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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1.平面向量的概念：2.向量的表示：（常见的2个向量）3.相等向量与共线向量：【典型例题】题型一 向量的基本概念例1.给出下列命题：向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量； 若a=b, b=c,则a=c；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若|a|=|b|,则a=b。 若a与b共线, b与c共线,则a与c共线其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个例2下列命题正确的有 a与b共线，b与c共线，则a与c也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平
2、行四边形的四顶点向量a与不共线，则a与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行题型二 向量的表示例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点, 然后又改变方向,向西偏北45走了200km到达C点, 最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量,;(2)求题型三 相等向量与共线向量例4 如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量，相等的向量，共线的向量。题型四 利用向量解决多点共线的问题例5.如图，四边形ABCD中，P,Q是AD，BC上的点，且,求证：综合练习：1. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b,则a与b是平行向量C.
3、若|a|b|,则ab D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量2.下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 4.已知非零向量ab,若非零向量ca,则c与b关系是 .5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .6.判定下列命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。 （ ）平面内的单位向量只有一个。 （ ）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ）向量a与b是共线向量，bC,则a与c是
4、方向相同的向量。 ( ) 相等的向量一定是共线向量。 ( )7. 下列四个命题中，正确命题的个数是 共线向量是在同一条直线上的向量 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1.向量的加法：2.向量加法的平行四边形法则：3.向量的加法的运算率：4.向量的减法：5.向量减法的平行四边形法则：6.向量数乘的概念：7.向量的数乘的性质：8.向量共线的条件：9.向量的线性运算10.向量证明三点共线：三角形的中
5、线与重心公式：【典型例题】题型一 向量的加减法例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（ ）A. B.C. D.例2如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点,则( )A.B.C.D.题型二 向量的作图例3已知在矩形ABCD中，宽为2，长为,a, b,c,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小例4.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-dOADBCMNN题型三 用已知向量表示未知向量例5.如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD试用，表示，变式：设D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab ab
6、ab 0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1B.2 C.3D.4 题型四 向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量、不是平行向量（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量例7.已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:c+a-b=.综合练习：1.下列命题正确的有 单位向量都相等 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b|2. 以下四个命题中不正确的有 若a为任意非零向量，则a0 | a+b|=|a|+|b|a=
7、b，则|a|=|b|，反之不成立 任一非零向量的方向都是惟一的3.已知，则的取值范围为 4. 设（+）+（+）= ,则在下列结论中，正确的有 ; +=; +=; +5.化简6.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .2.3 平面向量2.3.1 平面向量基本定理【知识点归纳】1.平面向量的基本定理：2.向量的夹角：【典型例题】题型一 基底的判定例1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a
8、都有a =e1+ue2(、uR)题型二 用基底表示向量例2.已知 a=-e1+3e2，b= 4e1+2e2，其中e1，e2不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a，b作为基底来表示c题型三 向量的夹角例3.已知两个非零向量a，b的夹角为80，求下列向量的夹角：（1）a与-b （2）2a与3b练习：1.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3 B.-3 C
9、.0 D.23.已知a、b不共线，且c =1a+2b(1，2R)，若c与b共线，则1= .2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4平面向量的共线的坐标表示【知识点归纳】1.平面向量的正交分解：2.平面向量的坐标表示：3.平面向量的坐标运算：4.平面向量共线的表示：5.三点共线：【典型例题】题型一 求向量的坐标例1.已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。题型二 平面向量的坐标运算例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3
10、 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐标.练习：1若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标2若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）A BC D4已知，则等于（ ）A B C D5已知平面向量 ， ，且2，则等于（ ）A B C D6. 已知，若与平行，则等于（ ） A. 1 B. -1 C.1或-1 D.27.
11、已知，则的坐标为_.8 . 已知，则以，为基底，求.题型三 向量共线的证明及判定例5.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？题型四 向量共线求参数例6 已知，且，求练习：1.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为_.2.设，且，求角题型五 三点共线例2: 已知，求证、三点共线例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.练习：1.若=(2
12、，3)，=(4，-1+y)，且，则y=（ ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.33.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，44.已知=(4，2)，=(6，y)，且，则y= .5.已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2-平行，则x的值为 2.4平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义【知识点归纳】1.平面向量的数量级的概念：2.平
13、面向量数量积的几何意义：3.向量数量积的性质：【典型例题】题型一 平面向量数量积的基本概念例1.给出下列命题：若|a|=|b|，则a=b或a=-b；|ab|=|a|b|；ab=0a=0或b=0；若ab且bc，则ac。其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3题型二 求向量的投影和数量积例2.已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求.练习：1.已知a=(1，-2)，b=(3，4)，则a在b方向上的投影是_2.已知，当，与的夹角是60时，分别求.题型三 求向量的模例3.已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)(-3)练习：1.已知|=2，|=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4
14、的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.122.已知|=1，|=，(1)若，求；(2)若、的夹角为，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.题型四 向量垂直的判定例4.已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.题型五 求向量的夹角的余弦值例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点归纳】1.平面向量的数量积的坐标表示2.平面向量的模的坐标表示3.平面向量的夹角的坐标表示（平行，垂直）【典型例题】题型一 向量数量积的坐标运算例1.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的
15、数量积为_例2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.12题型二 向量的夹角坐标运算例3.设a=(2,1),b=(1,3),求ab及a与b的夹角例4.已知向量a=(-2,-1),b=(,1)若a与b的夹角为钝角,则取值范围是多少?题型三 向量的垂直例5.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.例6.已知，当k为何值时，（1）垂直？练习：1.已知则（）A.23 B.57 C.63 D.832.已知则夹角的余弦为（）A. B. C. D.3.则_。4.已知则_。5
16、.则_ _6.与垂直的单位向量是_A. B. D. 7.则方向上的投影为_8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( ) A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（）A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使ABC90若不能，说明理由；若能，求C坐标。2.5 平面向量应用举例【知识点归纳】1向量的在几何中的运用：【典型例题】例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量。例2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值.变式：已知，求边长c。专心-专注-专业