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1、圆锥曲线学问点总结一、方程的曲线：在平面直角坐标系中, 假如某曲线 C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系： 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线；点与曲线的关系：如曲线 C的方程是 fx,y=0,就点 P0x 0,y 0 在曲线 C上fx 0 ,y 0=0 ；点 P0x 0,y 0 不在曲线 C上fx 0 ,y 0 0；两条曲线的交点：如曲线 C1, C2 的方程分别为 f 1x,y=0,f2x,y=0,就点 P0x 0,y 0 是 C1,
2、C2 的交点f1 x0, y0 f2 x0, y00方程组有0n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有交点；二、圆：1、定义： 点集 M OM=r ,其中定点 O为圆心,定长 r 为半径 .2222、方程： 1 标准方程：圆心在 ca,b ,半径为 r 的圆方程是 x-a+y-b=r222圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x +y =r2 一般方程：当 D2+E2-4F 0 时,一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程, 圆心为 D ,E 半径是22D 2E 224 F；22配方,将方程 x +y +Dx+Ey+F=0化为x+D
3、2+y+2E 2= D22E 2 - 4F 422当 D+E -4F=0 时,方程表示一个点 -D ,-2E ;222当 D+E -4F 0 时,方程不表示任何图形 .（3） ）点与圆的位置关系已知圆心 Ca,b, 半径为 r, 点 M的坐标为 x 0,y 0 ,就 MC r点 M在圆 C内, MC=r点M在圆 C上, MC r点 M在圆 C内,其中 MC =x- a 2y 0- b 2 ；0（4） ）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点；直线和圆的位置关系的判定： i 判别式法； ii利用圆心
4、Ca,b 到直线 Ax+By+C=0的距离 dAaBbC 与半径 r 的大A2B2小关系来判定；三、圆锥曲线的统肯定义：平面内的动点 Px,y 到一个定点 Fc,0 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线；其中定点 Fc,0 称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0e 1 时,轨迹为椭圆；当 e=1 时,轨迹为抛物线；当 e1 时,轨迹为双曲线；四、椭圆、双曲线、抛物线：【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线x 2y 2a2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .2222共轭双曲线： 以已知双
5、曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线 . xyabx 2y2与互22ab为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x2y 2.0a 2b 2x 2y 2x 2y 2xy共渐近线的双曲线系方程：220 的渐近线方程为 220 假如双曲线的渐近线为0 时,它的双曲线方程可设为 x 2y2a 2b 2ababab0 .【备注 2】抛物线：（1） ）抛物线y2 =2pxp0 的焦点坐标是 p ,0 ,准线方程 x=-2p,开口向右；抛物线2y2 =-2pxp0 的焦点坐标是 -p ,0 ,2准线方程 x=p ,开口向左；抛物线2x2 =2pyp0 的焦点坐标是 0,p ,准线
6、方程 y=-2p,开口向上；2抛物线x2 =-2py （p0）的焦点坐标是（ 0,-p ）,准线方程 y=2p ,开口向下 .2（2） ）抛物线y2 =2pxp0 上的点 Mx0,y0 与焦点 F 的距离 MFxp ；抛物线2y2 =-2pxp0 上的点 Mx0,y0 与焦点 F 的距00离 MFpx 2（3） ）设抛物线的标准方程为离为 p.y 2 =2pxp0 ,就抛物线的焦点到其顶点的距离为p ,顶点到准线的距离2p ,焦点到准线的距22（4） ）已知过抛物线 y 2 =2pxp0 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,就线段 AB称为焦点弦,设 Ax1,y1,Bx2,y2,就弦长 AB
7、= x1x2 +p 或 AB2 psin 2 为直线 AB的倾斜角 ,y1 y2p , x1x2p 2, AF4xp AF 叫做焦半径 .12五、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角,就焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. x2y2x0xy0 y如 P0 x0, y0 在椭圆221 上,就过abP0 的椭圆的切线方程是221.ab6. x2y2x0xy0
8、 y如 P0 x0, y0 在椭圆221 外,就过abP0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程是221 .ab7. x2y2椭圆 221aba b0 的左右焦点分别为 F1,F 2 ,点 P为椭圆上任意一点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为12S F PFb 2 tan.2x2y28. 椭圆221 （ ab0）的焦半径公式ab| MF1 |aex0 ,| MF2 |aex0 F1 c,0 ,F2c,0M x0 , y0 .9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q两点, A为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、
9、N 两点,就 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A2 为椭圆长轴上的顶点, A1P 和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MF NF.2211. AB 是椭圆 xy1 的不平行于对称轴的弦, M x , y220 为 AB的中点,就 kkb,即 Kb2 x0；a2b 200OMABaABa2 yx2y2x xy yx 2y 212. 如P x , y 在椭圆1 内,就被 Po所平分的中点弦的方程是0000；000a2b2a 2b2a 2b 2【推论】：1x2y2x2y2x0xy0 yx2y2、如 P0 x0, y0在椭圆221 内,就
10、过 Po的弦中点的轨迹方程是aba2b2a 2b 2；椭圆221 （ a bo）的两个顶点abx2y 2为 A1 a,0 ,A2 a,0 ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是221 .ab2x2y2、过椭圆b2x221aba 0, b 0 上任一点Ax0 , y0 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,就直线 BC有定向且kBC00a2 y（常数） .x2y2ac3、如 P 为椭圆221 （a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F 1, F 2 是焦点,abPF1F2,PF2F1,就tan acco t.22x2y24、设椭圆221
11、 （ a b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在PF1F2 中,记abF1PF2,PF1F2,F F P,就有since .12sinsinax2y25、如椭圆221 （ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,就当 0e 21时,可在椭圆上求一点 P,使ab得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .x2y26、P为椭圆221 （a b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点, A 为椭圆内肯定点,就ab2a|AF2| | PA| PF1 |2a| AF1 | , 当且仅当A, F2, P 三点共线时,等号成立 .
12、xx 2 yy 2007、椭圆00a 2b21 与直线AxByC0 有公共点的充要条件是A2a 2B2b2 AxByC2 .8、已知椭圆x2y21（ ab0）,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点, 且OPOQ .（ 1）1111;（ 2）|OP| 2+|OQ|2a2b 2| OP |2| OQ |2a 2b2的最大值为4 a2 b2 a2b2; （ 3） SOPQ 的最小值是a 2b 2.a2b2x2y2| PF |e9、过椭圆221（ab 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P,就ab.| MN |210 x2y2、已知椭圆221 （ a b
13、0） ,A 、B、是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点abPx0,0 ,就a 2b 2a 2b2x0.aa11 x2y22b2、设 P 点是椭圆221（ a b0）上异于长轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点记abF1PF2,就1| PF1| PF2 |1cos.21 2S PF Fb 2 tan.2x2y212、设 A、B 是椭圆221（ a b 0）的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e 分别是ab椭圆的半焦距离心率,就有 1| PA |2ab2 | cos|.2tantan1e2 .3S2a 2b2cot.a2c2cos2PABb2a
14、22213、已知椭圆 xy1 （ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点, 点C 在a 2b2右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 .（注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）
15、17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.六、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P处的内角.2、PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角,就焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切. （内切： P 在右支；外切： P在左支）5、如P x , y 在双曲线 xy1 （ a 0,b 0）上,就过P 的双曲线的切线方程是 x0 xy0 y1
16、 .20006222abx2y20a 2b2、如 P0 x0, y0 在双曲线221 （ a 0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程ab是 x0 xy0 y1.a2b 2x2y27、双曲线221 （ a 0,b o）的左右焦点分别为 F1, F 2 ,点 P 为双曲线上任意一点abF1PF2,就双曲线的焦点角形的面积为8S F1PF2x2b 2cot.2y2、双曲线221 （ a 0,b o）的焦半径公式： abF1 c,0 ,F2 c,0 ）当M x0 , y0 在右支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a ；当M
17、 x0, y0 在左支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a；9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,就 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q交于点 M, A2P 和 A1Q交于点 N,就 MF NF.11xAB2y2、是双曲线22ab21 （a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦, M x0, y0为 AB的中点,就KOMK ABb x0 a 2 y0,即 K ABb x
18、0 ；20a 2 y12x2y2x xy yx 2y 2、如 P x , y 在双曲线1 （ a 0,b 0）内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是0000.000a 2b2a2b2a 2b213、如P x , y 在双曲线 xy1 （ a 0,b 0）内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是xyx0xy0 y .2222000a 2b2a 2b2a2b2【推论】：x2y21、双曲线221 （ a 0,b 0）的两个顶点为abA1a,0 ,A2 a,0,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的x2y2轨迹方程是221 .ab2x2y2、过双曲线221 （ a0
19、,b o）上任一点0abA x0, y0 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线 BC有定0向且 kBCb2x a2 y（常数） .x2y23、如 P 为双曲线221（ a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F 1, F 2 是焦点,abPF1F2,PF2 F1,就catancaco t（或 ca22catanco t）.224、设双曲线22xy221（ a0,b 0）的两个焦点为 F1、F2 ,P（异于长轴端点） 为双曲线上任意一点, 在 PF1F2 中,记abF1PF2,sin12PF1F2,F F P,就有ce .5x2y2sinsina、如双曲线221 （
20、a0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 1e 21 时,可在双曲线上求一点abP,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .x2y26、P 为双曲线221（ a0,b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点,A 为双曲线内肯定点, 就| AF2 |2aab| PA| PF1 | , 当且仅当A, F2 , P三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立 .7 x2y222222、双曲线221 （ a 0,b 0）与直线abAxByC0 有公共点的充要条件是A aB bC.8 x2y2、已知双曲线221 （ba 0）, O为坐标原
21、点, P、Q为双曲线上两动点,且 OPOQ .ab（ 1）1111; （ 2） |OP| 2+|OQ|2 的最小值为4a2b2; （ 3） S的最小值是a 2b 2.| OP |2| OQ |2a 2b222OPQ22babax2y29、过双曲线221（ a0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N两点,弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P,就ab| PF |e .| MN |2x2y2a 2b210、已知双曲线221（ a0,b 0）,A 、B 是双曲线上的两点, 线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点abP x0 ,0 ,就x0a或x0a 2b 2.ax2y22b 211
22、、设 P 点是双曲线221（ a0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F 1、F2 为其焦点记abF1PF2,就1| PF1 | PF2 |1cos.21 2S PF Fb 2 cot.2x2y212、设 A、B 是双曲线221 （a0,b 0）的长轴两端点, P是双曲线上的一点,PAB,PBA,BPA, c、eab分别是双曲线的半焦距离心率,就有 1| PA|2ab2 |cos|.2tantan1e2 .3S2a 2b 2cot.| a2c2co s2|PABb2a2x2y213、已知双曲线221（ a0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交
23、于 A、B 两点,a b点C 在右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点.14 、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16、双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 . 注: 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17、双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论： ay 2bycx 顶点4acb 24ab .2a y22 px p0 就焦点半径 PFx P ; x222py p0 就焦点半径为 PFy P .22通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的.2 y22 px （或 x2 py）的参数方程为x2 pt（或 x y2 pty2 pt2 pt 2）（ t 为参数） .