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1、实变函数期中考试试题预测一、填空题1 点集E的外测度定义为Em . 2若B1R，则B的基数为 . 3若AN，则称A为 . 4n维欧几里得空间nR的基数为5设BA,是两个非空点集，BA,的距离定义为),(BAd6点集E的外测度定义为Em7如果则称E是自密集，如果则称E是开集，如果EE则称E是，EEE称为E的 . 8设集合G可表示为一列开集iG之交集：1iiGG，则G称为 . 若集合F可表示为一列闭集iF之并集：1iiFF，则F称为 . 9若B1R,则 B 的基数为10若AN,则A为11点集 E 的聚点全体所成之集称为_ 12 点集E 的外测度Em*= 2. 下列集合的基数为C（连续基数）的是_
2、13、()()ssC AC BAAB_ 14、设E是0,1上有理点全体，则E=_,oE=_,E=_. 15、 设E是nR中点集， 如果对任一点集T都有 _，则称E是L可测的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页16、设11,2,1,2,nAnnn，则nnAlim_。17、设P为 Cantor 集，则P，mP_，oP=_ 。18、设iS是一列可测集，则11_iiiimSmS19、设集合NM，则()MMN_ 20、设P为 Cantor 集，则P，mP_，oP=_ 。21 设E是nR中点集，如果对任一点集T都有 _ ，则称E是
3、L可测的22.设,2,1), 0(),1, 0(212mmAmAmm则nnAlim_ _. 23. 欲使 自然数全体 正奇数全体 ，只须令映照)(n_，这里n为自然数。24. 设nRE，则E是紧集_ _. 25.设Q是有理数集 ,QE1 ,0，则E_，0E_ _，E_26. 根据开集构造定理可知：1R上任一非空开集可以唯一地表示成_。27.设P为Cantor集，则P_，0P_，mP_ _. 28.设nRE,L外测度定义为_29. 设nRE可测，则存在一个G型集EG，使得 _ 30.1nfEn_，11nnafE_. 31若AN，则称A为 . 32若B1R，则B的基数为 . 33点集E的极限点的全
4、体所成之集称为 . 34点集E的外测度定义为Em . 二、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页1下列集合基数为C(连续基数 )的是A.有理数集Q B.正整数集NC.区间 0,1 D.有理系数多项式全体2 下列命题或表达式正确的是A. bbB. 22C.对于任意集合A,B,有BA或ABD. 3 下列命题不正确的是A.若点集 B 是无界集 ,则Bm*B. 若点集 E 是有界集 ,则Em*C.开集 ,闭集都是可测集D. 康托集 P 的测度为零5下列命题不正确的是A.外测度为零的集是可测集B. F型集，G型集都是可测集C
5、. Borel集都是可测集D. 可测集都是Borel 集6下列命题不正确的是A若点集A是无界集，则Am*B若点集E是有界集，则Em*C可数点集的外测度为零D康托集P的测度为零7下列命题不正确的是A开集、闭集都是可测集B可测集都是Borel 集C外测度为零的集是可测集DF型集，G型集都是可测集8下列集合基数为a（可数集）的是A康托集PB)1 ,0(C设innxxxxxARA|),(,21是整数，,2,1niD区间) 1 ,0(中的无理数全体E.有理数集F.正整数集G. 有理系数多项式全体9下列集合的基数为a(可数基数 )的是 _ A.区间（ 0，1）B. 实数集1R精选学习资料 - - - -
6、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页C. 2R中坐标为整数的点全体D. 正整数N的所有子集构成的集合10下列命题不正确的是_ A. 开集、闭集都是可测集B. F型集，G型集都是可测集C. 可测集都是 Borel 集D. 外测度为零的集是可测集11下列命题或表达式正确的是A. aaB. 2 2C. D 对于任意集合A,B,有BA或AB. 12.下列各式正确的是（）（A）1limnknnknAA; （B）1limnknknnAA; （C）1limnknnknAA; （D）1limnknknnAA; 13、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的
7、是（）（ A）Pc (B) 0mP(C) PP(D) PP14、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测15设,M N是两集合，则()MMN=（）(A) M(B) N(C) MN(D) 16. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点(B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点(C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点(D) 内点必是聚点17. 下列断言 ( )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是
8、闭集；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；18. 下列断言中 ( )是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；19、设1,2( 1) ,1,2,nnAnn，则（）(A) lim0,1nnA（B）nnAlim(0, 1(C) lim(0, 3nnA（D）lim(0, 3)nnA20、设E是0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（）（ A）0,1E(B) oE(C) E=0，1 (D)
9、1mE21、下列说法不正确的是（）(A) 若BA，则BmAm*（B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C) 可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测22、设nE是一列可测集，nEEE21，且1mE，则有（）（A）nnnnmEEmlim1(B) nnnnmEEmlim1（C）nnnnmEEmlim1;（D）以上都不对、23设 P 为 Cantor 集，则（ A）P0(B) 1mP(C) PP(D) PP24. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点(B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点(C) 存在E中点
10、列nP，使0nPP，则0P是E的聚点(D) 内点必是聚点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页25.设)(xf在E上L可积 ,则下面不成立的是( ) (A)(xf在E上可测(B)(xf在E上 a.e. 有限(C)(xf在E上有界(D)(xf在E上L可积26. 设nE是一列可测集，12nEEE，则有（）。（A）1limnnnnmEmE(B) 1limnnnnmEmE（C）1limnnnnmEmE;（D）以上都不对三、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“”或“”）1.设2,nE =则集合12(,) |,1,2,niiEx
11、xxxEi=?LLL是可数集合 . 2.Cantor 集是0,1中稠密的完备集合. 3.设E是可测集，若对任何有理数, r|( )xEfxr?可测，则f在E上可测 . 4.若pqE+?是可测集，则对任何,pxxE? ?是q?上的可测集合. 四、下列命题是否成立?若成立 ,则证明之 ;若不成立 ,则举反例说明 . 1若)(BA)(AB，则一定有AB吗？为什么？2无穷多个闭集的并集一定是闭集吗？为什么？3若0Am，那么对任意的点集B一定有BmBAm)(吗？为什么？4若0mE，则一定有0Em吗？为什么？5若A是无界集，则一定有0Am吗？为什么？6无穷多个开集的交集一定是开集吗？为什么？7、若0mE，
12、则E一定是可数集. 8、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间1 1对应的映射。9、可数个零测度集之和集仍为零测度集。10.设0,GE开集使*()mGE，则 E 是可测集。11、任意多个开集之交集仍为开集。12、若0mE，则E一定是可数集 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页13.设( )fx是),(上的实值连续函数，则对任意常数c，)(|cxfxE是一开集 . 五、证明题一、 （15 分）设nRBA,，A是可测集，且Bm，证明)()(BAmBmAmBAm二、证明康托集P的测度为零 . 三、设RE，证
13、明E为可测集的充要条件是：对任意的0，存在开集G与闭集F，满足GEF，且)(FGm四、证明：1R中的可数点集的外测度为零。五、设22222)(),(yxyxyxf定义在)1 ,0()1 ,0(E上，证明),(yxf在 E 上不可积。（总分 10 分）六、证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c. 七、 （6 分）试证(0,1) 0,1八、 Bernstein 关于两集合对等的定理. 九、1中开集的构造定理. 十、证明：nR中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。十一、设nSSS,21是qR中一些互不相交的可测集，而),2,1(niSEii，应用卡氏定义证明: niiniiEmEm11*)(*. 十二、设nRBA,，A是可测集，且Bm，证明)()(BAmBmAmBAm六、解答下列问题： （每小题10 分，共 40 分）1若)(BA)(AB，则一定有AB吗？为什么？2无穷多个闭集的并集一定是闭集吗？为什么？3若0Am，那么对任意的点集B一定有BmBAm)(吗？为什么？4若0mE，则一定有0Em吗？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页