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1、二次函数图像与系数关系一选择题（共9 小题）1 （2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（ 1，0） ，顶点坐标为（1，n） ，与 y轴的交点在（ 0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） ，则下列结论： 当 x3 时， y0； 3a+b0； 1 a ； 3 n 4 中，正确的是（）A B C D 考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：计 算题；压轴题分析： 由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（ 1， 0） ，得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项 作出判断； 根据抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得b 与 a 的关系是b=2a，将其代入（
2、3a+b） ，并判定其符号； 根据两根之积=3，得到 a=，然后根据c 的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围； 把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用 c 的取值范围可以求得n 的取值范围解答： 解 ： 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1，0） ，对称轴直线是x=1，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0） ，根据图示知，当x3 时，y 0故 正确； 根据图示知，抛物线开口方向向下，则a0对称轴x=1，b=2a，3a+b=3a2a=a0，即 3a+b0故 错误； 抛物线与x 轴的两个交点坐标分别是（1，0） ， （3，0） ， 1 3=3，=3
3、，则 a=抛物线与y 轴的交点在（ 0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） ，2 c 3， 1 ，即 1 a 故 正确；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 根据题意知，a=，=1，b=2a=，n=a+b+c=c2 c 3， c 4，即 n 4故 错误综上所述，正确的说法有故选 D点评： 本 题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确
4、定2 （2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分， 其对称轴为x=1，且过点 （ 3，0） 下列说法： abc0； 2ab=0； 4a+2b+c0； 若（ 5，y1） ， （， y2）是抛物线上两点，则y1y2其中说法正确的是（）A B C D 考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 根 据图象得出a0，b=2a0，c0，即可判断 ；把 x=2 代入抛物线的解析式即可判断 ，求出点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3， y1） ，根据当x 1 时， y 随 x 的增大而增大即可判断 解答： 解 ：二次函数的图象的开口向上，a0，二次函数的图象y
5、轴的交点在y 轴的负半轴上，c0，二次函数图象的对称轴是直线x=1，=1，b=2a0，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - abc0， 正确；2ab=2a2a=0， 正确；二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（ 3，0） 与 x 轴的另一个交点的坐标是（1，0） ，把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c0， 错误；二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x=1，点（ 5，y
6、1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1） ，根据当 x1 时， y 随 x 的增大而增大，3，y2y1， 正确；故选 C点评： 本 题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力3 （2013?十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） 下列结论： ab0， b24a， 0a+b+c2， 0b1， 当 x 1时， y0，其中正确结论的个数是（）A5 个B4个C3 个D2 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 由 抛物线的对称轴在y 轴右侧，可以判定a、b 异号，由此确定
7、 正确；由抛物线与x 轴有两个交点得到b24ac0，又抛物线过点（0，1） ，得出 c=1，由此判定 正确；由抛物线过点（1，0） ，得出 ab+c=0，即 a=b1，由 a0 得出 b1；由 a0，及 ab0，得出 b0，由此判定 正确；由 ab+c=0，及 b0 得出 a+b+c=2b0；由 b1， c=1，a0，得出 a+b+ca+1+12，由此判定 正确；由图象可知，当自变量x 的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根之间时，函数值y0，由此判定 错误解答： 解 ：二次函数y=ax2+bx+c （ a 0）过点（ 0，1）和（ 1，0） ，c=1，ab+c=0 抛物线的对
8、称轴在y 轴右侧， x=0，a与 b 异号， ab0，正确； 抛物线与x 轴有两个不同的交点，b24ac0，c=1， b24a0，b24a，正确； 抛物线开口向下，a0，ab0， b0ab+c=0，c=1， a=b1，a0，b10，b1，0b1，正确；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ab+c=0， a+c=b，a+b+c=2b0b1，c=1，a0，a+b+c=a+b+1a+1+1=a+20+2=2，0a+b+c2，正确； 抛物线
9、 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0） ，设另一个交点为（x0， 0） ，则 x0 0，由图可知，当x0 x 1 时， y0，错误；综上所述，正确的结论有故选 B点评： 本 题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质， 难度适中二次函数y=ax2+bx+c（a 0） ，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a的符号决定； c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线与x 轴的交点个数，决定了b24ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换4（2012?沙坪坝区模拟） 二次函数 y=ax2+bx+c （a 0） 的图象如图所示， 则下列
10、结论中， 正确的是（）Aabc0 Ba+cb Cb2a D4a2bc 考点 ：二 次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）专题 ：压 轴题分析： 由 抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解： A、图象开口向下， a0，与 y 轴交于正半轴， c0，对称轴在y 轴左侧， 0， b0， abc0，故本选项错误；B、当 x=1 时，对应的函数值y0，即 ab+c0， a+cb，故本选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x= 1，又 a0， b2a，故本选项正确；D、当 x=2
11、时，对应的函数值y0，即 4a2b+c0， 4a2b c，故本选项错误故选 C点评： 本 题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等5 （2013?鄂州） 小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象中， 观察得出了下面五条信息： ab0； a+b+c0； b+2c0； a2b+4c0；你认为其中正确信息的个数有（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - -
12、 - - A2 个B3个C4 个D5 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 由 抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解 ： 如图，抛物线开口方向向下，a0对称轴x=， b=a0，ab0故 正确； 如图，当x=1 时， y0，即 a+b+c0故 正确； 如图，当x=1 时，y=ab+c0，2a2b+2c0，即 3b2b+2c0，b+2c0故 正确； 如图，当x=时， y0，即ab+c0a2b+4c0，故 正确； 如图，对称轴x=，则故 正确综上所述
13、，正确的结论是，共 5 个故选 D点评： 本 题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定6 （2013?德州）函数y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论： b24c0； b+c+1=0； 3b+c+6=0； 当 1x3 时， x2+（b1） x+c0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 其中正确的个数为（）A1B2
14、C3D4考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 由 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b24c0； 当 x=1 时， y=1+b+c=1 ； 当 x=3 时， y=9+3b+c=3 ；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cx，继而可求得答案解答： 解 ：函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，b24c0；故 错误；当 x=1 时，y=1+b+c=1 ，故 错误；当 x=3 时， y=9+3b+c=3 ，3b+c+6=0； 正确；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+c x，x2+（b1）x+c0故 正确故选 B点评：
15、主 要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用7 （2012?天门）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（1， 0） ，（3，0） 对于下列命题： b2a=0； abc0； a2b+4c0； 8a+c0其中正确的有 （）A3 个B2个C1 个D0 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 首 先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y 轴交点可得c0，再根据二次函数的对称轴 x=，结合图象与x 轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出 的正误；根据对称轴公式结合a 的取值可判定出b0，根据
16、 a、b、c 的正负即可判断出 的正误；利用 ab+c=0，求出 a2b+4c0，再利用当x=4 时， y0，则 16a+4b+c0，由 知， b=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2a，得出 8a+c0解答： 解 ：根据图象可得：a0，c0，对称轴： x=0， 它与 x 轴的两个交点分别为（1，0） ， （3，0） ，对称轴是x=1，=1，b+2a=0，故 错误； a0，b0，c0，abc0，故 错误； ab+c=0，c=ba，
17、a2b+4c=a2b+4（ba）=2b3a，又由 得 b=2a，a2b+4c=7a0，故此选项正确； 根据图示知，当x=4 时， y0，16a+4b+c0，由 知， b=2a，8a+c0；故 正确；故正确为： 两个故选： B点评： 此 题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口； 一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当a 与 b 同号时（即ab0） ，对称轴在y 轴左；当 a 与 b异号时 （即 ab0） ，对称轴在y 轴右 （简称：左同右异） 常数项 c 决定抛物线与y 轴交
18、点，抛物线与y 轴交于（ 0，c） 8 已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示， 下列结论中： abc0； 2a+b0； a+b m（am+b） （m 1 的实数）； （a+c）2b2； a1，其中正确的是（）A2 个B3个C4 个D1 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系分析： 由 抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 抛物线
19、与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解 ： 抛物线的开口向上，a0，与 y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，c0，对称轴为x=0，a、b 异号，即 b0，又 c0， abc0，故本选项正确； 对称轴为x=0，a0，1， b2a，2a+b0；故本选项错误； 当 x=1 时，y1=a+b+c；当 x=m 时， y2=m（am+b）+c，当 m1，y2y1；当 m1，y2y1，所以不能确定；故本选项错误； 当 x=1 时，a+b+c=0；当 x=1 时， ab+c0；（ a+b+c） （ab+c）=0，即（ a+c）2b2=0，（ a+c）2=b2故本选项错误； 当 x=1 时，
20、ab+c=2；当 x=1 时，a+b+c=0，a+c=1，a=1+（c） 1，即 a1；故本选项正确；综上所述，正确的是有 2 个故选： A点评： 本 题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0；否则 a0；（2）b 由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c0；否则 c0；（4）b24ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2 个交点， b24ac0；1 个交
21、点， b24ac=0，没有交点， b24ac09 （2013?莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象如图所示，有下列5 个结论： abc0； ba+c； 4a+2b+c0； 2c3b； a+bm（am+b） （m 1 的实数）其中正确的结论有（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A2 个B3个C4 个D5 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题；数形结合分析： 观 察图象：开口向下得到a0；对
22、称轴在y 轴的右侧得到a、b 异号，则b0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c0，所以 abc0；当 x= 1 时图象在x 轴下方得到y=ab+c0，即 a+cb；对称轴为直线x=1，可得 x=2 时图象在x 轴上方，则y=4a+2b+c0；利用对称轴x=1 得到 a=b，而 ab+c0，则bb+c0，所以 2c3b；开口向下，当x=1，y 有最大值 a+b+c，得到 a+b+cam2+bm+c，即 a+bm（am+b） （m 1） 解答： 解 ：开口向下， a0；对称轴在y 轴的右侧， a、b 异号，则b0；抛物线与y 轴的交点在x轴的上方， c0，则 abc0，所以 不正确；当 x=
23、1 时图象在 x 轴下方，则y=ab+c0，即 a+c b，所以 不正确；对称轴为直线x=1，则 x=2 时图象在 x 轴上方，则y=4a+2b+c0，所以 正确；x=1，则 a=b，而 ab+c0，则bb+c0，2c3b，所以 正确；开口向下， 当 x=1，y 有最大值a+b+c；当 x=m（m 1）时，y=am2+bm+c，则 a+b+cam2+bm+c，即 a+bm（am+b） （m 1） ，所以 正确故选 B点评： 本 题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象，当a 0，开口向上，函数有最小值，a0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，
24、a 与 b 同号，对称轴在y 轴的左侧， a 与 b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c0，抛物线与y 轴的交点在 x 轴的上方；当 =b24ac0，抛物线与x 轴有两个交点二填空题（共1 小题）10 （2013?柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c （a，b， c是常数， a 0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示对于下列说法： abc0； 当1x3 时， y 0； 3a+c0； ab+c0，其中正确的是（把正确的序号都填上）考点 ：二 次函数图象与系数的关系分析： 由 抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物
25、线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解 ：根据图象可得：a0，b0，c0则 abc0，故 正确；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当 1x3 时图象在 x 轴的上方，且有的点在x 轴的下方，故 错误；根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即=1，则 b=2a那么当x=1 时， y=ab+c=a+2a+c=3a+c0，故 正确；当 x=1 时， y=ab+c 一定在 x 轴的下方，因而ab+c0，故 正确故
26、答案是： 点评： 主 要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用（2013?绵阳）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论： 2a+b0； bac； 若 1mn1，则 m+n； 3|a|+|c|2|b|其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析： 分 别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y 轴交点得出a， b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项解答： 解 ：抛物线开口向下，a0， 2a0，对称轴 x=1， b2a， 2
27、a+b0，故选项 正确； b2a， b 2a0a，令抛物线解析式为y=x2+bx，此时 a=c，欲使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和 2，则=，解得： b=，抛物线y=x2+x，符合 “ 开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0 与 1 之间，对称轴在直线x=1 右侧 ” 的特点，而此时a=c， （其实 ac，ac，a=c 都有可能），故 选项错误； 1m n1， 2m+n2，抛物线对称轴为：x=1，2，m+n，故选项 正确；当 x=1 时， a+b+c0，2a+b0，3a+2b+c0，3a+c2b， 3ac2b，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
28、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - a0，b0，c0（图象与y 轴交于负半轴） ，3|a|+|c|=3ac2b=2|b|，故 选项正确故答案为： 点评： 此 题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n 的取值范围是解题关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -