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1、选修 2-1第一章 常用规律用语1.1 命题及其关系1. 定义： 一般地,我们用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句,叫做命题； 其中判定为正确的命题,为真命题；判定为不正确的命题,为假命题；2. 辨析： 能够辨论哪一个是命题及其真假；判定一个语句是否是命题,关键在于能否判定其真假；语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句；一般的,只有陈述句能辨论真假,其他类型的句子无所谓真假,我们把每个能辨论真假的陈述句作为一个命题；对于一个句子,有时我们可能无法判定其真假,但对这个句子却是有真假的,如： “太阳系外存在外星人 ”,对于这个句子所描述的情形, 目前确定其真假, 但从事物的本质而言,
2、句子本身是可以判定其真假的；这类语句也称为命题；语句是不是命题,关键在于能不能判定其真假,也就是判定其是否成立；不判定真假的语句,就不能叫命题；“X2”；3. 原命题与逆命题即在两个命题中,假如第一个命题的条件（或题设）是其次个命题的结论,且第一个命 题的结论是其次个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题 ；假如把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的 逆命题 .4. 否命题与逆否命题即在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否 定,这样的两个命题就叫做 互否命题 ,如把其中一个命题叫做原命题,就另一个就叫做原命题的否命题.5. 原命题与逆否命题即在两个命
3、题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否 定,这样的两个命题就叫做 互为逆否命题 ,如把其中一个命题叫做原命题,就另一个就叫做原命题的 否命题.6. 四种命题的形式一般到,我们用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 p 和q 分别表示 p 和 q 的否定,于是四种命题的形式就是：原命题：如 p 就 q； 逆命题：如 q 就 p； 否命题：如 p就q；逆否命题：如 q就p.7. 四种命题的相互关系一般的,四种命题的真假性,有且仅有以下四种情形： （四种命题的真假性之间的关系）原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假两个命题互为逆否命题,它们有相同
4、的真假性；两个命题为互逆或互否命题,它们的真假性没有关系.8. 反证法欲证“如 p 就 q”为真命题,从否定其结论即 “非 q”动身,经过正确的规律推理导出冲突,从而“非 q”为假,即原命题为真,这样的证明方法称为反证法其反证法的步骤：1假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； 2从这个假设动身,通过推理论证,得出冲突； 3由冲突判定假设不正确,从而确定命题的结论正确1.2 充分条件与必要条件1. 充分条件的定义假如 p 成立时, q 必定成立,即 pq,我们就说, p 是 q 成立的充分条件（即为使 q成立,只需条件 p 就够了）2. 必要条件的定义假如 B 成立时, A 必定成立,即
5、qp,我们就说, q 是 p 成立的必要条件（即为使 q成立,就必需条件 p 成立）3. 1如 pq,且 qp,就称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件； Pq说明： 充要条件是互为的；“p是 q 的充要条件 ”也说成 “p与 q 等价”、p 当且仅当 q”等.pq,且qp,就p 是q 的充要条件；pq,但qp,就p 是q 的充分而不必要条件；qp,但pq,就p 是q 的必要而不充分条件；pq,且qp,就p 是q 的既不充分也不必要条件 .1.3 简洁的规律联结词1. “或”与日常生活中的用语 “或”的意义不同, 在日常生活用语中的 “或”带有不行兼有的意思,而规律用语中的 “或”可以同
6、时兼有；对于规律用语 “或”的懂得我们可以借助于集合中的并集的概念： 在 AB x | xA 或 xB 中的“或”是指 “xA”与“xB ”中至少有一个成立,可以是 “xA且 xB ”,也可以是 “xA 且 xB ”,也可以是 “xA 且xB ”,规律用语中的 “或”与并集中的 “或”的含义是一样的；2. 对“且”的懂得 ,可以联想到集合中的交集的概念： 在 AB x | xA且 xB 的“且”是指“xA ”、“xB ”都要满意的意思,即 x 既要属于集合 A,又要属于集合 B；3. 对“非”的懂得, 可以联想到集合中的补集的概念： “非”有否定的意思,一个命题 p 经过使用规律联结词 “非”
7、构成一个复合命题 “非 p ”,当 p 为真时, 非 p 为假,当 p 为假时, 非 p为真；如将命题 p 对应集合 P ,就命题非 p 就对应着集合 P 在全集 U 中的补集 CU P ；对于非的懂得,仍可以从字意上来懂得, “非”本身就具有否定的意思,如 “0.5 是非整数 ”是对命题“0.5是整数 ”进行否定而得出的新命题；一般地,写一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定；4. 构造复合命题的方式： 简洁命题 +规律连结词（或、且、非） +简洁命题；5. 复合命题的真假判定：pq非 pp 或 qp 且 q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假留意： “命题的否定 ”与“否命题
8、 ”是两个不同的概念：前者只否定结论,后者结论与条件共同否定；1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“全部的 ”任“意一个 ”在规律中通常叫做全称量词,并用符号“”表示；（常见的全称量词仍有“一切”每“一个 ”任“给” 所“有的 ”等 ； ）含有全称量词的命题,叫做全称命题；如：全称命题 “对 M 中任意一个 x,有 px成立 ”可用符号简记为：简记为xM ,px,读作“对任意 x 属于 M,有 px成立”；2. 存在量词、特称命题定义 ：短语“存在一个 ”“至少有一个 ”在规律中通常叫做存在量词,并用符号“”表示； 常见的存在量词仍有 “有些”“有一个”“对某个 ”有“
9、的”等 ；含有存在量词的命题,叫做特称命题；特称命题 “存在 M 中的一个 x0,使 px0成立 ”可用符号简记为：x0M, p x0,读作“存在一个 x0 属于 M,使 px0成立”；3. 同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（ 含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称命题）（1） 关系：全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题；（2） 全称量词与存在量词的否定；关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某个任
10、意两个某两个全部的某些能不能 基础训练 A 组 一、挑选题1 以下语句中是命题的是（）A周期函数的和是周期函数吗？Bs i n 40 51Cx22 x10D梯形是不是平面图形呢？2 在命题 “如抛物线yax2bxc 的开口向下,就x | ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A都真B都假C否命题真D逆否命题真3 有下述说法： ab0 是a 2b2 的充要条件 ab0 是 1a1 的充要条件b ab0 是a 3b3 的充要条件就其中正确的说法有（）A0 个B1 个C2 个D3 个4 以下说法中正确选项（）A 一个命题的逆命题为真,就它的逆否命题肯定为真B “ab ”与“ a
11、cbc ”不等价C “a 2b 20 ,就a,b 全为 0 ”的逆否命题是 “如 a,b 全不为 0 , 就 a 2b 20 ”D 一个命题的否命题为真,就它的逆命题肯定为真5 如 A: aR, a1 ,B : x 的二次方程x2a1xa20 的一个根大于零 ,另一根小于零 ,就 A 是 B 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知条件p : x12 ,条件q :5 x6x2 ,就 p 是q 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题1 命题： “如 a b 不为零,就 a, b都不为零 ”的逆否命题是2 A: x1,
12、x2 是方程ax2bxc0a0 的两实数根；bB : x1x2,a就 A 是 B 的条件3 用“充分、必要、充要 ”填空： pq 为真命题是 pq 为真命题的 条件；p 为假命题是 pq 为真命题的条件； A: x23,B : x24 x150 , 就 A 是 B 的条件4 命题“ax22ax30 不成立 ”是真命题,就实数 a 的取值范畴是 5“abZ ”是“x2axb0 有且仅有整数解 ”的条件三、解答题1 对于下述命题 p ,写出 “ p ”形式的命题,并判定 “p ”与“ p ”的真假：（1）p : 91 AB （其中全集UN * ,A x | x是质数 ,B x | x是正奇数 ）（
13、2） p : 有一个素数是偶数；（3） p : 任意正整数都是质数或合数；（4） p : 三角形有且仅有一个外接圆2 已知命题p : 4x6, q : x22x1a 20a0, 如非 p 是q 的充分不必要条件,求 a 的取值范畴3 如 a 2b2c2 ,求证：a, b, c 不行能都是奇数4 求证：关于 x 的一元二次不等式ax 2ax10 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0a4 综合训练 B 组一、挑选题1 如命题 “pq ”为假,且 “ p ”为假,就（）Ap 或q 为假 Bq 假Cq 真D不能判定 q 的真假2 以下命题中的真命题是（）2A3 是有理数B2是实数Ce是有理数Dx
14、| x是小数R3 有以下四个命题： “如 xy0, 就 x, y 互为相反数 ”的逆命题； “全等三角形的面积相等 ”的否命题； “如 q1,就x22xq0 有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等 ”逆命题； 其中真命题为（）ABCD4 设 aR ,就 a1 是 11a的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件25 命题： “如 a2b20a, bR ,就 ab0 ”的逆否命题是（）2A. 如ab0 a, bR,就 ab 20B. 如ab0a , bR ,就 ab 20C. 如a0,且b0a, bR,就 a 2b20D. 如a0,或b0a, bR,就
15、 a 2b206如 a, bR ,使 ab1 成立的一个充分不必要条件是 Aab1Ba1Ca0. 5且, b0.D5b1二、填空题1有以下四个命题：、命题 “如 xy1 ,就 x , y 互为倒数 ”的逆命题；、命题 “面积相等的三角形全等 ”的否命题；、命题 “如 m1 ,就 x22 xm0 有实根 ”的逆否命题；、命题 “如 ABB ,就 AB ”的逆否命题其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）2 已知 p, q 都是 r 的必要条件, s是r 的充分条件 , q 是 s的充分条件,就 s 是q 的 条件, r 是 q 的条件, p 是s 的条件3 “ ABC 中,如C900 ,就
16、A,B 都是锐角 ”的否命题为；4 已知 、 是不同的两个平面, 直线 a, 直线b,命题p: a与b无公共点；命题 q :/,就 p是q 的条件5 如“x2,5或 xx | x1或x4 ”是假命题,就 x 的范畴是 三、解答题1判定以下命题的真假：（1） 已知a,b,c, dR,如ac,或bd, 就abcd.（2） xN, x3x2（3） 如 m1, 就方程x22 xm0 无实数根（4） 存在一个三角形没有外接圆2 已知命题p : x2x6, q :xZ 且“p且q ”与“非 q ”同时为假命题,求 x 的值3 已知方程 x22k1xk 20 ,求使方程有两个大于 1的实数根的充要条件4已知
17、以下三个方程： x24ax4a30, x2a1xa20, x22ax2a0 至少有一个方程有实数根,求实数 a 的取值范畴提高练习 C 组一、挑选题1有以下命题： 2004 年10 月1日是国庆节,又是中秋节；10 的倍数肯定是 5 的倍数；梯形不是矩形；方程x21 的解 x1其中使用规律联结词的命题有（）A1 个B2 个C3 个D4 个2 设原命题：如 ab2 ,就 a,b中至少有一个不小于 1 ,就原命题与其逆命题的真假情形是（）A原命题真,逆命题假B原命题假,逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题3 在 ABC 中, “A30 ”是“sin A1”的（）2A充分不必
18、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4 一次函数 ym x1 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）nnAm1 ,且n1Bmn0Cm0 ,且n0Dm0 ,且n05 设集合Mx | x2 , Px| x3 ,那么“xM ,或 xP ”是“xMP ”的（A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6命题p : 如a,bR ,就 ab1是 ab1的充分而不必要条件； 命题q : 函数 yx12的定义域是, 13, 就（） A“p 或q ”为假B“p 且 q ”为真Cp 真q 假Dp 假q 真二、填空题1 命题“如 ABC 不是等腰三角形,就它的任
19、何两个内角不相等”的逆否命题；2 用充分、必要条件填空：x1,且y2 是 xy3 的 x1, 或y2 是 xy3 的3 以下四个命题中“k1 ”是“函数 ycos2 kxsin 2 kx 的最小正周期为”的充要条件；“a3”是“直线 ax2 y3a0 与直线 3xa1ya7 相互垂直 ”的充要条件；x242 函数 y的最小值为 2x3其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）4已知 ab0 ,就 ab1是 a 3b 3aba 2b 20 的条件5如关于 x的方程x22a1) x2a60有一正一负两实数根,就实数 a 的取值范 三、解答题1写出以下命题的 “ p ”命题：（1） 正方形的四边
20、相等（2） 平方和为 0 的两个实数都为 0（3） 如 ABC 是锐角三角形, 就 ABC 的任何一个内角是锐角（4） 如 abc0 ,就a,b,c 中至少有一个为 0（5）如 x1x2) 0,就x1且x22 已知p : 1x132 ； q : x22x1m20m0如 p 是 q 的必要非充分条件,求实数m 的取值范畴3 设 0a, b,c1 ,求证： 1a) b,1b) c,1c) a 不同时大于 144 命题p : 方程 x2mx10 有两个不等的正实数根,命题q : 方程 4x24m2x10 无实数根如“p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范畴（数学选修 2-1）第一章常用规律用语参考
21、答案基础训练 A 组一、挑选题1 B可以判定真假的陈述句2 D原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题3 A ab0a2b 2 ,仅仅是充分条件 ab011,仅仅是充分条件； ab0 aba 3b 3 ,仅仅是充分条件4 D否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一样的真假性5 AA: aR, a1a20 ,充分,反之不行6 Ap : x12,3x1 ,q :5 x6x2, x25x60, x3,或x2pq ,充分不必要条件二、填空题1 如 a,b 至少有一个为零,就 a b 为零2 充分条件AB3 必要条件；充分条件；充分条件,A:1x5, B : 219x219, AB43 , 0 a x22a
22、x 30恒成立,当 a0 时, 30 成立；当 a0 时,a04a21 2a得 3a00 ；3a05必要条件左到右来看： “过不去 ”,但是 “回得来 ”三、解答题1解：（ 1）p :91A, 或91B ； p 真, p 假；（2） p : 每一个素数都不是偶数； p 真, p 假；（3） ）p : 存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假, p 真；（4） ）p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆2解：p : 4x6, x10,或x2, Ax | x10,或x2q : x22x1a20,x1a, 或x1a, 记Bx | x1a, 或x1a而 pq,AB ,即1a21a10 ,0
23、a3a03 证明：假设a,b, c 都是奇数,就a2 ,b2, c2 都是奇数得 a 2b 2 为偶数,而c2 为奇数,即 a 2b2c2 ,与 a 2b2c2 冲突所以假设不成立,原命题成立4 证明：ax2ax10a0 恒成立a0a24a00a4（数学选修 2-1）第一章常用规律用语参考答案综合训练 B 组 一、挑选题1 B“ p ”为假,就 p 为真,而 pq （且）为假,得 q 为假2 B22 属于无理数指数幂,结果是个实数；3 和e 都是无理数；x | x是小数R3 C如xy0 , 就x, y 互为相反数,为真命题,就逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等 ”的否命题为 “不全等三角形
24、的面积不相等相等”为假命题；如 q144q0,即44q0 ,就x22xq0 有实根,为真命题4Aa111 ,“过得去 ”；但是 “回不来 ”,即充分条件 aa0,b0a0,b05Dab0 的否定为 a,b 至少有一个不为 0a0,b0a0,b06D当a1,b0 时,都满意选项A, B ,但是不能得出ab1其中之一当a二、填空题0.5, b0.5 时,都满意选项 C ,但是不能得出ab 的1否定是另外三个1 ,ABB,应当得出 BA2 充要,充要,必要q sr,qq; srqs ,r r ;qsrp3 如 C900 ,就A,B 不都是锐角条件和结论都否定4必要qp从 p 到q ,过不去,回得来5
25、1, 2x2 , 5和xx | x1或x4 都是假命题,就x2, 或x51x4三、解答题1解：（ 1）为假命题,反例： 14,或 52,而1542（2） ）为假命题,反例： x0, x3x2 不成立（3） ）为真命题,由于m144m0无实数根（4） ）为假命题,由于每个三角形都有唯独的外接圆2 解：非 q 为假命题,就 q 为真命题； p且q 为假命题,就 p 为假命题,即x2xx26, 且xZ ,得x2x60,2x60x3, xZx1 , 0 ,或1 ,23 解：令f xx22k1) xk2 ,方程有两个大于 1的实数根2 k124k 202k112即0k14f 10所以其充要条件为 0k1
26、44 解：假设三个方程：x24ax4a30, x2a xa23a10, x22ax2a0 都没有实数根,14a24 4a30222就2 a14a20,即 a1 ,或a31 ,得 3a1212a24 2a02 a0a3 ,或a12提高练习 C 组1 C中有 “且”；中没有；中有 “非”； 中有“或”2 A由于原命题如 ab2 ,就 a, b中至少有一个不小于 1 的逆否命题为,如a, b 都小于 1,就 ab2 明显为真,所以原命题为真；原命题如ab2 ,就 a,b中至少有一个不小于 1的逆00命题为,如a, b中至少有一个不小于 1,就 ab2 ,是假命题,反例为 a1.2, b0.33B当
27、A170 时, sin170sin10 01 ,所以 “过不去 ”；但是在 ABC 中,21sin A2300A150 0A300 ,即“回得来 ”4B一次函数 ym x1 的图象同时经过第一、三、四象限nnm 0, 且 10m0, 且n0mn0 ,但是 mn0 不能推导回来n n5 A“xM ,或 xP ”不能推出 “xMP ”,反之可以6 D当a2, b2 时,从 ab1 不能推出 ab1,所以 p 假, q 明显为真1 如 ABC 的两个内角相等,就它是等腰三角形2 既不充分也不必要,必要如 x1.5,且y1.5xy3 ,143,而x1 x1, 或y2 不能推出 xy3 的反例为如 x1
28、.5,且y1.5xy3 ,xy3x1, 或y2 的证明可以通过证明其逆否命题x1,且y2xy33,“k1 ”可以推出 “函数 ycos2 kxsin2 kx的最小正周期为”但是函数 ycos2 kxsin2kx的最小正周期为,即 ycos2kx, T2 2k, k1 “a3”不能推出 “直线 ax2 y3a0 与直线 3xa1ya7 相互垂直 ”22x4x2311反之垂直推出a； 函数 yx 23的最小值为 22225x3x3x3令x23t, t3, ymin314 3334充要a3b3a ba22b a1b 2 aa b 2b5,3 2a601解（ 1）存在一个正方形的四边不相等； （ 2）
29、平方和为 0 的两个实数不都为 0 ；（3）如 ABC 是锐角三角形,就 ABC 的某个内角不是锐角（ 4）如 abc0 ,就a, b, c中都不为 0 ；（ 5）如 x1x2) 0,就x1或x22解：p : 1x132, x2, 或x10, Ax | x2, 或x10q : x22x1m20, x1m,或x1m, Bx | x1m, 或x1mp是q的必要非充分条件,BA ,即 1m21m10m9,m93证明：假设 1a) b,1b) c,1c) a 都大于1 ,即 1ab1 ,1bc1 ,4441ca1 ,而 1ab1ab1 , 1bc1bc1 ,422221ca1ca11ab, 得1bc1ca3222222即 33 ,属于自相冲突,所以假设不成立,原命题成立224解： “p 或q ”为真命题,就 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题当 p 为真命题时,就m2x1x240m0 ,得 m2 ；x1x210当q 为真命题时,就16m22160, 得 3m1当q 和 p 都是真命题时,得3m2m1