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1、实变函数论考试试题及答案实变函数论考试试题及答案证明题 :60 分1、证明1lim=nmnnm nAA。证明: 设limnnxA, 则 N , 使一切 nN ,nxA, 所以1nmmAx1nnmmA, 则可知nnAlim1nnmmA。设1nnmmAx, 则有n, 使nmmAx, 所以nnAxlim。 因此,nnAlim=1nnmmA。2、若nRE, 对0, 存在开集 G , 使得GE且满足*()mGE, 证明 E 就是可测集。证明: 对任何正整数n, 由条件存在开集EGn, 使得1*mGEn。令1nnGG, 则G 就是可测集 , 又因1*nmGEmGEn, 对一切正整数n成立, 因而)(EGm
2、=0,即EGM就是一零测度集 , 故可测。由)(EGGE知 E 可测。证毕。3、 设在 E上( )( )nfxf x, 且1( )( )nnfxfx几乎处处成立 ,3 ,2, 1n, 则有( )nfxa、e、收敛于)(xf。证明 因为( )( )nfxf x, 则存在innff, 使( )infx在 E 上 a、 e、 收敛到( )fx。设0E就是( )infx不收敛到( )f x的点集。1nnnEE ff, 则00,0nmEmE。 因此00()0nnnnmEmE。在1nnEE上,( )infx收敛到( )f x, 且( )nfx就是单调的。因此( )nfx收敛到( )f x(单调序列的子列收
3、敛 , 则序列本身收敛到同一极限) 。即除去一个零集1nnE外,( )nfx收敛于( )f x, 就就是( )nfx a 、e、 收敛到( )f x。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 实变函数论考试试题及答案4、设1RE,xf就是 E 上.ea有限的可测函数。证明存在定义于1R 上的一列连续函数)(xgn, 使得)()(limxfxgnn.ea于E。证明: 因为)(xf在 E 上可测 , 由鲁津定理 , 对任何正整数n, 存在 E的
4、可测子集nE , 使得1nm EEn, 同时存在定义在1R上的连续函数)(xgn, 使得当nEx时有)(xgn=)(xf。 所以对任意的0, 成立nnEEgfE, 由此可得1nnmEfgm EEn。因此0limnngfmE, 即)()(xfxgn, 由黎斯定理存在xgn的子列xgkn, 使得)()(limxfxgknk a 、e 于 E 、证毕5、设,mEnf为 a、e 有限可测函数列 , 证明: ( )lim01( )nEnnfxdxfx的充要条件就是( )0nfx。证明: 若)(xfn0, 由于1nnnfEEff, 则01nnff。又( )011( )nnfxfx,3,2, 1n,mE,
5、常函数 1 在E上可积分 , 由勒贝格控制收敛定理得00)(1)(limEEnnndxdxxfxf。反之, 若0)(1)(dxxfxfEnn(n), 而且0)(1)(xfxfnn, 对0, 令nneEf, 由于函数xxy1, 当1x时就是严格增加函数 , 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 实变函数论考试试题及答案因此0)(1)()(1)(1dxxfxfdxxfxfmeEnnennnn。所以0limnnfE, 即0(x)nf6、设 m
6、E,a 、e、有限的可测函数列( )nfx与( )ngx,3,2, 1n, 分别依测度收敛于)(xf与)(xg, 证明( )( )( )( )nnfxgxf xg x。证明: 因为nnnnfxgxfxg xfxfxgxg x于就是0,成立| ()() |22nnnnEfgfgEffEgg, 所以| ()()|22nnnnmEfgfgmEffmE gglim| ()()|lim|lim|022nnnnnnnmEfgfgmEffmEgg即nngfgf填空题 :10 分2、设222,1Ex yxy。求2E在2R 内的2E,02E,2E 。解:222,1Ex yxy, 222,1Ex yxy, 222
7、,1Ex yxy。计算题 :30 分4、试构造一个闭的疏朗的集合0,1E,12mE。解: 在0,1中去掉一个长度为16的开区间57(,)12 12, 接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163的两个开区间 , 以此类推 , 一般进行到第n次时 , 一共去掉12n个各自长度为11163n的开区间 , 剩下的n2 个闭区间 , 如此重复精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 实变函数论考试试题及答案下去, 这样就可以得到一个闭的疏朗集
8、, 去掉的部分的测度为11112121663632nn。所以最后所得集合的测度为11122mE,即12mE。8、试求21211()(1)nnxRdxx。解令22( ), 1,1(1)nnxfxxx, 则( )nfx为非负连续函数 , 从而非负可积。根据 L 积分逐项积分定理 , 于就是 , 221221 1,11122 1,11 1,1( )( )(1)(1)( )(1)( )12nnnnnnxxRdxLdxxxxLdxxLdx。10、试从, 10,11132xxxxx求证111ln 21234。证明: 在0,1x时,10,1,2,3,nnxxn, 由 L 逐项积分定理 , 2212210,1
9、0,1001221000( )( )( )1121221111234nnnnnnnnnnLxxdxLxxdxRxxdxnn另一方面精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 实变函数论考试试题及答案10,1011( )()211LdxRdxlnxx因此可得 : 111ln 21234精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -