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1、2 、运用公式法进行因式分解【学问精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式；主要有：平方差公式a 2b 2abab12 / 7完全平方公式 a22abb2ab 2立方和、立方差公式a 3b 3ab a2abb2 补充：欧拉公式：a 3b3c33abcabc a2b2c 2abbcca1 abc ab 22bc 2 ca 2 特殊地：（ 1）当 abc0 时，有 a 3b 3c33abc（2） 当 c0 时，欧拉公式变为两数立方和公式；运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，娴熟地把握公式；但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式；用公式法因式分解在求代数式的值，解方
2、程、几何综合题中也有广泛的应用；因此，正确把握公式法因式分解，娴熟敏捷地运用它，对今后的学习很有帮忙；下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解读】1. 把 a 22ab 22b 分解因式的结果是（）A. ab a2 b2B. ab ab2C. ab ab2D. a 22bb22a分析： a 22ab22ba 22a1b 22b1a1 2b1 2 ；再利用平方差公式进行分解，最终得到ab ab2 ，故挑选 B ；说明：解这类题目时，一般先观看现有项的特点，通过添加项凑成符合公式的形式；同时要留意分解肯定要完全；22. 在简便运算、求代数式的值、解方程、判定多项式的整除等方面的应用例：已知多项
3、式2 x3xm 有一个因式是 2x1，求 m 的值；分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 m的值；解：依据已知条件，设2x3x 2m 2x1 x2axb就 2x 3x2m2x3 2a1x 2a2bxb2a111由此可得a2b02mb由（ 1）得 a1把 a1代入（ 2），得 b13121把 b代入（ 3），得 m223. 在几何题中的应用；例：已知 a、b、c 是 ABC 的三条边，且满意a 2ABC 的外形；b 2c2abbcac0 ，试判定分析：由于题中有a2 、b2 、ab ，考虑到要用完全平方公式，第一要把ab 转成2ab ；所以两边同乘以2
4、，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解；2解：ab 2c2abbcac02a 22b 22c22ab2bc2ac0222a2abb b2bcc c2aca 0222ab 2bc 2ca 20ab20，bc 20， ca20ab0， bc0， ca0abcABC 为等边三角形；4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差肯定是8 的倍数；分析：先依据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和争论；解：设这两个连续奇数分别为2n1， 2n3 （ n 为整数）就 2n3 22n1 22n 2 4n8 n32n4112n32n1由此可见， 2n3 22n1 2 肯定是 8 的倍数；5、中考点拨
5、：例 1：因式分解：x 34 xy2 ；解： x34xy2x x24 y 2 x x2 y x2y说明：因式分解时，先看有没有公因式；此题应先提取公因式，再用平方差公式分解完全；3例 2：分解因式： 2 x y8x 2 y28xy3 ；解： 2x3 y8x2 y28xy32xy x24 xy4 y 2 2xy x2 y 2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解完全；题型展现： 例 1. 已知： a1 m1， b 21 m2 ， c 21 m3 ，2求 a 22abb 22acc22bc 的值；解： a 22 abb22acc 22bcab 22c abc2abc 2a1 m21， b11m2
6、 ， cm3 222原式 abc 1 m21 1 m222 1 m321 m24说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化运算过程；例 2. 已知 abc0，a 3b3c30 ，5求证： ab 5c50证明：a 3b3c33abc abca 2b2c2abbcca把 abc0， a3b 3c30 代入上式，可得 abc0 ，即 a0或 b0 或 c0如 a0 ，就 bc ，a 5b 5c50如 b0 或 c0 ，同理也有 a 5b 5c50说明：利用补充公式确定a， b，c的值，命题得证；例 3. 如 x 3y 327，x
7、 2xyy29 ，求 x2y 2 的值；解：x 3y3 xy x 2xyy2 272且 x2xyy 292xy3，x2 xyy91又 x2xyy 292两式相减得 xy0所以 x2y 29说明：按常规需求出x，y 的值，此路行不通；用因式分解变形已知条件，简化运算过程；【实战模拟】1. 分解因式：（1） a2 23a1 2（2） x5 x2 yx 2 2 yx（3） a 2 xy 212axy 34 xy 412. 已知： xx3，求 xx4的值；3. 如 a，b，c是三角形的三条边，求证：a 2b 2c22bc04. 已知：210 ，求2001 的值；5. 已知 a，b， c是不全相等的实数
8、，且abc0，a 3b3c33abc ，试求（1） abc 的值；（ 2） a 11 bcb11cac 11 ab的值；【试卷答案】1. （ 1）解：原式 a23a1 a23a14a12a3 4a1 2a3说明：把 a2， 3a1看成整体，利用平方差公式分解；5（2）解：原式x x2 yx 2 x2 yx2 x2 y x 31x2 x2 y x1 x 2x1（3）解：原式 xy 2 a 22axy xy 2 xy2 axy 22. 解： x1 221x22xx21xx 2 x1 22x 3 227 x 21 2x 249，x 41249x 4x4147x43. 分析与解答：由于对三角形而言，需
9、满意两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明；证明：a 2b2c22bca2b22bcc2 a2bc 2abcabca， b， c是三角形三边a bc0 且 abcabcabc0即 a 2b 2c22bc04. 解21032110 ，即103120013 66715. 分析与解答：（ 1）由因式分解可知a 3b3c33abcabc a 2b2c2abbcca2故需考虑 ab 2c 2abbcca值的情形，（ 2 ）所求代数式较复杂，考虑恒等变形；解：（ 1）a 3b 3c33abca 3b 3又a 3b 3c33abc0c 33abcabc a 2b 2c2abbccaabca222b cabbcca22210222而 abcabbccaa， b， c不全相等 abbcca 2a 2b 2c2abbcca0abc0（2）abc01222原式 aabcbcb cac ab而 abc0 ，即 abc1333原式abc1 bcbc abc3bcbc1abc33abc说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法；