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1、与圆有关的位置关系锁定目标考试 考标要求考查角度1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系2知道三角形的内心和外心3了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质， 会过圆上一点画圆的切线 .直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中. 导学必备知识 知识梳理一、点与圆的位置关系1点和圆的位置关系点在圆 _，点在圆 _，点在圆 _2点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的
2、距离为d，那么点在圆外_；点在圆上_；点在圆内_. 3过三点的圆(1)经过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的 _；这个三角形叫做这个圆的内接三角形二、直线与圆的位置关系1直线和圆的位置关系_、_、_. 2概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的_；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； (3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_3直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r
3、，直线 l 到圆心的距离为d，那么直线l 和 O 相交_；直线 l 和 O 相切_；直线 l 和 O 相离_. 三、切线的判定和性质1切线的判定方法(1)经过半径的 _并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离 _半径的直线是圆的切线2切线的性质圆的切线垂直于经过_的半径3切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角四、三角形 (多边形 )的内切圆1与三角形 (多边形 )内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_，这个三角形叫做圆的_三角形；精品资料 - - - 欢迎下载 - -
4、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - (2)和多边形各边都_的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形2三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条_ _的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部五、圆与圆的位置关系1概念两圆外离： 两个圆 _公共点， 并且一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆外切： 两个圆有 _的公共点， 并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆相交：两个圆有_公共点；两圆内切：两个圆有_的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的
5、点都在另一个圆的_；两圆内含： 两个圆 _公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的_2圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R 和 r，圆心距为O1O2D两圆外离d_；两圆外切d_；两圆相交_d_(Rr)；两圆内切d_(Rr)；两圆内含_d_(Rr)六、两圆位置关系的相关性质1两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过_(2)相交两圆的连心线垂直平分_2两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦(2)两圆相切，可作公切线自主测试1在数轴上，点A 所表示的实数为3，点 B 所表示的实数为a， A 的半径为2.下列说法中不正确的是() A当 a5 时，点 B 在 A 内B当 1a5
6、 时，点 B 在 A 内C当 a1 时，点 B 在 A外D当 a5 时，点 B 在 A 外2 (2012 江苏无锡 )已知 O 的半径为 2，直线 l 上有一点 P 满足 PO2， 则直线 l 与 O的位置关系是 () A相切B相离C相离或相切D相切或相交3(2012 湖北恩施 )如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和 5 cm，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为 () A3 cm B4 cm C6 cm D8 cm 4如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
7、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A内切、相交B外离、相交C外切、外离D外离、内切5 (2012 四川乐山 )O1的半径为 3 厘米，O2的半径为2 厘米，圆心距 O1O25 厘米，这两圆的位置关系是() A内含B内切C相交D外切6如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为_7(2012 山东济宁 )如图， AB 是O 的直径， AC 是弦， OD AC 于点 D，过 A 作 O的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点P，连接 PC，BC(1)猜想：线段OD 与 BC 有何数量和位置关系
8、，并证明你的结论；(2)求证： PC 是O 的切线探究重难方法 考点一、点与圆的位置关系【例 1】 矩形 ABCD 中，AB8，BC35，点 P 在边 AB 上，且 BP3AP，如果圆 P是以点 P 为圆心， PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是() A点 B，C 均在圆 P 外B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D点 B， C 均在圆 P 内解析： 画出矩形后求解出DP 的长度即圆的半径，然后求出BP，CP 的长度与DP 的长度作比较就可以发现答案在 RtADP 中，DPAD2AP27，在 RtBCP 中，BP 6，PCBC2BP29.
9、PCDP，BPDP，点 B 在圆 P 内，点 C 在圆 P 外答案： C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 方法总结解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系触类旁通1若 O 的半径为5 cm，点 A 到圆心 O 的距离为4 cm，那么点 A 与 O 的位置关系是 () A点 A 在圆外B点 A 在圆上C点 A 在圆内D不能确定考点二、切线的性质与判定【例 2】 如图
10、所示， AC 为 O 的直径且 PA AC，BC 是 O 的一条弦，直线PB 交直线 AC 于点 D，DBDPDCDO23. (1)求证：直线PB 是 O 的切线；(2)求 cosBCA 的值分析： (1)连接 OB，OP，由DBDPDCDO23，且 DD，根据三角形相似的判定定理得到BDC PDO，可得到 BCOP，易证得 BOP AOP，则 PBOPAO90 ；(2)设 PBa，则 BD2a，根据切线长定理得到P APBa，根据勾股定理得到AD22a，又 BCOP，得到 DC2CO，得到 DCCA1222a2a，则 OA22a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBC
11、AcosPOA 的值解： (1)证明：连接OB，OP，DBDPDCDO23，且 DD， BDC PDO， DBC DPO，BCOP， BCO POA，CBO BOP. OBOC， OCBCBO， BOPPOA又OBOA，OPOP， BO P AOP， PBOPAO. 又P AAC， PAO90 ， PBO90 ，直线 PB 是O 的切线(2)由(1)知BCOPOA，设 PBa，则 BD2a，又P APB a，ADDP2PA22 2A又BC OP，DC2CO，DCCA12AD122 2a2a，OA22a，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
12、纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - OPOA2PA222a2a262a，cosBCAcosPOAOAOP33. 方法总结1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一； 当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明2利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角触类旁通2如图， AD 是 O 的弦，AB 经过圆心O，交 O 于点 C，DAB B30 . (1)直线 BD 是否与 O 相
13、切？为什么？(2)连接 CD，若 CD5，求 AB 的长考点三、三角形的内切圆【例 3】 如图，在RtABC中， C=90， AC=6 ，BC=8. 则 ABC的内切圆半径r=_. 解析： 在 RtABC 中，ABAC2BC26282 10. SACB12AC BC126824，r2Sabc4868102. 答案： 2 方法总结三角形的内切圆半径r2Sabc，其中 S是三角形面积，a，b，c 是三角形三边长触类旁通3如图所示， O 是 ABC 的内切圆， 切点分别是D，E，F，已知 A=100 ，C=30，则 DFE 的度数是 () A55 B60 C65 D70考点四、圆与圆的位置关系【例
14、4】在 ABC 中， C90 ，AC3 cm，BC4 cm，若 A， B 的半径分别为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 1 cm,4 cm，则 A， B 的位置关系是 () A外切B内切C相交D外离解析： 如图所示，由勾股定理可得ABAC2BC232425(cm)， A，B 的半径分别为1 cm,4 cm，圆心距 dRr，A，B 的位置关系是外切答案： A 方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交； 两圆无公共
15、点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可触类旁通4 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为_品鉴经典考题 1 (2012 湖南常德 )若两圆的半径分别为2和 4， 且圆心距为7， 则两圆的位置关系为() A外切B内切C外离D相交2(2012 湖南怀化 )如图，点P 是O 外一点， PA 是 O 的切线，切点为A， O 的半径 OA2 cm， P30 ，则 PO_cm. 3(2012 湖南湘潭 )如图， ABC 的一边 AB 是 O 的直径，请你添加一个条件，使BC是
16、O 的切线，你所添加的条件为_4.(2012 湖南株洲 )如图，已知AD 为O 的直径， B 为 AD 延长线上一点，BC 与 O 切于 C 点， A30 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 求证： (1)BDCD；(2)AOCCDB5. (2012 湖南常德 )如图，已知ABAC，BAC120 ，在 BC 上取一点O，以 O 为圆心， OB 为半径作圆，且O 过点 A，过点 A 作 ADBC 交 O 于点 D求证： (1)AC
17、 是O 的切线；(2)四边形 BOAD 是菱形研习预测试题 1如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是() A点 (0,3) B点(2,3) C点 (5,1) D点 (6,1) 2如图， AB 为O 的直径， PD 切 O 于点 C，交 AB 的延长线于D，且 COCD，则 PCA() A30 B45 C60 D67.5 3如图， O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PB切 O 于点 B，则 PB 的最小值是 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
18、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A13 B5C3 D2 4两圆的半径分别为3 和 7，圆心距为7，则两圆的位置关系是() A内切B相交C外切D外离5两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0,1)，它们的半径分别是3 和 5，则这两个圆的位置关系是 () A相离B相交C外切D内切6如图， ACB60 ，半径为 1 cm 的O 切 BC 于点 C，若将 O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到 O 与 CA 相切时，圆心O 移动的水平距离是_cm. 7如图，直线AB 与半径为2 的 O 相切于点C，D 是
19、 O 上一点，且 EDC30 ，弦 EFAB，则 EF 的长度为 _8 如图所示，AB 是 O 的直径，以 OA 为直径的 O1与 O 的弦 AC 相交于 D， DEOC，垂足为 E. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - (1)求证： ADDC；(2)求证： DE 是O1的切线；(3)如果 OEEC，请判断四边形O1OED 是什么四边形，并证明你的结论参考答案【知识梳理】一、 1.外上内2drdrdr3(2)外心二、 1.相离相切相
20、交2(1)相交割线(2)相切(3)相离3dr三、 1.(1)外端(2)等于2.切点四、 1.(1)相切内心外切(2)相切2角平分线五、 1.没有外部唯一外部两个唯一内部没有内部2RrRrRrRrRr 0Rr六、 1.(1)切点(2)公共弦导学必备知识自主测试1A 2D因为 O 的半径为 2，PO2，则直线 l 与O 至少有一个交点，则直线 l 与O的位置关系是相切或相交3C设切点为 E，连接 OA，OE.在 RtOAE 中， AE52423(cm)，所以 AB6 cm. 4B5.D6.23 7解： (1)ODBC，OD12BC. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -
21、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 证明： ODAC，ADDC. AB 是 O 的直径，OAOB，BCAC，OD 是ABC 的中位线，ODBC，OD12BC. (2)证明：连接OC.设 OP 与O 交于点 E，连接 AE，CE. ODAC，OD 经过圆心 O，?AECE，即AOECOE. 在OAP 和OCP 中，OAOC，OPOP， OAPOCP， OCP OAP. P A 是O 的切线， OAP90 ， OCP90 ，即 O CPC.PC 是 O 的切线探究考点方法触类旁通 1.C 触类旁通2
22、.分析： (1)连接 OD，证明 ODB90 即可； (2)利用 30 所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证 BCCD5. 解： (1)直线 BD 与 O 相切理由如下：如图，连接OD， ODA= DAB= B=30 ， ODB180 ODA DABB180 30 30 30 90 ，即 ODBD. 直线 BD 与O 相切(2)由(1)知， ODA DAB30 ， DOBODADAB 60 . 又OCOD， DOC 是等边三角形OAODCD5. 又 B30 ，ODB90 ，OB2OD10. ABOAOB510 15. 触类旁通 3.C A100 ，C30 ，精品资料 - - - 欢迎下载
23、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - B180 AC50 . ODAB，OEBC， DOE180 B130 . DFE12DOE65 . 触类旁通 4.3 或 17由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为dRr，即|10r|7，所以 r 3 或 17. 品鉴经典考题1C2467，两圆外离24PA 是O 的切线， OAP90 . P30 ，PO2OA224(cm)3ABBC根据切线的判定方法，BC 已经过半径的外端，所以应添加AB BC. 4证明： (1)AD
24、 为O 的直径， ACD90 . 又 A30 ，OAOCOD， ACO30 ，ODC OCD60 . 又BC 与O 切于点 C， OCB90 .BCD 30 . B30 . BCDB. BDCD. (2) AACOBCDB30 ，ACBC.AOCBDC. 5证明： (1)ABAC， BAC120 ， ABCC30 . 点 A，B 都在O 上， OAOB. BAOABC30 . OAC BACBAO120 30 90 . 又 OA 为半径， CA 经过点 A，CA 是 O 的切线(2)如图，连接DO，ADBC， DAB= ABC=30 . BOD=2 DAB=60 . ADO= BOD=60 .
25、 又BO=DO ， BOD= ODB= DBO=60 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - BO=DO=DB. 同理 AD=DO=AO. AD=DB=BO=AO. 四边形 BOAD 是菱形研习预测试题1C2.D3.B4.B 5D因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x 轴和 y 轴上，与坐标原点构成直角三角形，所以圆心距为( 3)2122. 而两圆的半径之差等于2，即 dr1r2(r1r2)所以两圆内切6. 3 7. 2 3如图，连
26、接OE，OC，OC 与 EF 交于 G 点 AB 是 O 的切线，OCAB. EFAB ，OCEF. EG=12EF. O=2D=60，EG=OEsin 60=3.EF=23. 8. 解： (1)证明：如图，连接OD，AO 是O1的直径， ADO=90 .AC 为O 的弦， ODAC ， AD=DC. (2)证明： D 为 AC 中点， O1为 AO 中点， O1DOC. 又 DEOC， DEO1D. DE 与 O1相切(3)O1OED 为正方形证明： OE=EC，且 D 为 AC 中点，DEO1O.又O1DOE，四边形 O1OED 为平行四边形又 DEO=90 ， O1O=O1D，四边形 O1OED 为正方形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -