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1、优秀学习资料欢迎下载版权归原著所有本答案仅供参考习题 7 7-1原长为m5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m6.0现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取 9.8）解：振动方程：cos()xAt，在本题中，kxmg，所以9.8k；9.8980.1km。取竖直向下为x 正向，弹簧伸长为0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，当 t=0 时， x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 。所以：0.1cos98xt（）即：0.1cos(98 )xt。7-2有一单
2、摆，摆长m0. 1l，小球质量g10m，0t时，小球正好经过rad06. 0处，并以角速度0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求： （ 1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取 9.8）解：振动方程：cos()xAt我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：9.83.13/gradsl，频率：19.80.522gHzl，周期：2229.8lTsg；（2）振动方程可表示为：cos 3.13At（）， 3.13sin 3.13At（）根据初始条件，0t时：cosA，0(1 2sin0(3 43.13A，象限），象限）可解得：，-2.
3、32rad95.3227rad,108 .802A所以得到振动方程：rad)32.213.3cos(108.82t。7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求： （1）振动频率；（ 2）物体在初始位置下方cm0. 8处的速度大小。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解：
4、 （1）由题知 2A=10cm，所以 A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m 处为平衡位置；由0k xmg，知209.81965 10kgmx，19614km，振动频率：17()2kHzm；（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m 的位置，所以：3cos5xA，由22cossin1，有：4sin5，而sinvA，那么速度的大小为：40.56/5vAm s。7-4一质点沿x轴作简谐振动，振幅为cm12，周期为s2。当0t时，位移为cm6，且向x轴正方向运动。求： （1）振动表达式； （2）s5. 0t时，质点的位置、速度和加速度； （3）如果在某时刻质点位于cm6x，且向x
5、轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解： （1）由题已知A=0.12m，T=2 s ，2T又 t=0 时，06xcm，00v，由旋转矢量图，可知：3故振动方程为：0.12cos3xtm（）；（2）将 t=0.5 s 代入得：0.12cos0.12cos0.10436xtm（），0.12 sin0.12cos0.188/36vtm s（），2220.12cos0.12cos1.03/36atm s（），方向指向坐标原点，即沿x 轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于6cm2Ax，且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到平衡位置Q处需要走32，建立比例式：2tT，Px2A3Q名师归
6、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载有：56ts。7-5两质点作同方向、 同频率的简谐振动，振幅相等。 当质点 1 在2/1Ax处，且向左运动时，另一个质点2在2/2Ax处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点 1 在2/1Ax处，且向左运动时，相位为3，而质点 2 在2/2Ax处，且向右运动，相位为43。所以它们的相位差为。7-6. 质量为m的密度计，放在
7、密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当FG浮时，平衡点为C 处。设此时进入水中的深度为 a：mggSa可知浸入水中为a 处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x 轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用ax来表示，所以力()Fg ax SgaSgS x，利用牛顿定律：22d xFmdt，再令：224gSgdmm，可得：0222xdtxd，可见它是一个简谐振动；周期为：24mTdg。7-7证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkkkk)(212121。名师归纳总结 精品学
8、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有：1122k xk x，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有：1122k xk xk x，考虑到xxx21，可得：12111kkk，所以：1212k kkkk代入频率计算式，可得：mkkkkmk)(21212121。7-8当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半
9、？解：由212PEk x，212kEmv，有：221cos ()2PEk At，2222211sin ()sin ()22kEmAtk At，（1）当2Ax时，由cos()xAt，有：1cos()2t，3sin()2t，14PEE，34kEE；（2）当12PkEEE时，有：22cos ()sin ()tt1cos()2t，20.7072xAA。7-9两个同方向的简谐振动曲线(如图所示 ) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
10、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1A初相：12，2A初相：22，表明两者处于反相状态，（反相21(21)k，0 1 2k，）12AA，合成振动的振幅：21AAA；合成振动的相位：22；合成振动的方程：）（）（22cos12tTAAx。7-10两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm20，与第一个振动的位相差为6。若第一个振动的振幅为cm310。则（ 1）第二个振动的振幅为多少？（ 2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知30cos21221
11、22AAAAA=0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：02sinsin30AA，有：2sin12AA，2。说明 A与 A间夹角为/2 ，即两振动的位相差为/2。7-11一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm30A，经过110ts后，振幅变为cm11A。问：由振幅为0A时起，经多长时间其振幅减为cm3.02A？解：根据阻尼振动的特征，00cos()txA et，知振幅：teAA0。cm30A，当110ts时，cm11A，可得：1013e，上式两边取对数，得：1ln310；那么当振幅减为20.3Acm时，有：2110te，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
12、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载两边取对数，有：2ln10t，210ln10101021ln 3lg 30.4771ts。7-12某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求：（1）求振子在水中的振动周期T；（2）如果开始时振幅100A厘米， 阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？解： （1）TeAA09.00AAeT910ln190.0ln1TT又阻尼振动
13、的圆频率：2202即910ln14.42220222TTT即022000 0 1 4. 1)0 0 01 4. 01(49/10ln1TTTTc从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。（2）在整个阻尼振动过程中，振子所经过的路程可近似地表示为：厘米400409.01414)1 (444400020210AAeAeeAAAASTTT7-13试画出cos(2)4xAt和cosyBt的李萨如图形。解：2xy，:2:1xyp名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
14、- - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载又4xy，可参考书上的图形。7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1）4 c o s864 c o s86xtyt； （2）4 c o s8654 c o s86xtyt；（3）4 c o s8624 c o s83xtyt。试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。对于cos()xxAt，4cos()yyt的叠加，可推得：22222cos()sin ()xyxyxyxyA（1）将6x，6y代入有：2222cos16
15、sin33xyx y，则方程化为：2212xyx y，轨迹为一般的椭圆；（2）将6x，56y代入有：2222cos16sinxyx y则方程化为：2220 xyx y，即0 xy，轨迹为一直线；（3）将6x，23y代入有：2222cos16sin22xyx y则方程化为：2224xy，轨迹为圆心在原点，半径为4m 的圆。7-15在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图 所 示的 李 萨如 图 形。已知 水平 方 向振 动 频率为z4H107.2，求垂直方向的振动频率。解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点是 2 个，在竖直方向的切点是3 个，所以：名师归纳总结 精
16、品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载:3: 2xy，那么，23xy422.7 10341.810()Hz。思考题7-1试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运
17、动；在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用0222dtd描述时，其所作的运动就是谐振动。那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用2220dd t描述时，其所作的运动就是谐振动
18、。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。 显然， 小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹 槽最 低点 ，即系统势能最小 值位 置点O ； 而小 球在 运动 中的回复力为sinmg。题中所述，SR，故0SR，所以回复力为mg。 （式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小
19、球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR22dmRmgdt，令Rg2，则有：0222dtd。7-2简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答：简谐振动的速度：sin()vAt；加速度：2cos()aAt；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和
20、加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之， 两者异号时，加速度使速率减小。7-3分析下列表述是否正确，为什么? （1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答： （1）的表述是正确的，原因参考7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。7-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法 1：使其从平衡位置压缩l，由静止开始释放。方法 2：使其从平衡位置压缩2l，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用21TT、和21EE 、表示，则它们满足下面那个关系？名师
21、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（A）2121EETT（B）2121EETT（C）2121EETT（D）2121EETT答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（ B）。7-5 一质点沿 x轴作简谐振动， 周期为 T， 振幅为 A， 质点从21Ax运动到Ax2处所需要的最短时间为多少？答：质点从21Ax运动到Ax2处所需要的最短相位变化为4，所以
22、运动的时间为：/ 48Tt。7-6一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置0 x处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于2/Ax处时；其势能的瞬时值为多少？答：由题意，在平衡位置0 x处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于2/Ax处时；其势能的瞬时值为：JEAkkxM5.124504121212122）（。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -