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1、精品学习资源2021 年湖南省高中数学竞赛A 卷2021-06-27 一、选择题每个5 分，共 6 题1. 将选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去年 1 个最低分， 7 个剩余分数的平均分为91，现场做的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法识别， 在图中以 x 表示， 就 7 个剩余分数的方差为欢迎下载精品学习资源A.1169B.36 7C.36D. 677欢迎下载精品学习资源2. 半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球，就小球半径r 可能的最大值是欢迎下载精品学习资源A.3RB. 236R C.361R D.5R 1325欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3.
2、 已知数列 an 和b n 对任意nN ，都有 anbn ，当 n时，数列 an 和b n 的极限分欢迎下载精品学习资源*别是 A 和 B ，就A.ABB.ABC.ABD.A 和 B 的大小关系不确定欢迎下载精品学习资源4. 对全部中意 11nm5 的 m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为欢迎下载精品学习资源mA.6B.9C.12D.151C n cos欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 使关于 x 的不等式x36xk 有解的实数 k 的最大值是欢迎下载精品学习资源A.63 B.3C.63 D.6欢迎下载精品学习资源6. 设 M|x2y2 , x, yZ ，就对任意的整数n，形如
3、 4n,4n+1,4n+2,4n+3 的数中，不欢迎下载精品学习资源是 M 中的元素的数为A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3二、填空题每个8 分，共 6 题7. 已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，就该三角形的周长为：欢迎下载精品学习资源8. 对任一实数序列A 1 ,2,3 ,.，定义 A 为序列 21 ,32 ,43,. ，它的第 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源项是 n 1n ，假定序列A 的全部项都是 1，且19920 ，就 1的值为：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 中意使 I 11223ni 为纯虚数的最小正整数n=欢迎下载精品学习资源
4、10. 将 1， 2， 3， .，9 这 9 个数字填在如下图的9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：欢迎下载精品学习资源11. 记集合 Ta1a22340,1,2,3,4,5,6,Ma3a4| aT ,i1,2,3,4，将 M 中的元素按从欢迎下载精品学习资源i7777大到小次序排列，就第2021 年数是：欢迎下载精品学习资源12. 设直线系M : x cos y2sin102，对于以下四个命题：欢迎下载精品学习资源 M 中全部直线均经过一个定点存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上欢迎下载精品学习资源对于任意整数n
5、 n3 存在正 n 边形，其全部边均在M 中的直线上欢迎下载精品学习资源 M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是：写出全部真命题的代号三、解答题共 4 题，总分值 72 分13. 本小题总分值 16 分如下图， AB 为 RtABC 的斜边， I 为其内心，假设IAB 的外接圆的半径为R， RtABC的内切圆半径为 r，求证： R22 r .欢迎下载精品学习资源14. 本小题总分值 16 分2222欢迎下载精品学习资源22如图， A ，B 为椭圆 xyabxy1 ab0 和双曲线22ab1 的公共顶点， P、Q 分别为双曲欢迎下载精品学习资源线和椭圆上不同于A 、B 的动点，
6、且中意APBPAQBQR,|1欢迎下载精品学习资源求证：三点 O、P、Q 在同始终线上；假设直线 AP、BP、AQ、 BQ 的斜率分别是 k1 、k2 、k3、k 4，就 k 1+k 2+k 3+k 4 是定值；15. 本小题总分值 20 分欢迎下载精品学习资源已 知 整 数 列 a ， b 满 足 aa1 ， b1 ab， 对 于 正 整 数 n， 定 义 函 数欢迎下载精品学习资源nnn 1nn 1nn2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nnnf xx 2a xb ，证明：假设存在某个f x 有两个整数零点，就必有无穷多个f x 有欢迎下载精品学习资源kn两个整数零点；欢迎下载精品学
7、习资源x16. 本小题总分值 20 分欢迎下载精品学习资源已知 a0，函数f xlnxax1, gxe ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源经过原点分别作曲线yf x 和yg x的切线l1 和 l2 ；已知两切线的斜率互为倒数，欢迎下载精品学习资源2求证： e1ae1ee欢迎下载精品学习资源设h xf x1gx ，当 x0 时，h x1 恒成立，试求实数a 的聚会范畴；欢迎下载精品学习资源2021 年湖南省高中数学竞赛答案A 卷欢迎下载精品学习资源BBBADC7.158.8199.310.611. 386240112.欢迎下载精品学习资源13.14.欢迎下载精品学习资源15.欢迎下载精品学习资源16.欢迎下载