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1、2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)2021年全国数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题此题共10小题，满分70分，每题7分要求直接将答案写在横线上1已知点P(4，1)在函数f(x)loga(xb)(b0)的图象上，则ab的最大值是解：由题意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，进而ab(ab)244，当ab2时，ab的最大值是42函数f(x)3sin(2x4)在x4324处的值是解：2x4431244012103243，所以f(4324)3sin43323若不等式|ax1|3的解集为x|2x1，则实数a的值是解：设函数f(x)|ax1|，则f(2)f
2、(1)3，故a24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色一样的概率是解：有两类情况：同为白球的概率是310252530625，同为红球的概率是76252542625，所求的概率是726255在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆x2a2y2b21(ab0)与椭圆x2b2y2c21有一样的离心率e，则e的值是解：若cb，则c2a2c2b2c2，得ab，矛盾，因而cb，且有c2a2b2c2b2，解得e1526如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点记四棱锥EABCD
3、的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则V1V2的值是第6题图A1解：记四棱锥B1ABCD的体积为V如图，DE23DB1，进而V123V又V13V2，所以V1V2297若实数集合A31x，65y与B5xy，403仅有一个公共元素，则集合AB中所有元素之积的值是解：由于31x65y5xy4032021xy若xy0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy0，进而AB中所有元素之积的值为08设向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，y7中有2个为a，其余为b则7i=1xiyi的可能取值
4、中最小的为解：由于aabb1，ab0，所以7i=1xiyi的最小值为29在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2021，则幻方中其余6个数之和为解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a2021，进而对角线上三个数的和为x2020因而bx2021，c4026，d2021，ex2021由bexx2020，解得x20202这9个数的和为3(202022020)180992，所以幻方中其余6个数之和为180992201822135210在平面直角坐标系xOy中，设D是知足x0，y0，xyxy19的点(x，y)构成的区域其中x是不超过x的最
5、大整数则区域D中整点的个数为解：区域D中整点的个数为1231055第9题图122021第9题图ecdab122021x第6题图A1二、解答题本大题共4小题，每题20分，共80分11在等比数列an中，a22，q是公比记Sn为an的前n项和，Tn为数列a2n的前n项和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，则ana22，a2n4，则S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，则an2(1)n，a2n4，则S2n0，Tn4n，S2n2Tn5分若q1，则an2qn2，a2n4q2n4，进而S2n2q(1q2n)1q，Tn4q2(1q2n)1q215分由S2n2Tn，则4q(1q)1，q2q40，解得q117
6、2综上，q的值为1172和117220分12如图，ABC中，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分线与ADE的外接圆交于A、P两点求证：A、P、B、C四点共圆证实：如图，连结PD，PE，PC由于四边形APDE是圆内接四边形,所以PADPED，PAFPDE又由于AP是BAC的外角平分线，所以PADPAF，进而PEDPDE，故PDPE10分又ADPAEP，所以BDPCEP又由于BDCE，所以BDPCEP，进而PBDPCE，即PBAPCA，ABCDP(第12题图)EABCDP(第12题图)EF所以A、P、B、C四点共圆10分13如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O
7、2都与直线l：ykx及x轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l若直线l的斜率ktan，设ttan2，则k2t1t2圆心O1，O2在直线ytx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt)交点P(2，2)在第一象限，m，n，t04分所以O1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以?(2m)2(2mt)2(mt)2，(2n)2(2nt)2(nt)2，即?m2(44t)m80，n2(44t)n80，8分所以m，n是方程X2(4+4t)X8=0的两根，mn8由半径的积(mt)(
8、nt)2，得t214，故t1216分所以k2t1t2111443，直线l：y43x20分14将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色1当k2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；2k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并讲明理由解：1设正十一边形的顶点A1，A2，A3，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰三角形个数能够如此计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有11125个，这些三角形均不是等边三角形，即当ji时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155个5分当k2时，
9、设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327个注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728个10分2若11个顶点中k个染红色，其余11k个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k(k1)2条，两端点染蓝色的有(11k)(10k)2条，两端点染一红一蓝的有k(11k)条并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1x33k(k1)2，3x2x43(11k)(10k)2，2x32x43k(11k)，由得3(x1x2)x3x432k(k1)(11k)(10k)，用代入得x1x212k(k1)(11k)(10k)k(11k)12(3k233k110)当k5或6时，(x1x2)min12(546556)10即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k5或620分