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1、 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、概念网络图 贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BCCBCBCBAPAE 2、重要公式和结论（1）排列组合公式)!(!nmmPnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种 方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能
2、完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组
3、中的部 分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A
4、而不属于B的部分所构成的 事件，称为A 与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA（7）概率的公理化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个
5、实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件 1A，2A，有 11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典概型 1 n21,，2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有)()()(21mA)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(LALAP。其中 L 为几何度量
6、（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）P(A-B)=P(A)-P(AB)减法公式 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更
7、一般地，对事件 A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(B
8、C)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1 nBBB,21两 两 互 不 相 容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，则 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，
9、n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,
10、1,0。第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念 1、概念网络图)()()()(aFbFAPbXaAX随机事件随机变量基本事件)()(xXPxF分布函数：函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布10 2、重要公式和结论（1）离 散型 随机 变量 的分 布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，
11、,2,1k，（2）11kkp。（2）连 续型 随机 变量 的分 布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。（3）离 散与 连续 型随 机变 量的 关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分 布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF 称为随机变量 X
12、的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八 大0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 分布 二 项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的
13、概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其 中nkppq,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊 松分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超 几何 分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量 X 服从参数为
14、 n,N,M的 超 几 何 分 布，记 为H(n,N,M)。几 何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均 匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP1221)(。0，xb。axb 指 数分布 其中0，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 记住积分公式：
15、!0ndxexxn)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。正 态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt222)(21)(。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用
16、。(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。1221)(xxxXxP。（6）分 位数 下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。（7）函 数分布 离 散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY 的分布列（)(iixgy 互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连 续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的 分 布 函 数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章 二维随机变量及其
17、分布 第一节 基本概念 1、概念网络图 分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布FtXXXZYXZYXn221),min(max,),(2、重要公式和结论 （1）联 合分布 离 散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值 为),2,1,)(,(jiyxji，且 事 件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来
18、表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp 连 续型 对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴 的 矩 形 区 域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),
19、(FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.（4）离 散型 与连 续型 的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，（5）边 缘分布 离 散型 X 的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y 的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连 续型 X 的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY（6）条 件分布 离 散型 在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分
20、布为,)|(jijjippyYxXP 连 续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（7）独 立性 一 般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离 散型 jiijppp 有零不独立 连 续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 二 维正 态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf 0 随 机变 量的 函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g 为连续函数，则：h（X
21、1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1和 5Y-2 独立。（8）二 维均 匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y D2 1 （9）二 维正 态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(
22、212yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为).,(),(2221,21NYX 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即).(),(22,2211NYNX 但是若)(),(22,2211NYNX，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数 分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222 Z=max,min(X1,X2
23、,Xn)若nXXX21,相互独立，其分布函数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx 2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布，记为 W)(2n，其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
24、2分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ t分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf ).(t 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt F分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为n2的 F 分布，
25、记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征 第一节 基本概念 1、概念网络图 切比雪夫不等式矩方差期望一维随机变量 协方差矩阵相关系数协方差方差期望二维随机变量 2、重要公式和结论（1）离散型 连续型 一 维随 机变 量的 数字 特征 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量，其分 布 律 为P(kxX)pk，k=1,2,n，nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续机变量，其密度为 f(xdxxxfXE)()(（要求绝敛）函数的期望 Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxfxgYE)()()(方差 D(X)=E
26、X-E(X)2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(XExXD)()(矩 对于正整数k，称随机变量X 的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=iikipx,k=1,2,.对于正整数k，称随机变量X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2,.对于正k，称随机变的 k 次幂的期望为 X 的原点矩，记为即 k=E(Xk)=x k=1,2,对于正k，称随机变与 E（X）差次幂的数望为 X 的 k心矩，记为即.)(kkXEXE=()(fXExkk=1,2,.切比雪夫不等
27、式 设随机变量 X 具有数学期（X）=，方差 D（X）=对于任意正数，有下列切夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有意义。（2）期 望的 性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X 和 Y 独 充要条件：X 和 Y关。（3）方 差的 性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+（4）D(
28、X)=E(X2)-E2(X)（5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和立；充要条件：X 和相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常 见分 布的 期望 和方差 期望 方差 0-1 分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 1NNNMNnM均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2
29、 （5）二 维随 机变 量的 数字 特征 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(XExXD)()(YEyYD)()(协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它二阶混合中心矩11为 X 与 Y方差或相关矩，记为covXY或即).()(11YEYXEXEXY 与记号XY相对应，X 与 Y 的D（X）与 D（Y）也可分别记与YY。相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如（X）0,D(Y)0，则
30、称)()(YDXDXY 为X与Y的相关系数，记作时可简记为）。|1，当|=1 时，称Y 完全相关：1)(baYXP 完全相关时负相关，当时正相关，当(10(1aa而当0时，称 X 与 Y 不相以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如)(lkYXE存在，则称之为 X 与k+l阶混合原点矩，记为kl阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu （6）协 方差 的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)c
31、ov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独 立和 不相关（i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则0XY；反真。（ii）若（X，Y）N（,222121），则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X不相关。第五章 大数定律和中心极限定理 第一节 基本概念 1、概念网络图 辛钦大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律大数定律 棣莫弗拉普拉斯定理列维林德伯格定理中心极限定理 二项定理 泊松定理 2、重要公式和结论（1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X
32、1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一 常 数 C 所 界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为.11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1limpnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设 X1，X2，Xn，是相
33、互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有.11lim1niinXnP （2）中心 极 限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数 n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数 x,有 xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22 （3
34、）二项定理 若当),(,不变时knpNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 数理统计的基本概念 第一节 基本概念 1、概念网络图 正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念 2、重要公式和结论（1）数 理统 计的 基本 概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体 总体中
35、的每一个单元称为样品（或个体）。样本 我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示 n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样 本函 数和 统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 （nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。常 见统 计量 及其 性质
36、 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本 k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本 k 阶中心矩 nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正 态总 体下 的四 大分布 正 态分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudef t分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnsxtde
37、f 其中t(n-1)表示自由度为n-1的 t 分布。分布2 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为 n-1的2分布。F分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121nnFSSFdef 其中,)(11211211niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。（3）正 态总 体下 分布 的性质 X与
38、2S独立。例 61：从正态总体)6,4.3(2N中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n至少应取多大？第七章 参数估计 第一节 基本概念 1、概念网络图 区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体 2、重要公式和结论 （1）点 估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF它 的 k 阶 原 点 矩),2,1)(mkXEvkk中也包含了未知参数m,21，即),(21mkkvv。又设nxxx,21为总体X的n个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 n
39、ikixn11).,2,1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的 m 个方程中，解出的 m个未知参数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)(g为)(g的矩估计。极大似然估计 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122nimimxfL 为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X 为离型随
40、机变量时，设其分布律为),;(21mxpxXP，则称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处 取 到 最 大 值，则 称m,21分别为m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)(g为)(g的极大似然估计。（2）估 计量 的评 选标准 无偏性 设),(21nxxx为未知参数的估计量。若 E（）=，则称 为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性 设),(2111nxxx和),(2122nxxx是未知
41、参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的 无 偏 估 计，且),(0)(nD则为的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区 间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,21为的置信区间，1为该区间
42、的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间,21。和方差的区间估计 已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间 nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(/ntnSxt (ii)查表找分位数 .1/nSxP（iii）导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii）查表找分位数 .
43、1)1(2221SnP （iii）导出的置信区间 SnSn121,1 第二节 重点考核点 矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计 第八章 假设检验 第一节 基本概念 1、概念网络图 单正态总体的假设检验两类错误基本步骤基本思想假设检验的基本概念 2、重要公式和结论 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相
44、对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件RK，其概率就是检验水平，通常我们取=0.05，有时也取 0.01 或0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下：(i)提出零假设H0；(ii)选择统计量K；(iii)对于检验水平查表找分位数；(iv)由样本值nxxx,21计算统计量之值K；将与K进 行 比 较，作 出 判 断：当)(|KK或时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第 一 类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记
45、为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真=；此处的恰好为检验水平。第 二 类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H1为真=。两 类 错误 的 关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把取得很小，如0.01，甚至 0.001。反之，则应把取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2 00:H nxU/00 N（0，1）21|uu 00:H 1uu 00:H 1uu 未知2 00:H nSxT/0)1(nt)1(|21ntt 00:H)1(1ntt 00:H)1(1ntt 未知2 220:H 202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(21nw 2020:H)1(2nw 2 重点考核点 单正态总体均值和方差的假设检验