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1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【学问精读 】假如多项式的各项有公因式，依据乘法安排律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式；提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法；它的理论依据就是乘法安排律；多项式的公因式的确定方法是：（1） 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂；（2） 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式；下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解读 】1. 把以下各式因式分解9 / 512m 2（ ） a xm 1abxmm 3acxax（2） a ab 32a 2 ba22abba分析： （ 1）如
2、多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号；解： a2 xm 2abx m 1acxmax m 3ax m ax2bxcx 3 （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时， ab 2nba 2n ； ab 2n 1ba 2n1 ，是在因式分解过程中常用的因式变换；解： aab32a2 ba 22abbaaab 32a 2 ab22ababaaaab a b 3a 2b 24 ab2aab 2b2b2b2. 利用提公因式法简化运算过程例：运算12398713682689871368987456
3、98713685219871368分析： 算式中每一项都含有1368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果；解： 原式9871368123268456521987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用2 xy3例：不解方程组，求代数式 2 xy 2 x3 y3 x2 xy 的值；5x3y2分析： 不要求解方程组，我们可以把2 xy 和 5x3 y 看成整体，它们的值分别是3 和2 ，观看代数式，发觉每一项都含有2 xy ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2 xy 和 5x3 y 的式子，即可求出结果；解： 2 xy 2 x3y3x2 xy2 xy 2 x3 y3 x2
4、 xy 5 x3 y把 2xy 和 5x3 y 分别为 3 和 2 带入上式，求得代数式的值是6 ；4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n， 3n 22 n 23n2 n 肯定是 10 的倍数；分析： 第一利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10 的倍数即可；n 2n 2nnn 2nn 2n323233223n 3212 n 221103n52nn对任意自然数 n， 103 n 和 52 n 都是 10 的倍数；n 2n 2n3232 肯定是 10 的倍数5、中考点拨：例 1；因式分解 3 x x2 2x解： 3x x3x x22x2 x2 x2 3x1说明：因式
5、分解时，应先观看有没有公因式，如没有，看是否能通过变形转换得到；例 2分解因式： 4q1p32 p1 23解： 4q1p2 p1 24q1p 321p 22121p 2 2q1p 2 2qp12 pq1说明：在用提公因式法分解因式前，必需对原式进行变形得到公因式，同时肯定要留意符号，提取公因式后，剩下的因式应留意化简；题型展现：例 1. 运算： 200020012001200120002000精析与解答：设 2000a ，就 2001a1200020012001200120002000a10000a1 a1a110000aaaa110001aa110001aa110001100010说明：此题
6、是一个有规律的大数字的运算，如直接运算，运算量必定很大；其中2000 、2001 重复显现，又有 200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化运算；例 2. 已知： x 2bxc （ b、c 为整数）是 x 46x 225 及 3x 44 x228x5 的公因式，求 b、c 的值；42分析： 常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦；注2意 到 xbxc是 3 x6x254及 3x24 x28 x5 的 因 式 ； 因 而 也 是3x 44x228x5 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二
7、次因式；4解：x 2bxc 是 3 x 46x225 及 3x 44x 228x5 的公因式也是多项式 3 x6x 2253x 44 x228x5 的二次因式而 3 x46x 2253x44 x228x514 x 22x5b、c 为整数得： x2bxcx 22x5b2，c5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14 x228x70 ，从而简便求得2xbxc ；例 3. 设 x 为整数，试判定 105xx x2 是质数仍是合数，请说明理由；解： 105xx x252 xx 2 5x x2 xx2， 5x 都是大于 1 的自然数 x2 5x 是合数说明：在大于1 的正数中，除了1 和这个
8、数本身，仍能被其它正整数整除的数叫合数；只能被 1 和本身整除的数叫质数；【实战模拟】1. 分解因式：（1） 4m2 n 312m3n 22mn（2） a 2 xn 2abx n 1acx nadx n1（ n 为正整数）（3） a ab 32a 2 ba 22abba 22. 运算： 211 2 10 的结果是（）22210010A. B.C.D.13. 已知 x、y 都是正整数，且 x xyy yx12 ，求 x、 y；4. 证明： 8172799 13 能被 45 整除；5. 化简： 1xx1xx1x 2x1x1995 ，且当 x0时，求原式的值；【试卷答案】1. 分析与解答：2332（
9、1） 4m n12m n2mn2mn2mn26m2n1（2） a 2 xn 2abx n 1acx nadx n 1axn 1ax3bx2cxd（3） 原式aab 32a2 ab 22abab 2aab 2 ab2a2baab 2 3a3a ab 23b留意：结果多项因式要化简，同时要分解完全；2. B3. x xy xy xyx、y 是正整数y yx12 1212 分解成 112， 26， 34xy2xy6x4y2又xy 与 xy 奇偶性相同，且 xyxy说明：求不定方程的整数解，常常运用因式分解来解决；4. 证明：817279913328327326 9332613263243245324558172799 13 能被 45 整除5. 解： 逐次分解：原式1x1xx1x 2x11x 2 11x 3 1xx x1x 1995x1x 4 x1x 19951当 xx 19960 时，原式1x1995