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1、精品名师归纳总结第一章随机大事和概率第一节基本概念1、概念网络图古典概型几何概型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本领件加法 BC减法 BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机试验 E样本空间 随机大事 AP A五大公式条件概率B / C和乘法公式 BC全概公式 贝叶斯公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结独立性贝努利 概型2、重要公式和结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）排列nm.Pm mn.从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组合公式nm.Cmn. mn.从 m个
2、人中挑出 n 个人进行组合的可能数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）加法和 乘 法 原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试 验 和 随机大事加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： mn某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可由n种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个） 次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的
3、可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机大事。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5 ）基本领件、样本空 间 和 大事在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事。任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的。这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示。基本领件的全体,称为试验的样本空间,用表示。一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示大事,它们是的子集。为必定大事,. 为不行能
4、大事。不行能大事（ .）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事。同理, 必定大事（）的概率为1,而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事。关系：假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分, （ A发生必有大事 B 发生）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB假如同时有 AB , BA ,就称大事 A 与大事 B等价,或称 A 等于 B：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6 ）大事的 关 系 与运算A=B。A、B中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B。属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A 与 B的差,记为 A-B,也可表示为 A-AB或者
5、 AB ,它表示 A 发生而 B不发生的大事。A、B同时发生： AB,或者 AB。AB=.,就表示 A与 B 不行能同时发生, 称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。-A 称为大事 A 的逆大事,或称 A 的对立大事,记为A 。它表示 A 不发生的大事。互斥未必对立。运算：结合率： ABC=ABC A B C=A B C安排率： AB C=A C B C A B C=AC BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AiAi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结德摩根率：i 1i 1ABAB , ABAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
6、结（ 7 ）概率的 公 理 化定义设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数PA ,如满意以下三个条件：1 0 PA 1,2 P =13 对于两两互不相容的大事A1 , A2 ,有PAiP Ai可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1i 1常称为可列（完全）可加性。就称 PA 为大事 A 的概率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12P1 ,21 Pn,12 Pn 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 8 ）古典设任一大事 A ,它是由,组成的,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概型PA = 1 2 12m m= P1
7、 P2 Pm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mA所包含的基本领件数n基本领件总数（ 9 ）几何如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同时样本空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概型间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概型。对任一大事A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AL A。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 10）加法公式（ 11）减法公式PA+B=PA+PB-PAB当 PAB 0
8、 时, PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB当 BA时, PA-B=PA-PB当 A=时, P B =1- PB定义 设 A、B 是两个大事,且 PA0 ,就称P ABP A为大事 A 发生条件下,事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 12）条件概率件 B 发生的条件概率,记为P B / AP AB 。P A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率。例如 P /B=1P B /A=1-PB/A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘法公式：P ABP A PB / A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
9、名师归纳总结（ 13）乘法更一般的,对大事A1, A2, An,如 PA1A2An-1 0 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式P A1A2 An1 。AnP A1P A 2 |A1P A3 |A1 A2 P An |A1A 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个大事的独立性设大事 A 、B 满意P AB P AP B ,就称大事 A、B 是相互独立的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如大事 A 、 B 相互独立,且P A0 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P B | AP AB P AP AP B P AP B可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 14）独立性如大事 A 、 B 相互独立,就可得到A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都相互独立。必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立。. 与任何大事都互斥。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多个大事的独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件, PAB=PAPB 。 PBC=PBPC 。 PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个大事类似。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设大事B1, B 2 , Bn 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品名师归纳总结（ 15）全概公式1 B1, B 2,nA, Bn 两两互不相容,BiPBi 0i1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2i 1,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AP B1 P A | B1P B 2 P A |B2PBn P A | Bn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 16）贝叶设大事B1 , B 2 ,Bn 及 A 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结斯公式1 B1 ,B2 ,Bn 两两互不相容,P Bi 0, i1, 2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nABi
12、2就i 1, P A0 ,PBi P A/ Bi P Bj P A/ Bj j 1此公式即为贝叶斯公式。P Bi / An, i=1 , 2, n。P Bi ,（ i1 ,2 , n ）,通常叫先验概率。PBi / A ,（ i1 ,2 ,n ）,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n 次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,A 发生或 A 不发生。 n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样。A 发生与否与其他次试验A 发生与（ 17）伯努利概型每次试验是独立的,即每次试验否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努
13、利试验。用 p 表示每次试验 A发生的概率,就1pq ,用 Pn k 表示 n 重伯努利试验中A 显现 k0kA 发生的概率为n 次的概率,P knCknp qkn k,k0,1,2,n。其次章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本领件随机大事 AP A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机变量 X aXbF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布函数：F xP Xx八大分布离散型二项分布 泊松分布 超几何分布几何分布函数分布可编辑资料 - -
14、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型匀称分布指数分布正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、重要公式和结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）离散型 随 机 变量 的 分 布律设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk 的概率为PX=xk =p k, k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X| x1, x2, xk,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X
15、xk p1, p 2, pk ,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显分布律应满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） pk0 , k1,2,pk1, （ 2） k 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）连续型 随 机 变设 F x 是随机变量 X 的分布函数, 如存在非负函数xf x ,对任意实数 x ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量 的 分 布密度F xf xdx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 X 为连续型随机变量。f率密度。密度函数具有下面4 个性质： x称为 X 的概率密度
16、函数或密度函数,简称概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x dx12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）离散P XxPxXx dxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 连 续 型随 机 变 量的关系积分元f xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与散型随机变量理论中所起的作用相类似。P Xxkpk 在离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数F xP Xx
17、称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PaXbF bF a可以得到X 落入区间a, b 的概率。分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 F x表示随机变量落入区间（, x 内的概率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布函数具有如下性质：10F x1,x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2F x 是单调不减的函数,即x1x2 时,有F x1F x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3F limxF x0,F limxF x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
18、归纳总结4F x0F x ,即F x 是右连续的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5P XxF xF x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于离散型随机变量,F xpk 。xkx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于连续型随机变量,F xf xdx 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）八大分布0-1 分布PX=1=p, PX=0=q二项分布在 n 重贝努里试验中,设大事A 发生的概率为 p 。大事 A 发生可编辑资料 - -
19、 - 欢迎下载精品名师归纳总结Cpq的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取值为0,1,2,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xk Pnkkkn k n,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q1p,0p1, k0,1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 。 记 为kX Bn, p 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1时,P Xk p k q 1, k0.1 ,这就是（ 0-1 ）分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
20、布,所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 X 的分布律为k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xk e,0 , kk.0,1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称随机变量 X 听从参数为的泊松分布,记为者 P 。X 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泊松分布为二项分布的极限分布（np=, n）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结超几何分布P Xkk. Cn kkCNMM,0,1,2, l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ClNnmin M , n随机变量 X 听从参数为 n,N,M 的超几何分
21、布,记为Hn,N,M 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何分布P Xk qk1 p,k1,2,3,其中 p0, q=1-p 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布,记为Gp 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ,b 内, 其密度函数f x 在a ,b上为常数1ba,即f x1ba0,a x b其他,就称随机变量X 在a , b 上听从匀称分布,记为XUa , b 。分布函数为x0,x bxb。当 a x 1x2 b 时, X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为P x
22、1Xx2 x2bx1a。指数分布ex ,x0,f x0,x0,其中0 ,就称随机变量 X 听从参数为的指数分布。X 的分布函数为1ex ,x0F x,0,x0 。记住积分公式：xn e x dxn.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正态分布设随机变量 X 的密度函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x x1e2222,x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中、0 为常数,就称随机变量 X 听从参数为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的正态分布或高斯（ Gauss）分布,记为X N ,2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
23、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x具有如下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f x 的图形是关于 x对称的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当 x时, f 21为最大值。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 X N , ,就tX 2的分布函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x1x e2 2dt2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X N 0,1 ,其密x度2函数记为可编辑资料
24、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1e 22,x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布函数为xt 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1e 22dt 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。1-x 1- x 且 0 。X2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 X N ,2 ,就 N 0,1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）分位数下分位表：上分位表：P x1P XP Xx2x1Xx2 。 。 。可编辑资料
25、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）函数分布离散型已知 X 的分布列为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X P Xxix1,p1,x2,p2 ,xn,pn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Yg X 的分布列（ yig xi 互不相等）如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结YPYyi gx1,p1,gx2,p 2,g xn ,pn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型如有某些g xi 相等,就应将对应的pi 相加作为g xi 的概率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先利用 X 的概率密度 f Xx 写出 Y
26、 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合分布离散型分布律连续型分布密度常见二维分布匀称分布正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 X ,Y边缘分布ZXY可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件分布函数分布 Zmax, min X1 , X 2 ,X n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结独立性三大统计分布2分布t分
27、布F分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）联合分布离散型假如二维随机向量个有序对（ x,y ）,就称（X, Y）的全部可能取值为至多可列为离散型随机量。设且大事 =（ X, Y）的全部可能取值为xi , y j i , j1,2, ,= xi , y j 的概率为pij, 称P X , Y xi , y j pij i, j1,2,为=（ X, Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1p ij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1
28、,2,）。（ 2）pij1.ij连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y , 如 果 存 在 非 负 函 数f x, yx,y分别平行于坐标轴的矩形区域有D,即 ,使对任意一个其邻边D=X,Y|axb,cyx1 时,有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2y 1 时,有 Fx,y 2 Fx,y 1;（ 3） F（ x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, yF x0, y, F x, yF x, y0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） F ,F , yF x,0, F ,1.可编辑资料 - - -
29、 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）对于 x1x2, y1y2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x2, y2 F x2, y1F x1, y2 F x1, y1 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4 ）离散型 与 连 续型的关系P Xx, YyPxXx dx, yYy dyf x, ydxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5 ）边缘离散型X 的边缘分布为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布Pi.P Xxi pijji , j1,2, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Y 的边缘分布为可编辑资料 -
30、- - 欢迎下载精品名师归纳总结P. jPYy j pijii , j1,2, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型X 的边缘分布密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f X xf x,ydy。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Y 的边缘分布密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f Y yf x,ydx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6 ）条件分布离散型在已知 X=xi 的条件下, Y 取值的条件分布为pij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PYy j | Xxi 。pi .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在已知 Y=yj 的条件下, X 取值的条件分布为pij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxi |Yy j ,p. j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型在已知 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x | yf x, y。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fY y在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名