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1、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知抛物线y22 px p抛物线性质 30 条0 ,AB 是抛物线的焦点弦, 点 C 是 AB 的中点 . AA垂直准线于 A, BB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂直准线于 B, CC垂直准线于 C, CC 交抛物线于点M ,准线交 x 轴于点 K. 求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. | AF |x1p ,| 2pBF |x22 ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. CC1 AB1 AABB 。A1 1Ax ,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
2、23. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切。 证明： CC是梯形 AABB的中位线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | | AF| BF| | AA| BB|2 | CC|2rCCx3,y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. AC B5. A FB90o 。 由 1 可证 90o 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：Q AAPFK ,A FKFA A,OFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q| AF| | AA |,AA FAFA ,BBx2,y2可编辑资料 - -
3、 - 欢迎下载精品名师归纳总结A FK1AFK , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理：B FK1BFK 2,得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. C F1 A B .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由A FB90o得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. AC 垂直平分 A F。 BC 垂直平分 B F 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由 C F1 A B2可知,| C F |1 | A B2| | C A |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又Q| AF| | A
4、A |,得证.同理可证另一个 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. AC 平分A AF , BC 平分B BF ,A F平分AFK , BF平分BFK .证明：由 AC 垂直平分 A F可证 .9. C FAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：uuuuv uuuv C FAB p,y1y2 2 x2x1, y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y 2y2y2y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p x2x112211202222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. AFP1cos。 BFP。1c
5、os可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 作 AH垂直 x 轴于点 H,就 | AF同理可证另一个 .| | AA| | KF| FH |p| AF| cos, | AF |p.1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11.112 ;AFBFPPP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：由AF。1cosBF。得证 .1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 点 A 处的切线为y1 ypxx1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111证明：（方法一）设点 A 处
6、切线方程为yy1k xx1 ,与y22 px 联立,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ky 22 py2 p ykx 0, 由02 x k 22 y kp0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解这个关于 k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得： ky1 2 x1p , 得证 .y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法二：（求导）y 22 px 两边对 x 求导得2 yy2 p, yp , yy |x xp , 得证 .y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113. AC是切线,切点为A。 BC是切线,切点为B。可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载精品名师归纳总结证明：易求得点 A 处的切线为y1 yp xx1 ,点 B 处的切线为y2 ypxx2 ,解得两切线的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点为 C p , y1y2 , 得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2214. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,就过两切点Q1、Q2 的弦必过焦点 ; 并且PQ1PQ2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设点 Pp , t tR 为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2Q y, y ,22 p可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y22 px 两边对 x 求导得2 yy2 p, yp ,pKyt,y22typ 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yyPQy2p2 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显4t 24 p20, 切点有两个,设为2yQ 1, y , Q 2y2 , y, 就yy2t,y yp2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kky112 py22 py1122 p2 py221212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2F
9、Q1FQ 2ypypy 2p 2y2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212122 p22 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 py12 py22 p2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y yy2y yyyyy0,所以 Q1Q2 过焦点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y2py2t 2py2 y2t12y2y2p 2uuuuv uuuuvPQ1 PQ2 2 p2 , y11222 p2, y24 p
10、 244y1 y2t y1y2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p2y2y22p2 yy 22 y y2p24t22p22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12t1212tt0,242424PQ1PQ2.15. A 、O、 B 三点共线。 B、O、 A 三点共线。py 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： A 、O、 B 三点共线kkx yy1yyy yp 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAOB同理可证： B、O、 A 三点共线 .12212 p22112可编辑资料 -
11、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1216.yyp 2 。2px1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设 AB 的方程为4yk xp ,与2y 22 px 联立,得ky22 pykp20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 py 2y2p 4p 2yy, y yp2,x x12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12k121 22 p2 p4 p 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17.ABx1x2p2 psin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：ABAFF
12、Bxpxpxxp,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2| AB |11 yy 24 y y112 p 24 p22 p11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212kk2kk 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 p1cot 2p22 psin 2.得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18.S AOB。2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：SSS1p yy 24 y yp 2 p 24 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOBO
13、FAOFB2212124k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2p 12kS221p223p1 cot 2p2.2sin2 pp 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19.AOB（定值）。证明：由AB、S得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB2p 22sinAOB2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20. SABCsin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： S1 | AB | | PF |1 2 p11p 2 y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC22k22可编辑资料 - -
14、- 欢迎下载精品名师归纳总结p 11k 2p 2p 2p 21kp 212 2ksin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21. AB2 p 。证明：由AB2 psin 2得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22.kAB2 p。证明：由点差法得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23.tany1y2y1x1Py2;x2P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22AA2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：作 AA2 垂直 x 轴于点 A2, 在AA2F 中,tanFA
15、p ,同理可证另一个 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224. A B4 AFBF ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2证明： A B4 AFBF2pp| yy |4 x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y22 y y4 x x2 px2 pxp22y y4 x xp 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212
16、1 212121 2p 2由 yyp2 , xx得证.1212425. 设 CC交抛物线于点M ,就点 M 是 CC 的中点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：C x1x2 , y1y2 , C p , y1y2 ,CC 中点横坐标为 x1x2p ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 yy1y2 2代入 y22 px ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y22y y2 px2px2 p2x xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12122 px,122 px,x12.
17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以点 M的横坐标为 xx1x2 4p . 点 M 是 CC 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当弦 AB 不过焦点时, 设 AB 交 x 轴于点D m,0 m0 ,设分别以 A 、B 为切点的切线相交于点P,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：26. 点 P 在直线 xm 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：设AB :xtym, 与y22 px 联立,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y22 pty2 pm0,x
18、y2 pt , y y2 pm ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212PA: y ypxx 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由11,相减得 yy yy1y2 ,yy1y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB : y2ypxx2 y212y yy2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入 y ypxx 得,112px1 ,y y2 px,xm, 得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112212yA1APMCE- m,0OFDm,0xB1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结27. 设
19、PC 交抛物线于点 M ,就点 M 是 PC 的中点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：C x1x2 , y1y2 , Pm, y1y2 ,PC中点横坐标为 x1x22m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 yy1y2 2代入 y22 px ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y22 y y2 px2 px4 pmxx2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12122 px,Q y y2 pm,122 px,x12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结41
20、244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以点 M的横坐标为 xx1x22m4. 点 M 是 PC 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结28. 设点 A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B1,就 PA 垂直平分 A 1F, PB 垂直平分 B 1F,从而 PA 平分A1AF , PB 平分B1BF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： kkp0y1py1 1,PAA F ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAA1Fyppyp1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122 又| AF | | AA1 | ,所以 P
21、A 垂直平分 A 1F. 同理可证另一个 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法二： ky12 py1, kp , k0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFy2py2p 2APyAA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanFAP2 ptan2PAAkAFkAPk AP1kAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11kk1kkAFAPAPAA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 py1pp02 pyp y2p2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2
22、p 2y1y1y1ppy2p 3ppp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 py1ppy2p 22 p2y1y y2p 2y1y1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12210111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1py1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanFAPtanPAA1 ,FAPPAA1.同理可证另一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结29. PFAPFB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：PAA1PAFPFAPA1A,同理：P
23、FBPB1B,只需证PA1APB1B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易证：| PA1 | | PF| | PB1 |,PA1B1PB1A1,PA1APB1B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuvuuuvuuuv 230. | FA | | FB | | PF |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pppp2y2 y2y2y 2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：| AF| | BF| x xx x xx 1212,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12221
24、221244 p244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y yyy2222222y ypyyy yyyp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q P12 ,12 ,| PF|212121212, 得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 p22 p224 p244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 1：（ 2007 江苏高考第 19 题）如图,过 C（0,c）（c0）作直线与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB和直线 y+c=0 交于 P、Q。y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
25、结（1） ）如OAOB =2,求 c 的值。BP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）如 P为线段 AB的中点,A求证： AQ为抛物线的切线。Ox（3） ）试问（ 2）的逆命题是否成立。Q解：（ 1）设 A（x1, y1 ）, B（ x2,y2 ）, C（ 0, c）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 在抛物线上： y1=x1（1）点 B在抛物线上： y2 =x2（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AB经过点 C：y1c x1y2c x2（ 3）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将（ 1）式与（ 2）式分别代入
26、（ 3）式,得到 x1x2=-c , y1y2 =c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 OAOB = x 1x2+y1y2=2,得 c=2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） P 为线段 AB的中点,得点 Q的坐标为（2x1x2 2,-c ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 AQ的斜率 k1=x1y1cx1x222 x1x1x1 x2 x22 x1 ,过点 A的切线的斜率为 k2=2x1 。所以直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 AQ是抛物线的切线。（ 3）过点 A的切线方
27、程为 y-y 1=2 x 1（x-x 1）与直线 y=-c 相交于点 Q,22将 y=-c 代入 y-y 1=2 x 1（ x-x 1）,可得-c-x 1 =2 x 1 （x-x 1）即 x1x2-x 1 =2 x 1（x-x 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以点 Q的横坐标为x1x22,即点 P为线段 AB的中点。（ 2）的逆命题成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2该题的命题思路就是借助于性质3 而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切线的斜率,切线的方程的写法,以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命 制的题。例 2：（ 2006 全国高
28、考卷 21 题）抛物线 x =4y 的焦点 F, A、B 是抛物线上两动点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 AFFB ,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） 证明： FMAB 为定值。22（2） ） 设 ABM的面积为 S,写出 S=f（）的表达式,并求出 S 的最小值。解：（ 1）设 A（x1, y1 ）, B（ x2,y2 ）, F（ 0, 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 在抛物线上： 4y1=x1（1）点 B在抛物线上： 4y2=x2（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎
29、下载精品名师归纳总结直线 AB经过点 F：y11 x1y21 x2（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到过点 A的切线方程： 2（y-y 1）=x1（x-x 1 ） （4） 过点 B 的切线方程： 2（ y-y 2）=x2 （x-x 2） （5）由（ 1）（ 2）（3）得 x1x2=-4 ,y1y2=1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 4）、（5）得 M坐标为（x1x2 2,-1 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 FMAB =（x1x2 222xx,-2 ）（x2- x 1, y2 - y 1）= 2 122 y2y10 。可编
30、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） AFFB ,即（ 0-x 1,1-y 1）=（ x2, y2-1 ）所以-x 1 = x2,再由 x1x2=-4 ,得 x2x2 =4,即 x2=4 ,就 x1=4,y1=, y2= 1 。由 FMAB =0,所以 S= f （） = 1 AB22FM12x22x1x21x2y1y224= 12134 。当 =1 时, ABM的面积 S 取得最小值。相关考题1、已知抛物线C 的方程为x24 y ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两点 A, B。（ 1）过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D ,求证： AFDF 。（ 2）如直线 m 过焦点 F,分别过点线 l 上A,B 的两条切线相交于点M,求证： AM BM ,且点 M 在直2、对每个正整数n, Ax , ynnn是抛物线x24 y 上的点, 过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点Bn sn, tn , （ 1）试证： xnsn4 （ n1）（ 2）取 xn2 ,并 Cn 为抛物线上分别以nAn 与 Bn 为切点的两条切线的交点,求证：FC1FC2FC2nn 1n21 （ n1）可编辑资料 - - - 欢迎下载