《抛物线经典性质总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线经典性质总结.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结抛物线焦点弦性质总结30 条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACCX3,Y3AX1,Y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aOFBBX2,Y2基础回忆1.以 AB为直径的圆与准线 L 相切。p 22.x1 x2;4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.y1 y2p 2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.AC B90 ;5.A FB 90 ;6.ABxxp2 xp2 p;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1237.112 ;AFBFP8. A、O、 B 三点共线。9. B、O、 A 三点共线。P 22s
2、in2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10.11.S AOBS 2 AOBAB2sin3P2。（定值）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. AFP1cos。 BFP。1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.14.15.BC 垂直平分AC 垂直平分C FAB 。B F 。A F。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. AB2P 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17.CC 1 AB1 AA BB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18.22PK
3、 AB =。y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19.20.tan=2ABy2x -;p224 AFBF ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21.CF1AB .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 切线方程y0 ym x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质深究一 焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先猜后证： 当弦 AB证明 :从略x轴时,就点 P 的坐标为p
4、 ,02在准线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论 3 弦 AB不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,就过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线,就过两切点AB的弦必过焦点 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、AB是抛物线 y 22 px（ p 0）焦点弦,Q是 AB的中点,l 是抛物线的准线,AA1l ,BB1l ,可
5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 A,B 的切线相交于 P, PQ与抛物线交于点 M就有结论 6PAPB结论 7PFAB 结论 8 M平分 PQ结论 9 PA平分 A1AB,PB平分 B1BA2结论 10 FAFBPF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 11 SPAB2pmin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 非焦点弦与切线摸索：当弦 AB不过焦点,切线交于P点时, 也有与上述结论类似结果：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 12 xpy1y2 2 p, y py1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论
6、 13PA平分 A1AB,同理 PB平分 B1 BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 14PFAPFB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 15点 M平分 PQ2结论 16FAFBPF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相关考题1、已知抛物线x24 y 的焦点为 F, A,B 是抛物线上的两动点,且AFFB （ 0）,过 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,（ 1）证明： FMAB 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 ABM 的面积为 S,写出 Sf的表达式,
7、并求 S 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、已知抛物线C的方程为 x24 y ,焦点为 F,准线为 l ,直线 m交抛物线于两点 A,B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）过点 A 的抛物线 C的切线与 y 轴交于点 D,求证： AFDF 。（ 2）如直线 m过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点M,求证： AM BM,且点 M在直线 l2上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、对每个正整数 n, Anxn , yn是抛物线 x4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛
8、物线于另一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Bn sn, tn, （ 1）试证：xnsn4 （ n 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 2）取x2n ,并 Cn 为抛物线上分别以An 与 Bn 为切点的两条切线的交点,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FC1FC 2FCn2n2 n 11 （ n 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线的一个美丽性质可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结几何图形经常给人们带来直观的美学形象,我们在争论几何图形时也会很自然的想得到有关这个几何图形的精妙的性质,作为几何中的圆锥曲线的争论,正是这方面的一个典型代表,作为高中数学中的必修内容,对于培育同学对于数学美的熟悉,起着相当重要的作用。因此,在争论圆锥曲线的过程中,有意识的得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳,并在教学中与同学一起进行一些可行的争论,一方面,作为高考命题也会往这个方向上尝试,另一方面,作为新课程的一个理念,让同学进行一些学有余力的争论,提高同学学习数学的爱好,提高同学自己争论问题的才能也很有帮忙。本人从一个在教学中同学遇到的习题结合该学问点有关的一些性
10、质,并结合高考的热点题对2这一性质作了一些争论。题：抛物线 y =2px（p0）的准线与 x 轴交于 Q点,过点 Q作斜率为 k 的直线 L。就“直线 L 与抛物线有且只有一个交点”是“ k= 1”的条件。此题设计意图是考查同学对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的明白,要求同学把握直线与抛物线相切时是只有一个交点,仍有当直线与抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线也只有一个交点,因此,经过简洁的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。结合抛物线的下面的性质及上题的图形,我们发觉了一些共同点。2性质 1：已知 AB是经过抛物线 y =2px（p0）的焦点 F 的弦,就以 AB为直径的圆与可编辑资
11、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线的准线相切。yByB1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结QOxFAP1POxFA 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1图 2证明：由图 2 可知, BF=BB1,AF=AA1,2PP1=AA1+BB1。所以 2PP1 =AB。2其中图 1 是图 2 的一个特例,即当焦点弦是通径时,图2 即变成了图 1。这就引导我们摸索在图 2 中的两条直线 P1 A、P1B 是否也是抛物线的两条切线,这样我们得出了抛物线的一个性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
12、性质 2：已知 AB 是经过抛物线 y的交点 P 落在其准线上。=2px（ p0）的焦点 F 的弦,就以 A、B 为切点的两条切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22证明：设 A（x1,y1）,B（x2, y2 ）,P（x,y）点 A在抛物线上： y1 =2px1（1） 点 B在抛物线上： y2 =2px2（ 2） 过点 A的切线方程： yy 1=p（ x+x1）（ 3） 过点 B的切线方程： yy 2=p（ x+x2）（ 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AB经过点 F：y1xp12y2（5）xp22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将（
13、 1）式与（ 2）式分别代入（ 3）、（4）、（5）式,得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy 1=p（ x+y21 ）（3）yy2=p（x+2 py 22 ）（4）2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y1y2=-p（5）t 2由于点 P（x,y）的坐标满意（ 3）、（4）,所以 y1 、y2 可视为是方程 yt=p（ x+）2 p2的两根,因此由韦达定理可得 y1 y2=-p =2px。即 x=p 。2所以点 P的轨迹为抛物线的准线。从上面的证明中我们可以看出,当A、B 两点的坐标满意某种条件时,就以A、B 为切点的两条切线的交点肯定落在某条固定的直线上
14、。因此,我们更进一步的得出了更好2的性质：性质 3：已知 AB是经过抛物线 y =2px（ p0）的对称轴（即 x 轴）上肯定点 P（ m,0）（ m0）的弦,就以 A、B 为切点的两条切线的交点 Q的轨迹是一条直线 x=-m。证明：略。对于上述性质的得出,我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法,但如果换一个角度看这个问题,我们也可以得出另一种形式的性质：性质 3：动点 P 在直线 x=-m 上运动,过点 P作抛物线的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,连结 AB,得到弦 AB,那么弦 AB过定点（ m, 0）。证明：略。2依据上面的争论,我们得到了关于抛物线的一个性质,特殊是对
15、于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合,在高考题的命题中也常有涉及。例 1：（2007 江苏高考第 19 题）如图,过 C（ 0, c）（c0）作直线与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB和直线 y+c=0 交于 P、Q。y（1） ）如 OA OB =2,求 c 的值。B（2） ）如 P为线段 AB的中点,P求证： AQ为抛物线的切线。AOx（3） ）试问（ 2）的逆命题是否成立。Q解：（ 1）设 A（x1, y1 ）, B（ x2,y2 ）, C（ 0, c）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 在抛物线上： y1=
16、x1（1）点 B在抛物线上： y2 =x2（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AB经过点 C：y1c x1y2c x2（ 3）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将（ 1）式与（ 2）式分别代入（ 3）式,得到 x1x2=-c , y1y2 =c由 OA OB = x 1x2+y1y2=2,得 c=2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） P 为线段 AB的中点,得点 Q的坐标为（2x1x2 2,-c ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 AQ的斜率 k1=x1y1cx1x222 x1x1x1 x2 x22 x1 ,过点
17、 A的切线的斜率为 k2=2x1 。所以直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 AQ是抛物线的切线。（ 3）过点 A的切线方程为 y-y 1=2 x 1（x-x 1）与直线 y=-c 相交于点 Q,22将 y=-c 代入 y-y 1=2 x 1（ x-x 1）,可得-c-x 1 =2 x 1 （x-x 1）即 x1x2-x 1 =2 x 1（x-x 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以点 Q的横坐标为x1x22,即点 P为线段 AB的中点。（ 2）的逆命题成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2该题的命题思路就是借助于性质3 而编制的一道中等难
18、度的题。其中主要运用了切线的斜率,切线的方程的写法,以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命 制的题。例 2：（ 2006 全国高考卷 21 题）抛物线 x =4y 的焦点 F, A、B 是抛物线上两动点,且 AFFB ,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。（1） ） 证明： FMAB 为定值。2（2） ） 设 ABM的面积为 S,写出 S=f（）的表达式,并求出 S 的最小值。解：（ 1）设 A（x1, y1 ）, B（ x2,y2 ）, F（ 0, 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 A 在抛物线上： 4y1=x1 2（1）点 B在抛物线上： 4y
19、2=x2（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AB经过点 F：y11 x1y21 x2（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到过点 A的切线方程： 2（y-y 1）=x1（x-x 1 ） （4） 过点 B 的切线方程： 2（ y-y 2）=x2 （x-x 2） （5）由（ 1）（ 2）（3）得 x1x2=-4 ,y1y2=1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 4）、（5）得 M坐标为（x1x2x1x2 2,-1 ）。x2 2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 FMAB =（,-2 ）（x2- x 1, y2
20、- y 1）=222 y2y10 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） AFFB ,即（ 0-x 1,1-y 1）=（x2, y2-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结412所以-x 1 = x2,再由 x1x2=-4 ,得x2x2 =4, 即 x2=,就 x1=4,y1=,y2=。由 FMAB =0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 S= f （）= 1 ABFM212x1x22y1y22x1x242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3= 1124 。当 =1 时, AB
21、M的面积 S 取得最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从上面两例可以看出,高考命题往往借助课本例题中一个典型图形,结合其他学问点进行再制造,即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：（2007 年全国数学联赛一试 14 题）过点（0,1）的直线 L与曲线 C：y交于两个不同点 M和 N,求曲线 C在点 M、N 处的切线的交点的轨迹。x1 x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此在日常教学工作中,我们也应当对课本中的性质定理进行再挖掘,对几何图形的美丽性质进行一些争论性的工作,一方面对同学处理新奇题的才能提高有帮助,另一方面对老师的教学争论工作也有促进作用。可编辑资料 - - - 欢迎下载