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1、金属中的自由电子模型金属中的自由电子模型金属中的自由电子模型金属中的自由电子模型“单电子单电子在在周期势场周期势场”中的运动。中的运动。无限深势阱近似无限深势阱近似-驻波解驻波解金属内部的自由电子不会逸出体外，因此金属内部的电子能量比金属外部的电子能量低，也即金属中的电子处于有限深势阱中。假设金属内的势阱是无限深的方势阱，金属是边长为L的立方体。考虑一维情况：势能：0 r Lr0 或x L金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属中的电子可以看作是被关闭在一个箱体中的自由电子金属内部的自由电子不会逸出体外，晶体外和晶体边界处的电子波函数为0.该方程式的一般解为：因为A不等于0，所以
2、，相应的波函数为式中A为归一化常数。在三维情况下：势阱内，电子能量和波函数应满足的薛定谔方程为：上式用分离变量法求解，令参数k是自由电子波矢的模，kx,ky,kz是波矢的三个分量。代入，分离变量可得：满足三维无限深势阱边界条件可得：式中，A1,A2,A3是归一化常数。电子的波矢分量满足：nx，ny，nz可取任意的正整数。最终结果为：其中A是归一化常数。晶体中自由电子的本征态波函数和能量均有一组量子数来确定。能量的取值可以是分立的，形成能级。当晶体的线度L很大时，能级成为准连续的。周期性边界条件周期性边界条件-行波解行波解晶体内部的周期性势场不能忽略，假想所研究的晶体是许许多多首尾相连的完全相同
3、的晶体中的一个，每块晶体对应出的运动状态相同。只强调晶体的有限性对内部例子运动状态的影响。在周期性边界条件下，不限定波函数在边界上的值，而是要求波函数的性质延续到下一块晶体。上面的方程解为行波解：利用边界条件和波函数，可以得利用边界条件和波函数，可以得 进而得到波矢的取值，即进而得到波矢的取值，即 能量：能量：n n为任意整数。为任意整数。采用周期性边界条件，采用周期性边界条件，金属中单个电子的波函数表示的金属中单个电子的波函数表示的金属中单个电子的波函数表示的金属中单个电子的波函数表示的是行进的平面波是行进的平面波是行进的平面波是行进的平面波，具有确定的动量和速度；具有确定的动量和速度；具有
4、确定的动量和速度；具有确定的动量和速度；平面波状态的平面波状态的平面波状态的平面波状态的波矢由一组量子数确定，其波矢由一组量子数确定，其波矢由一组量子数确定，其波矢由一组量子数确定，其单电子本征能量、动量和相应单电子本征能量、动量和相应单电子本征能量、动量和相应单电子本征能量、动量和相应的速度均取分立值。的速度均取分立值。的速度均取分立值。的速度均取分立值。（1）L作为晶体的长度远大于晶格常数，kx可看作准连续的。（2）能量是波矢的偶函数。E（kx）=E（-kx）（3）kx的取值是等间隔的，量子态在kx轴上均匀分布。半导体中载流子浓度的计算、固体比热容、电导率、磁导率半导体中载流子浓度的计算、
5、固体比热容、电导率、磁导率的计算都要用到能态密度公式。的计算都要用到能态密度公式。按照周期性边界条件的结果来讨论能态密度。晶体长度L远大于其晶格常数a，能级间隔和波矢间隔很小，能量和波矢几乎是准连续的值，波矢的取值为等间隔的，先讨论一维情况先讨论一维情况。密度：L/2能量在E-E+dE范围内的量子态数为：能态密度：单位能量间隔内的量子态数目。三维情况：三维情况：自由电子波函数能量一个点子占有的“体积”密度能量在E-E+dE范围内的量子态数为：N个电子的基态，是从能量最低的个电子的基态，是从能量最低的 k 态开始，由低到高依次填态开始，由低到高依次填充而得到。充而得到。在绝对零度时，在绝对零度时，N 个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理，个电子对允许态的占据遵从泡利不相容原理，即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。即每个允许的态上可以容纳两个自旋方向相反的电子。在在 k k 空间中电子占据区域最后形成一个球，空间中电子占据区域最后形成一个球，称为称为费米球。费费米球。费米球的半径米球的半径称为称为费米波矢，费米波矢，用来用来 kF 表示。表示。k k空间从原点到半径为空间从原点到半径为k kF F的球面之间的量子态数正好等于电子数的球面之间的量子态数正好等于电子数目，则此球称为费米球。目，则此球称为费米球。费米球体积量子态数费米球半径费米球表面处的能量称为费米能量