；T 27-10两个同方向,同频率的简谐振动,其合振动的振幅为 20 cm,与第一个振动的位相差为；如第一个振动的振幅为 1
12、0 3 cm；就（ 1）其次个振动的振幅6为多少？（ 2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图,可利用余弦定理：由图知2 A 22 A 1A22A 1Acos30=0.01 mA=0.1 m ,再利用正弦定理：sin0 sin30,有：10s 后,振幅AA 2sinA1,2；2A 2说明 A与 A间夹角为 /2,即两振动的位相差为 /2；7-11一摆在空中作阻尼振动,某时刻振幅为A 03 cm,经过t 1变为A 11 cm；问：由振幅为A 时起,经多长时间其振幅减为A 20 .3 cm？解：依据阻尼振动的特点,xA etcost0,知 振幅：AA 0et；A03 cm,当t 110s 时,A 1
13、1 cm,可得：e101, 第 5 页,共 10 页 3上式两边取对数,得：1 ln 3 10；那么当振幅减为A 20.3cm 时,有：et21,10细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -两边取对数,有：t2优秀学习资料欢迎下载1021s；ln10,t210 ln1010ln 3lg 30.47717-12某弹簧振子在真空中自由振动的周期为T ,现将该弹簧振子浸入水中,由于水的阻尼作用,经过每个周期振幅降为原先的 90%,求
14、：（1）求振子在水中的振动周期 T ；（2）假如开头时振幅 A 0 10 厘米, 阻尼振动从开头到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（ 1）AA 0eT1 Tln102.1 0 0 0 1 4eTA0 .9A01ln0 .90T9又阻尼振动的圆频率：220210即42. 421lnT22 T 0T29 1.0 0 0 0 1 4即TT 01ln210/9T c42从此题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的,而对振动的周期影响却很小,有时甚至可以忽视不计；（2）在整个阻尼振动过程中,振子所经过的路程可近似地表示为：S4A 04A 14A 2A 04A 01eTe2T 第 6 页,共 10 页
15、 14A 0T14A 040400 厘米e0 . 97-13试画出xAcos2t4和yBcost 的李萨如图形；解：x2y,x :yp2:1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又xy4优秀学习资料欢迎下载,可参考书上的图形；7-14. 质点分别参加以下三组相互垂直的谐振动：（1）x4 c o s8 t6x4 c o s8 t6；（2）5（3）y4 c o s8 t6y4 c o s8 t6x4 c o s8 t6y4 c
16、o s8 t；试判别质点运动的轨迹；23解：质点参加的运动是频率相同,振幅相同的垂直运动的叠加；对于 x A cos t x ,y 4cos t y 的叠加,可推得：2 2 2 2x y 2 x y cos x y A sin x y 2 2 2（1）将 x,y 代入有：x y 2 x y cos 16sin,6 6 3 3就方程化为：x 2y 2x y 12,轨迹为一般的椭圆；（2）将 x,y 5代入有：x 2y 22 x y cos 16sin 26 62 2就方程化为：x y 2 x y 0,即 x y 0,轨迹为始终线；（3）将 x,y 2代入有：x 2y 22 x y cos 16s
17、in 26 3 2 2就方程化为：x 2y 24 2,轨迹为圆心在原点,半径为 4m 的圆；7-15在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压,荧光屏上显现如图 所 示的 李 萨如 图 形；已 知 水平 方 向振 动 频率为2 . 7 10 4 H z,求垂直方向的振动频率；解：从图中可见,李萨如图形在水平方向的切点是 2 个,在竖直方向的切点是3 个,所以： 第 7 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
18、- -x :y3: 2,优秀学习资料欢迎下载那么,y23x22.7 1041.8104Hz；3摸索题7-1试说明以下运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摇摆；答：要使一个系统作谐振动,必需同时满意以下三个条件： 描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量；系统是在自己的稳固平稳位置邻近作往复运动；20描述时,其所作的运动在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用；或者说,如一个系统的运动微分方程能用d22dt就是谐振动；那么,（1）拍皮球时球的运动不是谐振动；第一、球的运动轨道中并不存在一个稳固的平稳位
19、置；其次、球在运动中所受的三个力：重力,地面赐予的弹力,击 球者赐予的拍击力,都不是线性回复力；要使一个系统作谐振动,必需同时满意 以下三个条件：一、描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳固平稳位置邻近作往复运动；三、在 运动中系统只受到内部的线性回复力的作用；或者说,如一个系统的运动微分方程能用d2220描述时,其所作的运动就是谐振动； 第 8 页,共 10 页 d t细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
20、- - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（2）小球在图所示的情形中所作的小弧度的运动,是谐振动； 明显, 小球在运动过程中,各种参量均为常量；该系统指小球凹槽、地球系统的稳固平稳位置即凹 槽最 低点 ,即系 统势能 最小 值位 置点O ； 而小 球在 运动 中的回 复力为mgsin；题中所述,SR,故S0,所以回复力为mg；（式R即小球在 O 点邻近的往复运中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）动中所受回复力为线性的；如以小球为对象,就小球在以 作圆周运动,由牛顿其次定律,在凹槽切线方向上有O为圆心的竖直平面内mRmRd22mg,令2g,就有：d2220；.加dtd t
21、R7-2简谐振动的速度和加速度在什么情形下是同号的.在什么情形下是异号的速度为正值时,振动质点的速率是否肯定在增加？反之,加速度为负值时,速率是否肯定在减小. 答：简谐振动的速度：avAA sin2 cost；加速度：t；要使它们同号,必需使质点的振动相位在第一象限；其他象限的相位两者就 是异号的；加速度为正值时,振动质点的速率不肯定在增加,反之,加速度为负值时,速率也不肯定在减小；只有当速度和加速度是同号时,加速度才能使速率增加；反之, 两者异号时,加速度使速率减小；7-3分析以下表述是否正确,为什么 . （1）如物体受到一个总是指向平稳位置的合力,就物体必定作振动,但不 肯定是简谐振动；（
22、2）简谐振动过程是能量守恒的过程,凡是能量守恒的过程就是简谐振动；答：（ 1）的表述是正确的,缘由参考 7-1；（2）的表述不正确,比如自由落体运动中能量守恒,但不是简谐振动；7-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动；方法 1：使其从平稳位置压缩l ,由静止开头释放；方法 2：使其从平稳位置压缩2l ,由静止开头释放；表示,就它们满意下面如两次振动的周期和总能量分别用T 、T 2和E 、E2那个关系？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -
23、 - - - - - - - - - -（A）T 1T 2E1E2优秀学习资料欢迎下载E1E2（B）T 1T2（C）T 1T2E 1E2（D）T 1T2E 1E2答：依据题意,这两次弹簧振子的周期相同,振幅相差一倍；所以能量不同；选择（ B）；A7-5一质点沿 x 轴作简谐振动, 周期为 T,振幅为 A,质点从 x 1 运动到 x 2 A2处所需要的最短时间为多少？答：质点从 x 1 A运动到 x 2 A 处所需要的最短相位变化为,所以运动的时2 4/ 4 T间为：t；87-6一弹簧振子,沿 x 轴作振幅为 A的简谐振动,在平稳位置 x 0 处,弹簧振子的势能为零,系统的机械能为 50J ,问振子处于 x A / 2 处时；其势能的瞬时值为多少？答：由题意,在平稳位置 x 0 处,弹簧振子的势能为零,系统的机械能为 50J ,所以该振子的总能量为 50J ,当振子处于 x A / 2 处时；其势能的瞬时值为：1 kx 2 1 k（1 A）2 1 E M 50 12 . 5 J；2 2 2 4 4细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -