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1、精品学习资源2021 年福建省高中数学竞赛暨 2021 年全国高中数学联赛福建省赛区预赛试卷参考答案考试时间： 2021 年 5 月 24 日上午 9：00 11：30，总分值 160 分一、填空题共 10 小题，每题 6 分，总分值 60 分；请直接将答案写在题中的横线上欢迎下载精品学习资源1. 设集合 Axx40 ，xZ x3，从集合 A 中随机抽取一个元素x ，记2x ，就随机变欢迎下载精品学习资源量 的数学期望 E；【答案】5欢迎下载精品学习资源【解答】 A4， 3，2 ， 1，0，1，2，随机变量的取值为 0， 1， 4， 9， 16；欢迎下载精品学习资源易得，的概率分布列为0149
2、16欢迎下载精品学习资源PE0112174292711621177715 ；欢迎下载精品学习资源77777欢迎下载精品学习资源2. 已知f xxg x，其中g x 是定义在 R 上，最小正周期为2 的函数；假设f x在区间欢迎下载精品学习资源2 ，4上的最大值为 1，就f x在区间 10 ，12上的最大值为；欢迎下载精品学习资源【答案】9【解答】 依题意，有f x2x2g x2xg x2f x2 ；欢迎下载精品学习资源f x 在区间 2，4f x 在区间 4，6上的最大值为 1，上的最大值为 3，在区间 6 ，8上的最大值为 5，在区间 8，10 上的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源最
3、大值为 7，在区间10 ，12x2上的最大值为 9；y2欢迎下载精品学习资源3. F1 、 F2 为椭圆 C ：221 abab0 的左、右焦点，假设椭圆C 上存在一点 P ，使欢迎下载精品学习资源得 PF1PF2，就椭圆离心率 e的取值范畴为；【答案】2 ，1 2欢迎下载精品学习资源【解答】 设 A 为椭圆 C 的上顶点，依题意有F1AF290 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2F2 AOc245 ，1 ； c ba 2c2 ， c a 21 ，2e1 ；22欢迎下载精品学习资源4. 已知实数 x ， y ， z 中意 x2【答案】122 y23z224 ，就 x2 y3z 的最小
4、值为；欢迎下载精品学习资源【解答】 由柯西不等式，知欢迎下载精品学习资源x2 y3z21 x22 y33 z212x2 y2 23y3 2 x22 y23z2 144 ；欢迎下载精品学习资源x2 y3 z12 ，当且仅当123，即 xyz2 时等号成立；欢迎下载精品学习资源x2 y3 z 的最小值为12 ；欢迎下载精品学习资源5. 已知函数f x2x cosx，数列2an中， anf nf n1 nN * ，就数列a欢迎下载精品学习资源n的前 100 项之和S100；欢迎下载精品学习资源【答案】10200100欢迎下载精品学习资源【解答】 依题意，有T100fn22426282982100 2
5、43799欢迎下载精品学习资源n 13994255100 ；2欢迎下载精品学习资源S1002T100f 1f 101251000010200 ；欢迎下载精品学习资源6. 如图，在四周体 ABCD 中， DADBDC且 DA 与 平 面 ABC 所 成 角 的 余 弦 值 为632 ，DADB ，DADC ，； 就 该 四 面 体 外 接 球 半 径欢迎下载精品学习资源R；【答案】3【解答】 如图，作 DO面 ABC于 O ，连结 AO ，并延长交BC 于点 E ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源连结 DE ；就DAE 是 DA 与平面 ABC所成的角，cosDAE6 ；3欢迎下载精品学
6、习资源 DADBDC2 ， DADB ， DADC ，欢迎下载精品学习资源 DA面 DBC ， O 为 ABC 的外心，且ABAC22 ；6欢迎下载精品学习资源 DADE ， E 为 BC 中点， 结合cosDAE知， AE6 ，3欢迎下载精品学习资源BEAB2AE2862 ；欢迎下载精品学习资源BC2 BE22 ， DBDC ；欢迎下载精品学习资源DA 、 DB 、 DC 两两相互垂直，四周体外接球半径R3 ；欢迎下载精品学习资源7. 在复平面内，复数z1 、z2 、z3 的对应点分别为Z1 、Z 2 、Z3 ；假设z1z22 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OZ1OZ20 ， z
7、1z2z31，就z3 的取值范畴是；欢迎下载精品学习资源【答案】1，3欢迎下载精品学习资源【解答】 设 z1x1y1i ， z2x2y2i i 为虚数单位 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z1z22 ， OZ1OZ20 ，欢迎下载精品学习资源x2y 2x2y22 ， x xy y0 ，欢迎下载精品学习资源11221 212欢迎下载精品学习资源zz xy 2xy 2x2y 2x2y22x xy y2 ；欢迎下载精品学习资源12112211221 212欢迎下载精品学习资源设复数 z1z2 对应的点为 P ；由 z1z2z31知，点Z3 在以 P 为圆心， 1 为半径的圆上；欢迎下载精品
8、学习资源又 OP2 ，因此， 21OZ321 ，即z3 的取值范畴是 1，3 ；欢迎下载精品学习资源8. 已知函数f xex xaex 恰有两个极值点x ， x xx ，就 a 的取值范畴为；欢迎下载精品学习资源【答案】1 0 ， 21212欢迎下载精品学习资源【解答】f xex xaex ex 1aex x12aex ex ；欢迎下载精品学习资源依题意，f x x12aex ex0 有两个不同的实根；欢迎下载精品学习资源设 g xx12ae x ，就g x12ae ，g x0 有两个不同的实根；欢迎下载精品学习资源x假设 a0 ，就g x1 ， gx 为增函数，g x0 至多 1 个实根，不
9、符合要求；欢迎下载精品学习资源假设 a0 ，就当 xln 1 时，2ag x0 ； xln 1 时，2ag x0 ；欢迎下载精品学习资源gx 在区间，ln 1 2a上为增函数，ln 1 ，上为减函数；2a欢迎下载精品学习资源gx 的最大值为g ln1 ln 12a2 a11ln 1 ；2a欢迎下载精品学习资源又 x时，g xx12aex； x时，gxx12 aex；欢迎下载精品学习资源当且仅当gln1 ln 12a2a0 ，即 0a1时， g x0 恰有 2 个不同的实根；2欢迎下载精品学习资源设 g x0 的两根为x1， x2 x1x2 ；就xx1时， g x0 ， f x0 ； x1xx2
10、 时，欢迎下载精品学习资源g x0 ， f x0 ； xx2 时，g x0 ， f x0 ；欢迎下载精品学习资源x1 为f x 的微小值点，x2 为f x 的极大值点；0a1符合要求；2欢迎下载精品学习资源0 ， a 的取值范畴为1 ；22欢迎下载精品学习资源9. 已知f xm 2xxnx ，假设xf x0xf f x0，就 mn的取值欢迎下载精品学习资源范畴为；【答案】0，4欢迎下载精品学习资源【解答】 设xxfx0，就 fx m 2x 1x2nx0 ；欢迎下载精品学习资源1f f x1 f 0m0 ；111欢迎下载精品学习资源f x2xnx ，f f x2f x2nx x2nx2n x2n
11、x x2nx xnxn ；欢迎下载精品学习资源由 xf x0xf f x0知，方程 x2nxn0 的解集 A 是方程 x2nx0 的解欢迎下载精品学习资源集 B 的子集；假设 A，就 2n 4 n0 ， 0n4 ；欢迎下载精品学习资源x2nxn0欢迎下载精品学习资源假设 A，设 x000A ，就2，得 n0 ；欢迎下载精品学习资源又 0n4时，x0nx00xf x0，欢迎下载精品学习资源所以， 0n4 ； mn 的取值范畴是0 ，4 ；2n14欢迎下载精品学习资源10. 假设sinsinsintan99929，就正整数 n 的最小值为；欢迎下载精品学习资源【答案】4【解答】 由 coscosc
12、ossinsin， coscoscossinsin，知2sinsincoscos ；32sinsincoscos，9181818欢迎下载精品学习资源2352sinsincoscos，9181818n2n12 n12sinsincoscos9181818上述各式左右两边分别相加，得欢迎下载精品学习资源2sinsin 2sin n sincoscos2n1；欢迎下载精品学习资源999181818欢迎下载精品学习资源2 1 tan 4sincoscos 2n12 n1， coscoscos；欢迎下载精品学习资源29181818181818欢迎下载精品学习资源2 n1cos2n10 ，k kZ ， n
13、9k4 kZ ；欢迎下载精品学习资源18正整数 n 的最小值为 4；182欢迎下载精品学习资源二、解答题共 5 小题，每题 20 分，总分值 100 分；要求写出解题过程211. 求函数 y2x4 x8x3 的最小值；欢迎下载精品学习资源【解答一】 由 4x28x30 ，得 x1 或 x3 ；22欢迎下载精品学习资源，函数的定义域为13 ，；5分22欢迎下载精品学习资源记 yf x2x4x28x3 ，就 fx28x824 x4欢迎下载精品学习资源24 x28 x34x28x3欢迎下载精品学习资源3当 x时，易知2f x0 ；f x2x4 x28x3 在3 ，上为增函数；2欢迎下载精品学习资源x
14、3 时，f x3的最小值为3 ；10分欢迎下载精品学习资源214 xf 2441x41x欢迎下载精品学习资源当 x时， f x2220 ；欢迎下载精品学习资源24x28x34 x12121x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源，f x 在12上为减函数，x1 时， f x221的最小值为 f 12； 15 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源综合得，函数 y2x4x8x3 的最小值为 1；20分欢迎下载精品学习资源【解答二】 函数化为 y22 x22 x2212 ；1欢迎下载精品学习资源由 2 x21 ，知 2x21，可设 2x2sin，且0 22欢迎下载精品学习资源5分111cos
15、1当 0时， y21222 ，当，即2sinsinsintan223x时， y 取最小值 3；102欢迎下载精品学习资源分当0 时， y111 21cos2 tan2 ，当，欢迎下载精品学习资源2sinsin 2sin22欢迎下载精品学习资源1即 x时， y 取最小值 1；15分2欢迎下载精品学习资源综合得，函数 y2x4x28x3 的最小值为 1；20分欢迎下载精品学习资源或换元后利用导数求解；欢迎下载精品学习资源【解答三】 由 y2x4x28x3 ，得 y2 x24 x28 x3，欢迎下载精品学习资源222y23欢迎下载精品学习资源y4 xy4 x4x8x23 ， x4 y8；5分欢迎下载
16、精品学习资源依题意，有y2 x ，因此，y4 y31 y ；10分82欢迎下载精品学习资源y 23y0 ， y3 y10 ，解得 1y2 或 y3 ； 15分欢迎下载精品学习资源2 y42 y2欢迎下载精品学习资源将 y1代入方程 y2x4x28x3 ，解得 x1 ；2欢迎下载精品学习资源y1在函数 y2x4x28x3 的值域内；欢迎下载精品学习资源函数 y2x4x28x3 的最小值为 1；20分y2欢迎下载精品学习资源12. 已知过点P 0 ，1 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C ：x21于 A 、 B 两点；3欢迎下载精品学习资源1求 k 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源2假设F2 为
17、双曲线 C 的右焦点，且AF2BF26 ，求 k 的值；欢迎下载精品学习资源【解答】1设 l 方程为y2x21ykx1 ；欢迎下载精品学习资源由3ykx1，得 3k 2 x22kx40 ；欢迎下载精品学习资源直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，2欢迎下载精品学习资源3k0 4k 2163k 2 0，解得2k2 ，且 k3 ；欢迎下载精品学习资源k 的取值范畴为 2 ， 33 ， 33 ，2 ； 5分欢迎下载精品学习资源2设A x，y ，Bx，y ；就 xx2k， x x4；又 F2 ，0 ，欢迎下载精品学习资源11221221 222欢迎下载精品学习资源3k3k欢迎下载精品学习资源AF
18、x22y 2x24x43x232x1 ， BF2x1 ；欢迎下载精品学习资源21111112210分164kk24k13欢迎下载精品学习资源2 x112 x214x1x22 x1x2 12212，欢迎下载精品学习资源k 23 时，2 x12 x10 ，3k3k3k欢迎下载精品学习资源12欢迎下载精品学习资源AF2BF22x112x212 x112 x212 x1x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 xx 24 x x434k 2；欢迎下载精品学习资源121 23k 2434k211欢迎下载精品学习资源由 AF2BF26 ，得3k 26 ，解得k 21 或 k 23 舍去；3欢迎下载精
19、品学习资源k 21 ， k2k4 时， 2 x112 x210 ，AF2BF22x112x212 x112 x212 x1x2131 ；15分欢迎下载精品学习资源22k21 ；3k欢迎下载精品学习资源由 AF2BF26 ，得 22k3 k 216 ，解得 k2 或 k3 或 k21132，均不符欢迎下载精品学习资源合，舍去；此时，中意条件的k 不存在；综上可得， k 的值为 1 或 1；20分欢迎下载精品学习资源13. 如图， I 、 D 分别为为 AD 与 BC 的交点；ABC 的内心、 旁心， BC 与圆 I 、圆 D 相切， 切点分别为 E 、 F ， G欢迎下载精品学习资源1求证：AI
20、GEA；ADGF欢迎下载精品学习资源2假设 M 为 EF 中点，求证： AE DM ；欢迎下载精品学习资源旁心： 三角形旁切圆的圆心， 它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点；【解答】1设圆 I 、圆 D 的半径分别为 r 、 R ，ICMGE欢迎下载精品学习资源就 AIrADR；5 分BF欢迎下载精品学习资源作 IPAB于 P ， DQAB 于 Q ，就 AIIPr ；ADDQR由条件知， A 、 I 、 D 三点共线， IEBC ， DFBC ；欢迎下载精品学习资源IEDF， GEIEr ；DGFDFRA欢迎下载精品学习资源AIGEADGF； 10 分AIGIGEADG
21、DGFP欢迎下载精品学习资源2由 AIGEGI ，得，ADGFGD即AGGE ；ADGDGFBFICMGE欢迎下载精品学习资源AGGE ADGDAGGFGEM 为 EF 中点，N； 15 分Q欢迎下载精品学习资源GFGEMFMGMEMG 2 MG ，D欢迎下载精品学习资源AGGEAGGE，即；欢迎下载精品学习资源2 DG2MGDGGM欢迎下载精品学习资源结合EGAMGD ，可得 EGA MGD；因此，GEAGMD ；欢迎下载精品学习资源AE DM；20 分欢迎下载精品学习资源另 解 ： 设 ID 的 中 点 为 N ， 就 由 IEDFMN1 DFIE ；2， M 为 EF 中 点 知 ， M
22、NIE DF ， 且欢迎下载精品学习资源由 AIIEAIIE，可得， AIIEAIIE，即； 15欢迎下载精品学习资源ADDF分ADAIDFIE2DN2MNDNNM欢迎下载精品学习资源又AIEDNM ；欢迎下载精品学习资源AIE DNM，EAIMDN ；欢迎下载精品学习资源AE DM；20 分欢迎下载精品学习资源14. 在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角欢迎下载精品学习资源形；求以点I 2021 ，72021为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形 OAB的个数；欢迎下载精品学习资源【答案】 不妨设点 A 在第一象限；设xOI，就 tan7
23、，直线 OA的斜率kOAtan1713 ；1tan174tan4欢迎下载精品学习资源kOB4；5 分3欢迎下载精品学习资源由 A、 B 为整点，设A4t1 ，3t1 ， B 3t2 ，4t 2，其中t1， t 2 为正整数；欢迎下载精品学习资源OA5t1 ， OB5t2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OAB 内切圆的半径r2OI252202152021 ；欢迎下载精品学习资源OAOBAB又 r，222ABOAOB2r ，欢迎下载精品学习资源2ABOAOB2r 222OAOB；欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源 5t15t2252021 25t125t2 ；10分欢迎下载
24、精品学习资源 tt22021 2t 2t 2 ；欢迎下载精品学习资源1212设 t1x2021 ， t2y2021 ，就 xy 2x2021 2 y2021 2 ；欢迎下载精品学习资源xy2021 x2021 y20212 ， x2021 y2021220212252132312 ；欢迎下载精品学习资源15分欢迎下载精品学习资源由 OA2r ， OB2r 知， x2021， y2021 为正整数，又252132312 的正因欢迎下载精品学习资源数有 233354 个；符合条件的 x ，y 有 54 组；符合条件的三角形有54 个；20 分欢迎下载精品学习资源15. 假设对任意的正整数m ，集合
25、m，m1，m2 ， ，m99的任意 n n3 元子集中，欢迎下载精品学习资源总有 3 个元素两两互素，求n 的最小值；【答案】 考察集合1，2，3， ，100 m1时的 67 元子集：欢迎下载精品学习资源P2，4，6， ，100，3，9，15， ，99偶数与被 3 整除的奇数；欢迎下载精品学习资源明显 P 中不存在 3 个两两互素的元素；n67 不符合要求；5 分欢迎下载精品学习资源引理：对任意的正整数 m ，集合总有 3 个元素两两互素；引理的证明：设集合A是集合m ，mm ，m1，m1，m2 ，m2 ，m3，m3 ，m4 ，m4 ，m5的任意 5 元子集中，5的一个 5 元子集；欢迎下载精
26、品学习资源m ， m1 ， m2 ， m3， m4， m5 这 6 个数中， 3 奇 3 偶，恰有 1 个 5 的倍数；欢迎下载精品学习资源假设 A中含有 3 个奇数，就这3 个奇数必两两两互素，结论成立；假设 A 中元素为 2 奇 3 偶；由于 3 个偶数中至多有 1 个为 3 的倍数， 至多有 1 个为 5 的倍数；因此， 3 个偶数中必有 1 个数既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数，它与 2 个奇数两两互素；结论成立；引理成立；10 分欢迎下载精品学习资源对任意的正整数 m ，将集合m，m1，m2 ， ，m99划分成如下 17 个集合：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A1m，
27、m1，m2 ，m3，m4 ，m5，欢迎下载精品学习资源A2m6 ，m7 ，m8，m9 ，m10，m11，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A16m90，m91，m92，m93 ，m94 ，m95，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A17m96，m97，m98 ，m99；15分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源明显上述 17 个集合的两两交集为空集，并集为集合m，m1，m2， ，m99；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设集合 M 是集合m，m1，m2 ， ，m99的 68 元子集；欢迎下载精品学习资源假设集合 M 有 4 个元素来自集合A17 ；由于 m 为奇数时， m
28、96 、 m97 、m98 两两互欢迎下载精品学习资源素； m 为偶数时， m97 、 m98 、 m99 两两互素；因此，M 中至少有 3 个元素两两互素；欢迎下载精品学习资源假设集合 M 至多 3 个元素来自集合A17 ；就 M 至少有 65 个元素来自集合A1 、A2 、A16 ；欢迎下载精品学习资源依据抽屉原理， M 至少有 5 个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合知，它们中存在 3 个两两互素的元素；集合 M 中总有 3 个两两互素的元素；A1 ；由前面的引理可欢迎下载精品学习资源n68 符合要求，即对任意的正整数m ，集合m ，m1，m2 ， ，m99的任意欢迎下载精品学习资源68 元子集中，总有 3 个元素两两互素；n 的最小值为 68；20分欢迎下载