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1、近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似在绝热近似、单电子近似和周期性势场近似下，晶体多粒子在绝热近似、单电子近似和周期性势场近似下，晶体多粒子 体系问题转化为求解晶格周期性势场作用下的单电子问题：体系问题转化为求解晶格周期性势场作用下的单电子问题：222mrV (r) k (r) E k (r) nV (r) V (r R)n112233R n a n a n a(n1, n2 , n3 0,1,2,3,)电子本征波函数（布洛赫定理）：电子本征波函数（布洛赫定理）：kkikr(r) eu (r)uk (r Rn ) uk (r)333232212111bNlNlNlb , k
2、 b , k k l1,l2 ,l3 0,1,2,3,简简约约布布里渊里渊区区En (k G) En (k) n,k G (r) nk. (r)表示表示第第 n 个个能能带带上上波矢波矢为为 k G状态相同状态相同。为为了建立波了建立波矢矢 k 与电与电子状态一一对应关系，将电子状态一一对应关系，将电子子 k波波矢矢取取值限值限制制在第一布里渊区（威格纳在第一布里渊区（威格纳原原胞、简约布里渊区）内胞、简约布里渊区）内。的的电电子子状状态与波矢态与波矢为为 k 的电子的电子令令 G G GlllVli(k G)rn,k Ga(k G )e 1(r) n,k(r) n,k G (r)， n,k
3、(r) 满满足同样的薛定谔方程，所以足同样的薛定谔方程，所以：En (k G) En (k)第第 n 个个能能带带内内，波，波矢矢 k 的数目的数目设设倒倒格格矢的矢的基基矢矢为为 b1、 b2、 b3 ，构构成成倒倒格子空间格子空间。第第一一布布里渊里渊区区体积体积： ( )rb1b2b3将将电电子子波矢波矢限限制在第一布里渊区内，即制在第一布里渊区内，即： b1 k1 b1 , b2 k2 b2 , b3 k3 b3222222332211bNl3b Nl2b N l1k l1、l2、l3 0,1,2,333232212111bNlNlNlb , k b , k k 因为：因为：得到：得到
4、： Ni li Ni ,i 1,2,3 22l1,l2 , l3 各可以各可以取取 N1, N2 , N3 个个不不同同整整数数得得到到每每个能个能带带中，电子状态数为中，电子状态数为：N N1N2 N3由由于于电电子包子包括括上下两个自旋，所以每个上下两个自旋，所以每个能能带中可以容带中可以容纳纳2N个个 电子状态。电子状态。简约简约布布里渊里渊区区表表示示周期周期性性布里布里渊渊区表区表示示扩展扩展布布里渊里渊区区表表示示32 1 12 3111 233 21kk能能带带的图形表的图形表示示0aa aa 0223aaaa 3 2aaa 3 2 0aaa3En k E2 k E1 k kEn
5、 k En k E3 k 例例题题 (1) ak电子波函数电子波函数：(x) sin x 一维晶格常数一维晶格常数根据布洛赫定理，一维周期性势场中的电子波函数：根据布洛赫定理，一维周期性势场中的电子波函数： k (x a) e k (x)ikxaaakk sin x cos cos x sin sin x (x) a a(x a) sin (x a) sin x eika 1n 1,1,2,ka 2n 1 ,n 1,1,2,ak 2n 1 ,1 1k0a aEk ak a a若限制波矢量在第一布里渊区内若限制波矢量在第一布里渊区内，k , ，则：，则：将势场函数和电子波振幅函数在倒格子空间展开
6、为傅立叶级数，将势场函数和电子波振幅函数在倒格子空间展开为傅立叶级数，nV (r) V (r R )uk (r Rn ) uk (r)liG rll)eV (r) V (Gllkla(G )eiG ru (r) 求解薛定谔方程，得到共有化运动电子的能量本征值满足的方程：求解薛定谔方程，得到共有化运动电子的能量本征值满足的方程：detl ml ,ml V (Gl Gm ) 02m(k G ) E 2n 1,2,3,En k ,能带结构能带结构每个能带容纳每个能带容纳2N2N个电子个电子En k kk E3 k 允带允带禁带禁带允带允带禁带禁带允带允带n 3n 2E2E k n 110aaa2a3
7、aa 3 2 将势场的平均值将势场的平均值值的偏移值的偏移V0 V作作r为为一级近似，将周期性势场对平均一级近似，将周期性势场对平均0V rV作为微扰处理。作为微扰处理。VVV V (r) 1 V (r)dr0V (r) V (r Rn )R n a n a n an1 12233123(n , n , n 0,1,2,3,)晶格近自由电子模型晶格近自由电子模型认为周期性势场起伏很小，共有化电子运动很接近自由电子认为周期性势场起伏很小，共有化电子运动很接近自由电子。微扰微扰： V rV0内电内电子子能能级级一维一维晶晶体周体周期期性势性势场场共有共有化化电子电子能能级级周期周期性性变化变化势势场场ax一维晶格共有化电子状态零级近似一维晶格共有化电子状态零级近似设一维晶格设一维晶格由由N 个原子组成，基矢个原子组成，基矢为为 ai ，长，长度度 L Na ：离子实离子实aiV x倒格子基矢：倒格子基矢：b 2 iai 2 nxV (x) V0 VnedxLan0Vn 0 V (x)e1Li 2 nxL00微扰：微扰：ai 2n xV xV0 Vnen0势场平均值势场平均值： V 1LV (x)dx V xa一维晶格周期性势场函一维晶格周期性势场函数数 V x V x a 展开为傅立叶级数：展开为傅立叶级数：