《2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品学习资源2021 年福建省高中数学竞赛暨 2021 年全国高中数学联赛福建省赛区预赛试卷考试时间： 2021 年 5 月 24 日上午 9：00 11：30，总分值 160 分一、填空题共 10 小题，每题 6 分，总分值 60 分；请直接将答案写在题中的横线上欢迎下载精品学习资源1. 设集合 Axx x40 ，xZ 3，从集合 A 中随机抽取一个元素 x ，记x2 ，就随机欢迎下载精品学习资源变量 的数学期望 E；欢迎下载精品学习资源2. 已知f xxg x，其中g x 是定义在 R上，最小正周期为 2 的函数；假设f x 在区欢迎下载精品学习资源间 2，4上的最大值为 1，就f x 在
2、区间 10，12上的最大值为；欢迎下载精品学习资源x2y2欢迎下载精品学习资源3. F1 、F2 为椭圆 C ：221 abab0 的左、右焦点，假设椭圆C 上存在一点 P ，欢迎下载精品学习资源使得 PF1PF2，就椭圆离心率 e 的取值范畴为；欢迎下载精品学习资源4. 已知实数 x ， y ， z 中意 x22 y23z224 ，就 x2 y3 z 的最小值为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 已知函数f xx2 cosx，数列a中， afnf n1 nN *，就数列 a欢迎下载精品学习资源的前 100 项之和nnn2S100；欢迎下载精品学习资源6. 如图，在四周体 ABCD
3、 中，DADBDC2 ，DADB ，DADC ，且 DA 与平面 ABC欢迎下载精品学习资源所成角的余弦值为63；就该四周体外接球半径 R；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 在复平面内，复数z1 、z2 、z3的对应点分别为Z1 、Z 2 、 Z 3 ；假设z1z22 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OZ1OZ20， z1z2z31，就z3的取值范畴是；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8 已 知函数f xxxe xae 恰 有两 个极 值点x1 ，x2 x1x2 ， 就 a 的取 值范 围欢迎下载精品学习资源2为；欢迎下载精品学习资源9. 已知f xm 2xxnx
4、 ，假设xf x0xf f x0，就 mn的取值范欢迎下载精品学习资源围为；欢迎下载精品学习资源10. 假设2sinsinnsin14tan，就正整数 n 的最小值为；欢迎下载精品学习资源99929欢迎下载精品学习资源2二、解答题共 5 小题，每题 20 分，总分值 100 分；要求写出解题过程欢迎下载精品学习资源11. 求函数 y2 x4x8x3 的最小值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12. 已知过点y2P 0 ，1 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C ： x21于 A 、 B 两点；3欢迎下载精品学习资源1求 k 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源2假设F2 为双曲线 C 的右
5、焦点，且AF2BF26 ，求 k 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13. 如图， I 、D 分别为G 为 AD 与 BC 的交点；ABC 的内心、旁心， BC 与圆 I 、圆 D 相切，切点分别为 E 、F ，A欢迎下载精品学习资源1求证： AIGE ；ADGF2假设 M 为 EF 中点，求证： AE DM ；I欢迎下载精品学习资源旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点； CMGEBF欢迎下载精品学习资源D14. 在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整欢迎下载精品学习资源点三角形；求以点个数；I 2
6、021 ，72021为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形 OAB 的欢迎下载精品学习资源15. 假设对任意的正整数 m ，集合m，m1，m2 ， ，m99的任意 n n3 元子集欢迎下载精品学习资源中，总有 3 个元素两两互素，求 n 的最小值；欢迎下载精品学习资源2021 年福建省高中数学竞赛暨 2021 年全国高中数学联赛福建省赛区预赛试卷参考答案考试时间： 2021 年 5 月 24 日上午 9：00 11：30，总分值 160 分一、填空题共 10 小题，每题 6 分，总分值 60 分；请直接将答案写在题中的横线上欢迎下载精品学习资源1. 设集合 Axx x4 0 ，xZ 3
7、，从集合 A 中随机抽取一个元素 x ，记x2 ，就随机欢迎下载精品学习资源变量 的数学期望 E；【答案】5欢迎下载精品学习资源【解答】 A4 ， 3，2 ， 1，0，1，2，随机变量的取值为 0，1，4，9，16；欢迎下载精品学习资源易得， 的概率分布列为0149161221177777P112429116177777E05 ；欢迎下载精品学习资源2. 已知f xxg x，其中g x 是定义在 R上，最小正周期为 2 的函数；假设f x 在区欢迎下载精品学习资源间 2，4上的最大值为 1，就f x 在区间 10，12上的最大值为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】9【解答】 依
8、题意，有f x2 x2gx2xg x2f x2 ；欢迎下载精品学习资源f x 在区间 2 ，4f x 在区间 4 ，6上的最大值为 1，上的最大值为 3，在区间 6 ，8上的最大值为 5，在区间 8 ，10 上的欢迎下载精品学习资源最大值为 7，在区间 10，12 上的最大值为 9；x2y2欢迎下载精品学习资源3. F1 、F2 为椭圆 C ：221 abab0 的左、右焦点，假设椭圆C 上存在一点 P ，欢迎下载精品学习资源使得 PF1PF2，就椭圆离心率 e 的取值范畴为；【答案】2 ，1 2【解答】 设 A 为椭圆 C 的上顶点，依题意有F1 AF290 ；欢迎下载精品学习资源F2 AO
9、45 ， c1 ； c2b2a 2c2 ， c a 21 ，222e1 ；欢迎下载精品学习资源4. 已知实数 x ， y ， z 中意 x2【答案】12【解答】 由柯西不等式，知2 y23z224 ，就 x2 y3 z 的最小值为；欢迎下载精品学习资源x2 y3z21 x22 y33z 2122 23 2x22 y23z2 144 ；欢迎下载精品学习资源x2 y3 z12 ，当且仅当 x2y3y ，即xyz2 时等号成立；欢迎下载精品学习资源x2 y1233 z 的最小值为 12；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 已知函数f xx2 cosx，数列a中， afnf n1) nN *
10、，就数列 a欢迎下载精品学习资源的前 100 项之和nnn2S100；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】10200【解答】 依题意，有100100Tf n22426282982100 243799欢迎下载精品学习资源n 13994255100 ；2欢迎下载精品学习资源S1002T100f 1f 101251000010200 ；欢迎下载精品学习资源6. 如图，在四周体 ABCD 中，DADBDC2 ，DADB ，DADC ，且 DA 与平面 ABC欢迎下载精品学习资源所成角的余弦值为63；就该四周体外接球半径 R；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】3【解答】 如图，
11、作 DO面 ABC于O ，连结 AO ，并延长交 BC 于欢迎下载精品学习资源点 E ， 连 结 DE ； 就DAE 是 DA 与 平 面 ABC 所 成 的 角 ，欢迎下载精品学习资源cosDAE6 ；3欢迎下载精品学习资源 DADBDC2 ， DADB ， DADC ，欢迎下载精品学习资源 DA面 DBC， O 为ABC 的外心，且ABAC22 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 DADE ， E 为 BC 中点 ， 结 合cosDAE6 知，3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源AE6， BEAB2AE2862 ；欢迎下载精品学习资源BC2BE22 ， DBDC ；欢迎下载精
12、品学习资源DA 、DB 、DC 两两相互垂直，四周体外接球半径 R3 ；欢迎下载精品学习资源7. 在复平面内，复数z1 、z2 、z3的对应点分别为Z1 、Z 2 、 Z 3 ；假设z1z22 ，欢迎下载精品学习资源OZ1OZ20， z1z2z31，就z3的取值范畴是；欢迎下载精品学习资源【答案】1，3欢迎下载精品学习资源【解答】 设 z1x1y1i ， z2x2y2i i 为虚数单位，欢迎下载精品学习资源z1z22 ， OZ1OZ20 ，欢迎下载精品学习资源2222欢迎下载精品学习资源x1y1x2y22 ，x1x2y1y20 ，欢迎下载精品学习资源zz xy 2 xy 2x2y 2x2y22
13、x xy y2 ；欢迎下载精品学习资源12112211221 212欢迎下载精品学习资源设复数 z1z2 对应的点为 P ；由 z1z2z31知，点Z3 在以 P 为圆心， 1 为半径的圆上；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 OP2 ，因此， 21OZ321 ，即z3的取值范畴是 1，3 ；欢迎下载精品学习资源8 已 知函数f xex xaex 恰 有两 个极 值点x1 ，x2 x1x2 ， 就 a 的取 值范 围欢迎下载精品学习资源为；1欢迎下载精品学习资源【答案】0 ， 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答】f xex xaex ex 1aex x12aex ex ；
14、欢迎下载精品学习资源依题意，f x x12aex ex0 有两个不同的实根；欢迎下载精品学习资源设 gxx12aex ，就g x12aex ， g x0 有两个不同的实根；欢迎下载精品学习资源假设 a0 ，就g x1 ， g x 为增函数，g x0 至多 1 个实根，不符合要求；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 a0 ，就当 xln 1 时， g 2a x0 ； xln 1 时，2ag x0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g x 在区间，ln 1 2a上为增函数，ln 1 2a，上为减函数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g x 的最大值为gln1 ln 12a
15、2a11ln 1 ；2a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 x时，g xx12aex； x时，g xx12aex；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 当且仅当gln1 ln 12a2a0，即 0a1时， g x0 恰有 2 个不同的实根；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 g x0 的两根为x1，x2x1x2 ；就 xx1 时，g x0，f x0 ；x1xx2 时，g x0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x0 ； xx2 时，g x0 ， fx0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1 为f x的微小值点，x2 为f x 的极大值点； 0a1 符
16、合要求；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a 的取值范畴为10 ， ；22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 已知f xm 2xxnx ，假设xf x0xf f x0，就 mn的取值范欢迎下载精品学习资源围为；【答案】0 ，4x2【解答】 设xxf x0，就 f x m 2 1xnx0 ；1111欢迎下载精品学习资源f fx1f 0m0 ；欢迎下载精品学习资源2f xx2nx ，f f xf x2nx x2nx 2n x2nxx2nx x2nxn ；欢迎下载精品学习资源由 xf x0xf f x0知，方程 xnxn0 的解集 A是方程 x2nx0 的解集欢迎下载精品学习资源B
17、 的子集；假设 A，就n 24n0 ， 0n4 ；欢迎下载精品学习资源00x2nxn0欢迎下载精品学习资源假设 A，设xA ，就，得 n0 ；欢迎下载精品学习资源0x2nx000欢迎下载精品学习资源又 0n4 时，xf x0，欢迎下载精品学习资源所以， 0n4 ；mn的取值范畴是 0 ，4 ；欢迎下载精品学习资源10. 假设sinsin 2sin n1 tan 4，就正整数 n 的最小值为；欢迎下载精品学习资源99929【答案】4【解答】 由coscoscossinsin， coscoscossinsin，知2sinsincoscos ；2sinsincoscos 3，91818182352s
18、insincoscos，9181818n2 n12 n12sinsincoscos9181818上述各式左右两边分别相加，得2n2 n12sinsinsin sincoscos；999181818欢迎下载精品学习资源2 1 tan 4sincoscos 2n12n1， coscoscos；欢迎下载精品学习资源29181818181818欢迎下载精品学习资源2 n1cos2 n10 ，k kZ ， n9k4 kZ ；欢迎下载精品学习资源18182 正整数 n 的最小值为 4；欢迎下载精品学习资源2二、解答题共 5 小题，每题 20 分，总分值 100 分；要求写出解题过程欢迎下载精品学习资源11
19、. 求函数 y2 x4x8x3 的最小值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答一】 由 4x28x30 ，得 x13或 x；22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 函数的定义域为13，； 5分22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 yf x2x4x28x3 ，就 fx28 x824x4欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源24 x8x34x8x3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 x3 时，易知2f x0 ；f x2x4x28x3 在 3 ，上为增函数；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x3 时，f x3的最小值为3 ；10分欢迎下载精品学习资源2
20、当 x1 时，f x2f 24x4241x241x0 ；欢迎下载精品学习资源224x8x34 x1121x欢迎下载精品学习资源2f x 在1上为减函数， x1 时，f x 的最小值为1； 15 分欢迎下载精品学习资源，f 12222欢迎下载精品学习资源综合得，函数 y2x4x8x3 的最小值为 1； 20分欢迎下载精品学习资源【解答二】 函数化为 y2x22 x2212 ；欢迎下载精品学习资源由 2 x2 21 ，知 2x21 ，可设 2 x21sin，且0 22欢迎下载精品学习资源5分欢迎下载精品学习资源当 0时， y 211sinsin 21cos12sin12tan22 ，当3，即 x时
21、，22欢迎下载精品学习资源y 取最小值 3；10分欢迎下载精品学习资源当0 时， y111 21cos2 tan2 ，当，即 x1欢迎下载精品学习资源2sinsin 2sin222欢迎下载精品学习资源时， y 取最小值 1；15分欢迎下载精品学习资源综合得，函数 y2x4x28x3 的最小值为 1； 20分欢迎下载精品学习资源或换元后利用导数求解；欢迎下载精品学习资源【解答三】 由 y2x4 x28x3 ，得 y2x 24 x28 x3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源222y23欢迎下载精品学习资源y4 xy4 x4 x8 x3 ， x4 yy231； 5分8欢迎下载精品学习资源依
22、题意，有 y2 x ，因此，4 yy ； 10分82欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y23y y3 y10 ，0 ，解得 1y2 或 y3 ； 15分欢迎下载精品学习资源2 y42 y2欢迎下载精品学习资源将 y1 代入方程 y2x4x218x3 ，解得 x；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2y1 在函数 y2x4x28x3 的值域内；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 函数 y2x4x8x3 的最小值为 1；20分欢迎下载精品学习资源12. 已知过点y2P 0 ，1 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C ： x21于 A 、 B 两点；3欢迎下载精品学习资源1求 k
23、的取值范畴；欢迎下载精品学习资源2假设F2 为双曲线 C 的右焦点，且AF2BF26 ，求 k 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答】1设 l 方程为y2x21ykx1 ；欢迎下载精品学习资源由3ykx1，得 3k 2 x22kx40 ；欢迎下载精品学习资源 直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，欢迎下载精品学习资源3k 204k2163k2 0，解得 2k2 ，且 k3 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k 的取值范畴为 2 ，33 ，33 ，2 ； 5分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2设A x，y ， B x，y ；就 xx2k， x x4；又 F2
24、，0 ，欢迎下载精品学习资源1122123k 21 23k22欢迎下载精品学习资源AFx22y 2x24x43x232x1 ， BF2x1 ；欢迎下载精品学习资源21111112210分欢迎下载精品学习资源2 x12 x14 x x2 xx 1164k12k4k13 ，欢迎下载精品学习资源1212123k 23k 23k2欢迎下载精品学习资源2k3 时， 2 x112 x210 ，欢迎下载精品学习资源AF2BF22x112x212 x112 x212 x1x2欢迎下载精品学习资源2xx 24 x x434k；欢迎下载精品学习资源2121 23k 2欢迎下载精品学习资源由 AFBF6 ，得434
25、k26 ，解得k 21或 k 2113 舍去；欢迎下载精品学习资源223k23欢迎下载精品学习资源k 21 ， k1 ；15分欢迎下载精品学习资源3k 24 时，2 x12 x10 ，欢迎下载精品学习资源12欢迎下载精品学习资源AFBF2x12x12x12x12 xx122k1 ；欢迎下载精品学习资源221212123k2欢迎下载精品学习资源由 AF2BF26 ，得 22k3k 216 ，解得 k2 或k3 或 k21132，均不符合，欢迎下载精品学习资源舍去；此时，中意条件的k 不存在；综上可得， k 的值为 1 或 1；20分欢迎下载精品学习资源13. 如图， I 、D 分别为G 为 AD
26、 与 BC 的交点；ABC 的内心、旁心， BC 与圆 I 、圆 D 相切，切点分别为 E 、F ，A欢迎下载精品学习资源1求证： AIGE ；ADGF2假设 M 为 EF 中点，求证： AE DM ；I欢迎下载精品学习资源旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点； 【解答】1设圆 I 、圆 D 的半径分别为 r 、 R ，CMGEBF欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 AIrADR； 5 分欢迎下载精品学习资源作 IPAB 于 P ， DQAB 于Q ，就 AIIPr ；ADDQRD由条件知， A 、 I 、 D 三点共线， IEBC ，
27、DFBC ；A欢迎下载精品学习资源IEDF， GEIEr ；GFDFRP欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AIGEADGF； 10 分ICAIGIGEADGDGFMGE欢迎下载精品学习资源2由 AIGEGI，得，ADGFGDBFN即AGGE ；QADGDGF欢迎下载精品学习资源AGGE ADGDAGGFGEM 为 EF 中点，； 15 分D欢迎下载精品学习资源GFGEMFMG MEMG 2MG ，欢迎下载精品学习资源AGGEAGGE，即；欢迎下载精品学习资源2DG2MGDGGM欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源结合 EGAMGD ，可得EGA MGD；因此，GEAGMD ；欢迎下
28、载精品学习资源AEDM ；20 分欢迎下载精品学习资源另 解 ： 设 ID 的 中 点 为 N ， 就 由 IE DF1MNDFIE ；2， M 为 EF 中 点 知 ， MNIE DF ， 且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 AIIEAIIE，可得， AIIEAIIE，即； 15 分欢迎下载精品学习资源ADDF又AIEDNM ；ADAIDFIE2 DN2MNDNNM欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AIE DNM， EAIMDN ；欢迎下载精品学习资源AEDM ；20 分欢迎下载精品学习资源14. 在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整欢
29、迎下载精品学习资源点三角形；求以点个数；I 2021 ，72021为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形 OAB 的欢迎下载精品学习资源【答案】 不妨设点 A 在第一象限；设xOI，就 tan7 ，直线 OA的斜率kOAtantan1713 ；欢迎下载精品学习资源kOB41tan1744； 5 分3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 A 、 B 为整点，设A4t1 ，3t1 ， B3t2 ，4t2 ，其中t1 ， t2 为正整数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OA5t1 ， OB5t2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 OAB 内切圆的半径 r2OI2522
30、02152021 ；欢迎下载精品学习资源又rOAOBAB，222ABOAOB2r ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2ABOAOB2r 222OAOB；欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源 5t15t2252021 25t125t2 ； 10分222欢迎下载精品学习资源 t1t222021 t1t2 ；欢迎下载精品学习资源设t1x2021 ， t2y2021 ，就 xy 2x2021 2 y2021 2 ；欢迎下载精品学习资源xy2021 x2021y20212 ， x2021 y2021220212252132312 ；欢迎下载精品学习资源15分欢迎下载精品学习资源由 OA2r ， OB2r 知， x2021， y2021 为正整数，又252132312 的正因数有欢迎下载精品学习资源233354 个； 符合条件的 x，y 有 54 组； 符合条件的三角形有 54 个； 20 分欢迎下载精品学习资源15. 假设对任意的正整数 m ，集合m，m