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1、名师整理精华学问点第一章随机大事和概率1、概念网络图第一节基本概念古典概型几何概型加法BC基本领件减法BC随机试验 E样本空间P A五大公式 条件概率 B / C和乘法公式 BC随机大事 A全概公式贝叶斯公式独立性 贝努利 概型2、重要公式和结论（ 1 ）排列nm.Pm mn) .从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；组合公式nm.Cmn. mn) .从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；（ 2 ）加法和 乘 法 原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试 验 和 随机大事加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n
2、种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： mn某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可由n种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个） 次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；（ 5 ）基本领件、样本空 间 和 大事在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组
3、中的一个大事；任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示；基本领件的全体,称为试验的样本空间,用表示；一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母A,B,C,表示大事,它们是的子集；为必定大事,. 为不行能大事；不行能大事（ .）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理, 必定大事（ ）的概率为 1,而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；关系：假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分, （ A发生必有大事 B 发生）：AB假如同时有 AB , BA ,就称大事 A 与大事 B等价,或称 A 等于 B：（ 6 ）
4、大事的 关 系 与运算A=B；A、B中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B；属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A 与 B的差,记为 A-B,也可表示为 A-AB或者 AB ,它表示 A 发生而 B不发生的大事；A、B同时发生： AB,或者 AB；AB=.,就表示 A与 B 不行能同时发生, 称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事,或称 A 的对立大事,记为A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A B C=A B C安排率： AB C=A C B C A B C=AC BCAiAi德摩根
5、率：i 1i 1ABAB , ABAB（ 7 ）概率的 公 理 化定义设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数PA ,如满意以下三个条件：1 0 PA 1,2 P =13 对于两两互不相容的大事A1 , A2 ,有PAiP Aii 1i 1常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；12P1 ,21 Pn,12Pn ；n（ 8 ）古典设任一大事 A ,它是由,组成的,就有概型PA = 1 212m m= P1 P2 Pm mA所包含的基本领件数n基本领件总数（ 9 ）几何如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同时样本空概型间中的每一个基本领件可以
6、使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概型；对任一大事A,P AL A；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）；L（ 10）加法公式（ 11）减法公式PA+B=PA+PB-PAB当 PAB 0 时, PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB当 BA时, PA-B=PA-PB当 A= 时, P B =1- PB定义 设 A、B 是两个大事,且 PA0 ,就称P ABP A为大事 A 发生条件下,事（ 12）条件概率件 B 发生的条件概率,记为P B / AP AB ；P A条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A乘法公式：P A
7、BP A PB / A（ 13）乘法更一般地,对大事A1, A2, An,如 PA1A2An-1 0 ,就有公式P A1 A2 An1 ；AnP A1P A2 |A1 P A3 |A1 A2 P An |A1A2 两个大事的独立性设大事 A 、B 满意P ABP AP B ,就称大事 A 、B 是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且P A0 ,就有P B | AP ABP AP AP B P AP B（ 14）独立性如大事 A 、 B 相互独立,就可得到A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都相互独立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的
8、独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件, PAB=PAPB ； PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；设大事B1, B2, Bn 满意（ 15）全概公式1 B1, B 2,nA, Bn 两两互不相容,BiPBi 0i1,2, n ,2i 1,就有P AP B1 P A | B1P B 2 P A | B2PBn P A |Bn ；（ 16）贝叶设大事B1 , B 2 ,Bn 及 A 满意斯公式1 B1 ,B2 ,Bn 两两互不相容,P Bi 0, i1, 2, n ,nABi2i 1, 就P A
9、0 ,P Bi/ APBi P A/ Bi nP B j P A/ Bj , i=1 , 2, n；j 1此公式即为贝叶斯公式；P Bi ,（ i1 ,2 , n ）,通常叫先验概率；PBi /A ,（ i1 , 2 ,（ 17）伯努利概型n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断；我们作了 n 次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验；用 p 表示每次
10、试验 A 发生的概率,就 A 发生的概率为 1pq ,用Pn k 表示 n重伯努利试验中A 显现k 0kn 次的概率,Pn kkCn pk q n kk,0,1,2, n ；其次章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图基本领件随机大事 AP A随机变量 X aXbF bF a01分布分布函数：F xP Xx八大分布离散型二项分布 泊松分布 超几何分布几何分布函数分布连续型匀称分布指数分布正态分布2、重要公式和结论（ 1）离散型 随 机 变量 的 分 布律设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk 的概率为PX=xk =p k, k=1,2, ,就
11、称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：X| x1, x2, xk,P Xxk p1, p 2, pk,；明显分布律应满意以下条件：（ 1） pk0 , k1,2,pk1, （ 2） k 1；（ 2）连续型 随 机 变设 F x 是随机变量 X 的分布函数, 如存在非负函数xf x ,对任意实数 x,有量 的 分 布密度F xf xdx,就称 X 为连续型随机变量；f率密度；密度函数具有下面4 个性质：x 称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概1f x0 ；2（ 3）离散P XxPxXxdxf xdxf x dx1；与 连 续 型随 机 变 量的关系积分元f
12、 xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与散型随机变量理论中所起的作用相类似；P Xxkpk 在离（ 4）分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数函数F xP Xx称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数；PaXbF bF a可以得到X 落入区间a, b 的概率；分布函数 F x 表示随机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：10F x1,x；2F x 是单调不减的函数,即x1x2 时,有F x1F x2 ；3F limxF x0 ,F limxF x1；4F x0F x ,即F x 是右连续的；5P XxF xF x0 ；对于离散型随机变量,F xpk ；x
13、kx x对于连续型随机变量,F xf x dx ；（ 5）八大分布0-1 分布PX=1=p, PX=0=q二项分布在 n 重贝努里试验中,设大事A 发生的概率为 p ；大事 A 发生kknk的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取值为0,1,2,n ；P XkPn kCn p q,其中q1p,0p1,k0,1,2, n ,就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ； 记 为X Bn, p ；当 n1时,P Xkpk q1k , k0.1 ,这就是（ 0-1 ）分布,所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例；泊松分布设随机变量 X 的分布律为kP Xk e,
14、0 , kk.0,1,2,就称随机变量 X 听从参数为的泊松分布,记为者 P ；X 或泊松分布为二项分布的极限分布（np=, n）；超几何分布P Xkkn kCCkMN M ,0,1,2,lClNnmin M , n随机变量 X 听从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为Hn,N,M ；几何分布P Xkqk1 p, k1,2,3,其中 p0, q=1-p ；随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布,记为Gp ；匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ,b 内, 其密度函数f x 在a ,b上为常数1ba,即f x1ba 0,a x b其他,就称随机变量X 在a , b 上听从匀称分布,记为XU
15、a , b ；分布函数为0,x bxb；当 a x 1x2 b 时, X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为P x1Xx2 x2bx1a；指数分布ex ,x0,f x0,x0 ,其中0 ,就称随机变量 X 听从参数为的指数分布；X 的分布函数为1ex ,x0F x,0,x0 ；记住积分公式：xn e x dxn.0正态分布设随机变量 X 的密度函数为f x x1e2222,x,其中、0 为常数,就称随机变量 X 听从参数为、的正态分布或高斯（ Gauss）分布,记为f x 具有如下性质：X N,2 ；1f x 的图形是关于 x对称的；2 当 x时, f 21为最大值；2如 X N, ,就
16、tX2的分布函数为F x1x e2 2dt2；参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布,记为X N 0,1 ,其密x度2函数记为 x1e 22,x,分布函数为1x t 2 xe 2 dt ；2 x 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用；1-x 1- x 且 0 ；X2假如 X N,2 ,就 N 0,1 ；（ 6）分位P x1Xx2x1x2 ；数下分位表： 上分位表：P XP X ； ；（ 7）函数分布离散型已知 X 的分布列为XP Xxix1,p1,x2,p2 ,xn,pn ,Yg X 的分布列（ yig xi 互不相等）如下：YPYyi gx1,p1,g x2,p 2,g xn ,
17、pn ,连续型如有某些g xi 相等,就应将对应的pi 相加作为g xi 的概率；先利用 X 的概率密度 f Xx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ；第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图常见二维分布匀称分布正态分布离散型分布律联合分布连续型分布密度 X ,Y 边缘分布条件分布独立性ZXY函数分布Zmax, min X 1 , X 2 ,X n 三大统计分布2分布t分布F分布2、重要公式和结论（ 1 ）联合分布离散型假如二维随机向量（X, Y）的全部可能取值为至多可列个有序对（ x,y ）,就称为离散型随机量；设=（ X, Y
18、）的全部可能取值为xi , y j i , j1,2, ,且大事 = xi , y j 的概率为 pij, , 称PX , Y xi , y j piji, j1,2,为=（ X, Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）ijpij1.连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y , 如 果 存 在 非 负 函 数f x,yx,y ,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D=
19、X,Y|axb,cyx1 时,有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2y 1 时,有 Fx,y 2 Fx,y 1;（ 3） F（ x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即F x, yF x0, y, F x, yF x, y0;（ 4） F ,F , yF x,0, F ,1.（ 5）对于 x1x2,y1y2,F x2,y2 F x2,y1F x1, y2 F x1,y1 0 .（ 4 ）离散型 与 连 续P Xx, YyPxXxdx, yYydy f x, y dxdy型的关系（ 5 ）边缘离散型X 的边缘分布为分布PiP Xxi pij i , j1,2, ；jY 的边缘分布为P
20、 jPYy j pijii, j1,2, ；连续型X 的边缘分布密度为f X xf x, y dy；Y 的边缘分布密度为f Y yf x, y dx.（ 6 ）条件分布离散型在已知 X=xi 的条件下, Y 取值的条件分布为pijPYy j | Xxi ；pi在已知 Y=yj 的条件下, X 取值的条件分布为pijP Xxi |Yy j ,p j连续型在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为f x | yf x, y；fY y在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为f y | xf x, yf X x（ 7 ）独立一般型FX,Y=F XxF Yy性离散型pijpi p j有零不
21、独立连续型fx,y=fXxfYy直接判定,充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分21x12 x21 y2 y2布f x, y2 011212 12 1e21 22,随机变量的函数如 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立, h,g为连续函数,就：h（ X1, X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn）相互独立；特例：如 X与 Y 独立,就： h（X）和 g（Y）独立；例如：如 X与 Y 独立,就： 3X+1 和 5Y-2 独立；（ 8 ）二维匀称分布设随机向量（ X, Y）的分布密度函数为1SD x, yDf x, y0,其他其中 SD 为区域 D的面积,就称（ X,Y
22、）听从 D 上的匀称分布,记为（ X,Y） U（ D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y1D1O1x图 3.1y1D2O2x1图 3.2y dD 3cOabx图 3.3（ 9 ）二维正态分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为122x1f x, y2112 x1 y1 22 y212 222e,121其中1 ,布,2 ,10,20, |1是 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分记为（ X, Y） N（12,21,22,.由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即 XN（ 1 ,但是如 X N（ Z=X+Y21,Y N2 ,22.1 ,1 ,
23、 Y N222,2 ,X , Y 未必是二维正态分布；（ 10）函数分布依据定义运算： FZ zP ZzP XYz对于连续型, f Zz f x, zxdx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2121,22）；n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；C2ii,C2i2i如iX 1, X 2x,FiZ=max,minX 1,X 2, X n X n x相互 独 立 x ,就, 其 分 布 函 数 分 别 为Fx1x2FxnZ=max,minX12,X , X 的分布n函数为：Fmax xFmin xFx x1Fx xFx2nx11Fx x11Fx x21Fx xn2分布设 n 个随机
24、变量 X 1, X 2 ,布,可以证明它们的平方和, X n 相互独立,且听从标准正态分nWX2ii 1的分布密度为1f un2 2n2nu 21eu2u0,0,我们称随机变量 W听从自由度为其中nu0.n的2分布,记为 W2 n ,20n1x 2e x dx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设2Yin ,i就kZY 2i n1n2n .kt 分布i 1设 X, Y 是两个相互独立的随机变量,且X N0,1,Y 2 n,可以证明函数TXY / n的概率密度为n1f t 21nn2t 2nn 12t.我们称随机变量 T 听从自由度为n 的
25、 t 分布,记为 T tn；t1ntnF 分布设 X 2 n, Y 2 n ,且 X 与 Y 独 立,可 以证明12FX / n1的概率密度函数为Y / n2f yn1n22n1n222n1n1n121y 21n2n1 n2 2n1 y, y0n20, y0我们称随机变量 F 听从第一个自由度为n1,其次个自由度为n2的 F 分布,记为 Ffn 1, n 2.F1 n1, n2 1F n2 , n1第四章随机变量的数字特点第一节基本概念1、概念网络图一维随机变量二维随机变量期望方差矩切比雪夫不等式期望方差 协方差相关系数协方差矩阵2、重要公式和结论（ 1）离散型连续型一维期望随机期望就是平均值
26、变的字量数特征设 X 是离散型随机变量, 其分布设 X 是连续型随机变量, 其概率密律 为 PXxk pk ,度为 fx,k=1,2, ,n ,nE X xf xdxE X xk pkk 1（要求肯定收敛）（要求肯定收敛）函数的期望Y=gXnY=gXEY g xk pkk 1EYg x f xdx方差DX=EX-EX2,标准差D X xkkE X 2 pD X xE X 2f xdxk X D X ,k矩对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk, 即对于正整数 k,称随机变量 X 的k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk, 即k
27、x p,ii =EXk =k ik =EX =xk f x dx,k=1,2,.对于正整数 k,称随机变量X与 E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩,记为k ,k=1,2, .对于正整数 k,称随机变量 X 与E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩,记为 k ,即即kE XE X kkEX.E X k.=xE X k p= x,E X kf xdx,iiik=1,2, .2k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望 E（ X） =,方差 D（ X）= ,就对于任意正数 ,有以下切比雪夫不等式2P X2切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情
28、形下,对概率（ 2） 期 望（ 1） EC=C（ 2） ECX=CEXP X的一种估量,它在理论上有重要意义；的 性n质（ 3） EX+Y=EX+EY , Ei 1Ci X i nCi E X i i 1（ 4） EXY=EX EY,充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；（ 3）（ 1）DC=0； EC=C2方 差（ 2）DaX=a DX ； EaX=aEX2的 性（ 3）DaX+b= aDX ； EaX+b=aEX+b22质（ 4）DX=EX -E X（ 5）DXY=DX+DY ,充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；DX Y=DX+DY 2E
29、X-EXY-EY,无条件成立；而 EX+Y=EX+EY ,无条件成立；（ 4）期望方差常 见0-1 分布分 布二项分布的 期泊松分布望 和B1, ppBn, pnp1p1p 2pnMnM1MNnNNNN1abba221211Pp 1pnp1p方差几何分布G p超几何分布匀称分布H n, M , N U a,b2指数分布 e正态分布 N,2 22 分布n2nt 分布0（ 5）期望nnn2n2二 维E X 随 机xi pii 1nE X xf X xdx变 量EY的 数y j p jj 1EYyfY ydy字 特函数的期望征方差EG X ,Y G xi , y j pijijEG X ,Y G x
30、, y f x, ydxdyD X xiiE X 2 pi2D X xE X 2 f xdxXDY x jjEY p jDY yEY 2 f ydyY协方差对于随机变量 X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩,记为XY 或cov X , Y ,即XY11E XE X YEY .与记号XY 相对应, X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y）也可分别记为XX与 YY ；相关系数对于随机变量 X 与 Y,假如 D（ X） 0, DY0,就称XYDX DY为 X 与 Y 的相关系数,记作XY （有时可简记为）；| 1,当|=1 时,称 X 与 Y 完全相关： PXaYb