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1、2001-2012 年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12 专题）专题 10：四边形一、选择题1. （深圳2003 年 5 分） 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线，若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，则这两个圆的位置关系是【】A、相离 B、相交 C、外切 D、内切【答案】 C。【考点】圆与圆的位置关系，等腰梯形的性质，梯形中位线定理。【分析】根据等腰梯形的中位线=上下底边和的一半，得出高的长，再解出两个圆的半径和，与高的长比较；若 d=R+r 则两圆外切，若d=R-r 则两圆内切，若R-r dR+r 则两圆相交：如图，设AD=x ，BC=y ，则高 =中位线 = 12（x+y）
2、，两圆半径和为：12x+ 12y= 12（x+y）=高，所以两圆外切。故选C。2. （深圳 2006 年 3分） 如图，在ABCD 中， AB: AD = 3:2，ADB=60 ，那么cos的值等于【】36632 2636632 26【答案】 A。【考点】待定系数法，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，解一元二次方程。【分析】由AB: AD = 3:2，设 AB=3 k，AD=2 k。如图，作BE AD于点 E，AE= x，则 DE=2 kx。在 RtBDE中，由锐角三角函数定义，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
3、，共 12 页BE=DEtanADB=3 2kx；在 RtABE中，由勾股定理，得AE2BE2=AB2，即222x3 2kx3k。整理，得224x12kx+3k0，解得36x=k2。当36x=k2时， DE=2 kx=36162kk=k0220 ，HF=362k。方程 x26xk=0 的两个实数根， =624k0又 k=HG GF 0，且362k0，0k9。（2）F 是 BC的中点， H是 AD的中点， 由切线长定理得： AE=AH=HD=DG， EB=BF=FC=CG。AE ： EB=DG ：GC 。 AD/EG/BC。AD HF ，GE HF 。设 DG=DH=a ，CG=CF=b ，AD
4、/EG/BC， DNG DFC ，FMN FHD 。NG ： FC=DG ：DC ， 即 NG:b=a:(a+b) ， MN：HD=NF ：DF=CG ：DC , 即 MN:a=b:(a+b) 。C G D H A E B F O C G D H A E B F O M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页NG=MN 。又由垂径定理得EM=GM，GNNE=13。【考点】等腰梯形的性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解不等式组，切线长定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，
5、垂径定理。【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形HGF ，再根据勾股定理以及根与系数的关系求得 HF的长，根据一元二次方程根的判别式求得k 的取值范围。（ 2）先利用平行线等分线段定理和相似三角形的判定和性质求得NG=MN ，再根据垂径定理可知EM=MG，从而利用合比性质求得GNNE=13。3. （深圳 2004 年 10 分） 等腰梯形 ABCD 中， AB/CD， AD=BC ，延长 AB到 E，使 BE=CD ，连结 CE （1）求证： CE=CA ； （5 分）（2）上述条件下，若AF CE于点 F，且 AF平分 DAE ，52AECD，求 sin CAF 的值。 （5
6、 分）【答案】解： （1）证明：四边形ABDE是等腰梯形， AC=BD 。CD=BE 且 CD BE ，四边形DBEC 是平行四边形。CE=AC 。CE=BD 。（2）CD=BE ，且25CDAE，AB3AE5。AF EC ，BD EC ，AF BD ，设垂足为O，AF平分 DAB ，AF垂直平分BD ，即 BO=12BD=12AC=12CE。BO CE ， ABO AEF 。BOAB3EFAE5，即1CE32EF5。 EF=56CE 。CF=16CE=16AC 。A B E C D A B E C D F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 8 页，共 12 页sin CAF=CF1AC6。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得出AC=BD ，而 CD BE ，因此四边形CEBD 是平行四边形，CE=BD ，因此可得出CE=CA 。（2）要求 CAF的正弦值，就要知道，CF和 AC的比例关系由于BD CE ，AF CE ，那么AF BD ，而 AF平分 DAB ，因此 AF垂直平分BD ， 如果设 AF， BD交于 O点，那么 BO=12BD=12AC=12CE 根据 CD ： AE=2：5，即 B
8、E ：AE=2 ：5，可得出AB ：AE=3：5，有 BO CE ，得出BO ：EF=AB ：AE ，也就求出了BF何 CE的比例关系，便可得出CF 和 EC的比例关系，由于CE=AC ，因此也就得出了CF和 AC的比例关系即可得出 CAF的正弦值。4. （深圳 2006 年 7分） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ， AB=DC=AD ，ADC=1200（1） （分）求证： BD DC （2） （分）若AB=4 ，求梯形ABCD的面积【答案】解： （1） 证明： AD BC ，ADC= 1200， C=600。又 AB=DC=AD ，ABC= C=600，ABD= ADB= DBC=3
9、00。BDC=900。BD DC 。（2）过 D作 DE BC于 E, 在 RtDEC中，C=600， AB=DC=4 ，DE=DCsin600=2 3。在 RtBDC 中， BC=0DC8sin30。ABCD11SADBCDE=482 312 322梯形。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质，垂直的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由等腰梯形和平行的性质，经过等量代换即可证得BDC=900，从而得证。（2）作 DE BC ，由锐角三角函数求出下底BC和高 DE即可求梯形ABCD的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
10、 -第 9 页，共 12 页5.（深圳 2007 年 6 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ，EA AD ，M是 AE上一点， BAE= MCE ， MBE=450（1）求证： BE=ME （2）若 AB=7 ，求 MC 的长【答案】解： （1）证明： AD BC ，EA AD ， DAE= AEB=90 。MBE=45 ， BME=45 =MBE 。BE=ME 。（2） AEB=AEC=90 ， BAE= MCE ，BE=ME ，AEB CEM （ AAS ） 。MC=BA=7。【考点】梯形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已
11、知可得 MBE= BME=45 ，根据等腰三角形等角对等边的判定，得BE=ME 。（2）根据 AAS判定 AEB CEM ，由全等三角形的对应边相等，得MC=AB=7 。6. （深圳 2007 年 9 分） 如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB 的边长为1，点 D 在x轴的正半轴上，且 OD=OB ，BD交 OC于点 E（1）求 BEC的度数（2）求点 E的坐标（3）求过 B，O ，D三点的抛物线的解析式 （计算结果要求分母有理化参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化例如：22 52 55555；11 ( 21)2121( 21)( 21)；15353235( 53)( 53)等运算都
12、是分母有理化）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页【答案】解：(1 ）四边形AOCB 是正方形， OD=OB ， OBD= ODB=22.50。 CBE=22.50。BEC=900CBE=90022.50=67.50。（2）正方形AOCB 的边长为1， OD=OB=2。点 B的坐标为（1，1） ，点 D的坐标为（2，0） 。设直线 BD的解析式为ykxb，则120kbkb，解得1222kb。直线 BD的解析式为1222yx令0 x，22y，点 E的坐标为(0，22） 。（3）设过 B、O 、D三点的抛物线的解析式为
13、2yaxbxc，B（ 1，1） ，O（0，0） ，D（2， 0） ，10220abccabc，解得，12220abc。所求的抛物线的解析式为2( 12)( 22)yxx。【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。【分析】 (1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得BEC的度数。（2）求出点B和 D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令0 x即可求出点E的坐标。（3）由 B、O 、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O ， D三点的抛物线的解析式。7. （深圳 2008 年 7 分） 如图，在梯形ABCD 中，AB DC ， DB 平分 ADC ，过点A作 AE BD ，交 CD的延长线于点 E，且 C2E（ 1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（ 2）若 BDC 30， AD 5，求 CD的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页