2022年中考数学专题复习教学案——与圆有关的位置关系.pdf

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1、与圆有关的位置关系课前热身1. 如图， O的半径为 5，弦 AB 8，M是弦 AB上的动点， 则 OM不可能为（）A2 B3 C4 D5 2. 已知 O的半径 r，圆心 O到直线 l 的距离为 d，当 dr 时，直线l 与O的位置关系是（）A相交 B 相切 C相离 D以上都不对3. 如图，已知AB是O的直径， PB是O的切线， PA交O于 C，AB 3cm，PB 4cm ，则 BC .4. 已知O1与O2的半径分别为5cm和 3cm，圆心距 020=7cm ，则两圆的位置关系为（）A外离 B外切 C相交 D内切5. 若1O与2O相切，且125O O，1O的半径12r，则2O的半径2r是（）A

2、3 B 5 C 7 D 3 或 7 【参考答案】1. A2. B 3.1254.C 5. D 考点聚焦知识点直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理大纲要求1. 理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系2. 能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点3. 能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系考查重点和常考题型1判断基本概念、基本定理等的正误。在

3、中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。3证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。4论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此

4、种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。备考兵法1确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，?涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决2. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的关系 3证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条

5、半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径”考点链接1. 点 与圆的位置关系共有三种 ： ， ；对应的点到圆心的距离d 和半径 r 之间的数量关系分别为：d r ，dr，dr.2. 直线与圆的位置关系共有三种 ： ， ， .对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：d r ，d r ，dr.3. 圆与圆的位置关系共有五种 ：，；两圆的圆心距d 和两圆的半径R、r（Rr ）之间的数量关系分别为：dR r ，dR r ， R rdRr ，dR r ，dRr. 4. 圆的切线过切点的

6、半径；经过的一端，并且这条的直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引条切线，相等，相等. 6. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 心，是三角形的交点 . 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的 . 典例精析例 1 （2009 山西省太原） 如图AB、AC是O的两条弦，A30，过点C的切线与OB的延长线交于点D，

7、则D的度数为【解析】本题考查切线的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系，连接OC ，CD是切线，OCD 90，A30， COD 60，所以 D30【答案】 30例 2(2009 年辽宁本溪 ) 如图所示， AB是O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AECODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当108ABBC，时，求BD的长【答案】（1）直线BD和O相切证明：AECODB，AECABC，ABCODBOD BC，90DBCODB90DBCABC即90DBO直线BD和O相切精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

8、- - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）连接ACAB是直径，90ACB在RtABC中，108ABBC，226ACABBC直径10AB，5OB由（ 1） ，BD和O相切，90OBD90ACBOBD由（ 1）得ABCODB，ABCODBACBCOBBD685BD，解得203BD【点评】 圆的切线有三种判定方法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的 切线在证明时一定要根据题目已知条件合理选择例 3（2009 年四川凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点1O的坐标为(

9、 4 0)，以点1O为圆心， 8 为半径的圆与x轴交于AB，两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60的角，且交y轴于C点，以点2(135)O，为圆心的圆与x轴相切于点D（1）求直线l的解析式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2） 将2O以每秒 1 个单位的速度沿x轴向左平移， 当2O第一次与1O外切时，求2O平移的时间【答案】（1）解：由题意得| 4 | 8|12OA，A点坐标为( 12 0)，在RtAOC中，60OAC，ta

10、n12tan6012 3OCOAOACC点的坐标为(012 3)，设直线l的解析式为ykxb，由l过AC、两点，得12 3012bkb解得12 33bk，直线l的解析式为：312 3yx（2）如图， 设2O平移t秒后到3O处与1O第一次外切于点P，3O与x轴相切于1D点，连接1331O OO D，则13138513O OO PPO，31O Dx轴，O y x C D B A O1O260l O y x C D B A D1O1O2O3P 60l 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共

11、14 页 - - - - - - - - - - 315O D，在131RtO O D中222211133113512O DOOO D1141317O DO OOD，111117125D DO DO D，551t（秒） ，2O平移的时间为5 秒【点评】本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强例 4 （2009 年广西河池） 如图 1， 在O 中， AB为O 的直径，AC是弦，4OC，60OAC（1）求AOC的度数；（2）在图 1 中， P为直径 BA延长线上的一点，当CP与O 相切时，求PO的长；（3） 如图 2，一动点 M从

12、 A点出发，在O上按逆时针方向运动，当MAOCAOSS时，求动点 M所经过的弧长【答案】解： （1） 在ACO中，60OAC，OC OA ACO是等边三角形 AOC 60 （2） CP 与O 相切， OC是半径 CPOC P90- AOC 30 PO2CO 8 . （3）如图 2， 作点C关于直径AB的对称点1M，连结1AM，OM1 易得1M AOCAOSS，160AOM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 144601803AM 当

13、点M运动到1M时，MAOCAOSS，此时点M经过的弧长为43 过点1M作12M MAB交O 于点2M，连结2AM，2OM，易得2MAOCAOSS 112260AOMM OMBOM248233AM或2481201803AM 当点M运动到2M时，MAOCAOSS，此时点M经过的弧长为83 过点C作3CMAB交O 于点3M，连结3AM，3OM，易得3M AOCAOSS 360BOM，234162401803AM M或23816233AM M 当点M运动到3M时，MAOCAOSS，此时点M经过的弧长为163 当点M运动到C时，M与 C重合，MAOCAOSS，此时点M经过的弧长为4203001803或1

14、6 420333【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏迎考精炼一、选择题1 （2009 湖北十堰） 如图， ABC内接于 O ，连结 OA 、OB ，若 ABO 25，则C的度数为（） A55 B 60 C65 D70精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2 （ 2009 年甘肃白银） 如图， O的弦 AB 6，M是 AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（）A5 B4 C3 D 2 3.（2009 年

15、浙江绍兴） 如图，在平面直角坐标系中，P与 x 轴相切于原点O，平行于 y 轴的直线交 P于 M,N两点若点M的坐标是 (2,-1)，则点 N的坐标是（）A(2,-4) B.(2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5) 4.（2009 年湖北襄樊） 如图， AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于C，若25A则D等于（）A40B50C60 D 705. （2009 年浙江台州） 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（）A 外 离B 外 切 相 交D内含6. （2009 年浙江嘉兴） 如图， P内含于 O ， O的弦 AB切 P于点 C，且 A

16、B OP 若阴影部分的面积为9，则弦 AB的长为（）A3B4C6D9 二、填空题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 1. (2009 年四川成都 ) 如图， ABC内接于 O，AB BC ， ABC 120， AD为 O的直径，AD 6，那么 BD _ABCDO2. (2009 年贵州安顺 ) 如图， O的半径 OA 10cm，P为 AB上一动点，则点P到圆心 O的最短距离为 _cm。3(2009 年甘肃定西 ) 如图，在 ABC中

17、，5cmABAC，cosB35如果 O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO cm4 （ 2009年湖南怀化）如图，PA、PB分别切O于点A、B，点E是O上一点，且60AEB，则P_度5 （2009 年广西崇左） 如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心 .EC为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为6.（2009 年山东威海） 如图，O1和O2的半

18、径为 1和 3，连接 O1O2，交O2于点 P，O1O2=8，若将O1绕点P按顺时针方向旋转360，则O1与O2共相切 _次7.（2009 年黑龙江大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为cm5和cm4，这两个圆的圆心距是三、解答题1. (2009 年四川内江 ) 如图，四边形 ABCD 内接于圆， 对角线 AC与 BD相交于点E、F 在 AC上，AB AD ，BFC BAD 2DFC. 求证：（1）CD DF；（2）BC 2CD 2. （2009 年湖北仙桃） 如图， AB为O的直径， D是 O上的一点，过O点作 AB的垂线交AD于点 E，交 BD的延长线于点C，F 为 CE上一点，且FD FE(

19、1) 请探究 FD与 O的位置关系，并说明理由；(2) 若 O的半径为2，BD 3 ，求 BC的长D C E B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3. （2009 年湖南衡阳） 如图， AB是O的直径，弦BC 2cm， ABC 60o（1）求 O的直径；（2）若 D是 AB延长线上一点，连结CD ，当 BD长为多少时， CD与 O相切；（3）若动点 E以 2cm/s 的速度从A点出发沿着AB方向运动， 同时动点F以 1cm

20、/s 的速度从 B点出发沿 BC方向运动， 设运动时间为)20)(tst，连结 EF， 当t为何值时， BEF为直角三角形4 （ 2009 年甘肃兰州） 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB(1) 试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2) 试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；(3) 若8cm10cmABBC，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

21、- - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 参考答案：一、选择题1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6. C 二、填空题1.33 2.6 3.5 4.A5.356.3 7.cm1或cm9三、解答题1. 证： （1）设 DFC ，则 BAD 2在 ABD中， AB AD ， ABD ADB ABD 12（180-BAD ） 90 - 又 FCD ABD 90- FCD+ DFC 90CD DF （2）过 F作 FG BC于 G 在 FGC和FDC中 ， FCG ADB ABD FCD FGC FDC 90,FCFC FGC FDC GC CD且 GFC

22、DFC 又 BFC 2DFC GFB GFC BC2GC ， BC2CD. 2. 解： （1）FD与 O相切，理由如下：连接 OD.OC AB ， AOC 90， 3+A 90 . FE FD， 1 2. 又 2 3， 13，又 OA OD ， A 4. 1+490， FD与 O相切 . （2） O的半径为 2， OB 2，AB 4，又 AB是 O的直径， ADB 90. OC AB ， ADB BOC 90，又 B B，RtABDRt CBO ABCBBDBO，即423CB，8 33BC. 3. 解： （1）AB是O的直径（已知）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

23、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ACB 90o（直径所对的圆周角是直角） ABC 60o（已知） BAC 180o ACB ABC 30 o（三角形的内角和等于180o）AB2BC 4cm （直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半）即 O的直径为 4cm （2）如图（ 1）CD切 O于点 C ，连结 OC ，则 OC OB 1/2 AB 2cm CD CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） OCD 90o（垂直的定义） BAC 30 o（已求） COD 2BAC 60 o （

24、在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） D180o COD OCD 30 o（三角形的内角和等于180o）OD 2OC 4cm （直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半）BDOD OB 422（cm ）当 BD长为 2cm，CD与 O相切（3）根据题意得：BE （ 42t ）cm，BF tcm；如图（ 2）当 EFBC时， BEF为直角三角形，此时BEF BAC BE：BA BF：BC 即： （42t ） ：4t：2 解得： t 1 如图 10（3）当 EFBA时， BEF为直角三角形，此时BEF BCA BE：BC BF：BA 即： （42t ） ：2t：4

25、解得： t 1.6 当 t 1s 或 t 1.6s 时， BEF为直角三角形4. 解： （1）BC所在直线与小圆相切，理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E，AC是小圆的切线，AB经过圆心O，OAAC，又CO平分ACBOEBC，OEOABC所在直线是小圆的切线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）AC+AD=BC。理由如下：连接ODAC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，CECA在RtOAD与RtOEB中，90OAOEODOBOADOEB，RtRtOADOEB（HL） ，EBADBCCEEB，BCACAD （ 3）90BAC，8106ABBCAC，BCACAD，4ADBCAC圆环的面积)(2222OAODOAODS又222ODOAAD，22164cmS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -