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1、八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)1/9 运用公式法 进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。2 2 主要有：平方差公式 a-b=(a-b)(a-b)完全平方公式 a2.2ab b2=(a _ b)2 立方和、立方差公式 a3 lb3=(a lb)(a2 _ ab b2)补充：欧拉公式：3.3 3 一一 一 2 2 2 a b c-3abc=(a b c)(a b c-ab-bc-ca)1 2 2 2=-(a b c)(a-b)(b-c)(c-a)特别地：(1)当 a+b+c=0时，有 a3+b3+c3=3abc(2)当c=0时
2、，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时 需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正 确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】2 一.2 一一 1.把a+2ab-2b分解因式的结果是()A.(a-b)(a-2)(b 2)B.(a-b)(a b 2)2 2 2 2 2 2 分析：a+2ab 2b=a+2a+1b 2b1=(a+1)(b+1)。再利用平方差公式进行分解，最后得到(a-b)(
3、a+b+2),故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)2/9 2 2 C.(a-b)(a b)2 D.(a2-2b)(b2-2a)2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 3 2 例：已知多项式 2x x+m有一个因式是2x+1,求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可 求出m的值。3 2 2 解：根据已知条件，设 2x-x m-(2x 1)(x ax b)则 2x3-x4 m=2x
4、3(2a 1)x2(a 2b)x b 2a 1=-1(1)由此可得 a 2b=0(2)m=b(3)由(1)得 a-1,1 把a=1代入(2),得b=2 1 m 1 把b=代入(3),得m=3.在几何题中的应用。例：已知a、b、c是AABC的三条边，且满足 a2+b2+c2ab bcac=0,试判 断MBC的形状。分析：因为题中有 a2、b2、-ab,考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab转成-2abo所以两边同乘以 2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0,从而得解。4 2 2 _(a-b)(b-c)(c-a)=0 v(a-b)2 0,(b-c)2 0,(c a)2 之0 二 ab=0,bc=
5、0,c a=0 a=b=c 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)3/9 解：a2 b2 c2-ab-bc-ac=0 2a2 2b2 2c2-2ab-2bc-2ac=0 2 _ 2 2_ 2 2_ 2_.(a2-2ab b2)(b2-2bc c2)(c2-2ac a2)=0.ABC为等边三角形。4.在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是 8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为 2n+1,2n+3(n为整数)一一 一 2 _ 2 则(2n 3)-(2n 1)二(2n 3 2n 1)(2n 3-2n
6、-1)=2(4n 4)=8(n 1)-_ _ _ 2 _ 2 由此可见，(2n+3)(2n+1)-一定是 8的倍数。5、中考点拨：3 2 例1：因式分解：x 4xy=。.3 一 2.2 一 2.解：x-4xy=x(x-4y)=x(x 2y)(x-2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。3 2 2 3 例 2：分解因式：2x y+8x y+8xy=。解：2x3y 8x2y2 8xy3=2xy(x2 4xy 4y2)=2xy(x 2y)2 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含
7、答案)4/9 题型展示：-1/.1 八 1c 例 1.已知：a=-m+1,b=-m+2,c=-m+3,2 2 2 2 2 2 求 a 2ab b-2ac c-2bc 的值。解：a2 2ab b2-2ac c2-2bc=(a b)5-2c(a b)c2 2 二(a b c)1,.1c 1c：a=m+1,b=m+2,c=m+3 2 2 2 一，、2 二原式=(a+b c)1 1 1 二(2m D(2m 2)(2m 3)1 2=-m 4 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式 因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。.一 3 一 3 3.例 2.已知 a
8、+b+c=0,a+b+c=0,求证：a5 b5,c5=0 证明：a6 b3 c3 _3abc=(a b c)(a2 b2 c2 ab-bc-ca)二把a+b+c=0,a3+b3+c3=0代入上式，可得abc=0,即a=0或b=0或c=0 若 a=0,贝 U b=-c,5 5 5 5 2 x y=3,x 2xy y=9(1)八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)5/9 .a5 b5 c5=0 5 5 5 _ 若b=0或c=0,同理也有a+b+c=0 说明：利用补充公式确定 a,b,c的值，命题得证。例 3.若 x3+y3=27,x2 xy+y2=9,求 x2+y
9、2 的值。3 3 2 2 解：x y=(x y)(x-xy y)=27 2 2 且 x-xy y=96/9 八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)2 2 又 x xy y=9(2)两式相减得xy=0 所以 x6 7 y2=9 说明：按常规需求出 x,y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过 程。【实战模拟】1.分解因式：(1)(a+2)2(3a1)2(2)x5(x-2y)+x2(2y-x)(3)a2(x-y)2 2a(xy)3(x-y)4 6-4 1 x+=3,求 x+-的值。2.已知:八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分
10、解（含答案）7/9 3.若a,b,c是三角形的三条边，求证：a8 9-b2-c2-2bc0且 a b+c(a b c)(a-b-c)0 即 a2-b2-c2-2bc：0 4.解:。2+1=0(1)a b c 的值;八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)10/(+1)(62+/+1)=0,即 3-1=0 3 2001/3667-T=1.=()=1 5.分析与解答：(1)由因式分解可知 a3 b3 c3-3abc=(a b c)(a2 b2 c2-ab-bc-ca)故需考虑a2+b2+c2-ab-bc-ca值的情况，(2)所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：(1)
11、;a3+b3+c3=3abc a3 b3 c3-3abc=0 又 a3 b3 c3-3abc,、,2.2 2、二(a b c)(a b c-ab-bc-ca).(a b c)(a10 11 b2 c2-ab-bc-ca)=0 _.2 2 2 1 _ 2 2 2 _ 而 a b c-ab-bc-ca=2(a-b)(b-c)(c-a)丫 a,b,c不全相等 a2 b2 c2-ab-bc-ca 0 a b c=0(2)abc=0 二原式=a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)abc 而 a+b+c=0,即 a=(b+c)1 3 3 3 原式=(b+c)-b-c abc 1 3bc(b c)abc 10(-3abc)abc-3 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。