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1、精选优质文档-倾情为你奉上构造函数解决高考导数问题1.（2015课标全国理）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A B C D2. （2016课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 3.（2016北京理）（本小题13分）设函数f (x)=x+bx，曲线y=f (x)在点(2,f (2)处的切线方程为y=(e1)x+4，（I）求a,b的值； (II) 求f (x)的单调区间4.（2017全国III卷文）（12分）已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论的单调性；（2）当a0时，证明5. （2016四
2、川卷文）（本小题满分14分）设函数f (x)=ax2alnx，g(x)=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f (x)的单调性；（）证明：当x1时，g(x)0；（）确定a的所有可能取值，使得f (x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.6.（2016课标全国文）（本小题满分12分） 已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.7.（2017天津文）（本小题满分14分）设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.8.（20
3、16江苏）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=求方程f（x）=2的根；若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1，b1，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，求ab的值9. （2016山东理） (本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.10. (2017江苏文)（本小题满分16分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b3a;(3)若， 这两个函数的所有
4、极值之和不小于，求a的取值范围.构造函数解决高考导数问题答案1.（2015课标全国理）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A B C D【答案】D 【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，即存在唯一的整数x0，使(2x01)a(x01)设g(x)ex(2x1)，h(x)a(x1)g(x)ex(2x1)2exex(2x1)，从而当x时，g(x)单调递减；当x时，g(x)单调递增又h(x)a(x1)必过点(1，0)，g(0)1，当g(0)h(0)时，a1.而g(1)，当g(1)h(1)时，a，要满足题意，则a1，选D.【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x0，
5、使得f(x0)0”转化为“若存在唯一的整数x0，使得(2x01)a(x01)”测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想2.（2016课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+)的切线，则b= 【答案】1ln 2【解析】设ykxb切yln x2的切点为(x1，y1)，切yln (x1)的切点为(x2，y2)由导数的几何意义和切点的特征可知 由消去x1，y1整理可得b1ln k，由消去x2，y2整理可得bln kk1.联立可得1ln kln kk1，k2，b1ln k1ln 2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数
6、的几何意义，构建等量关系还需注意切点既在函数图像上，也在切线上对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达求解测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分3.（2016北京理）（本题满分13分）设函数f (x)=x+bx，曲线y=f (x)在点(2,f (2)处的切线方程为y=(e1)x+4，（I）求a,b的值； (II) 求f (x)的单调区间解：(1)因为f (x)xea-xbx，所以f (x)(1x)ea-xb.依题设，有即解得a2，be.
7、 (2)由(1)知f (x)xe2-xex，由f (x)e2-x(1xex-1)及e2-x0知，f (x)与1xex-1同号令g(x)1xex-1，则g(x)1ex-1.令g (x)0，得x1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f (x)0，x(，)故f (x) 的单调递增区间为(，)【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错4.（2017全国III卷文）（12分）已知函数=lnx+ax2+(2a+
8、1)x（1）讨论的单调性；（2）当a0时，证明解：（1）当时，则在单调递增当时，则在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，令 （），令，解得在单调递增，在单调递减.，即，.5.（2016四川卷文）（本题满分14分）设函数f (x)=ax2alnx，g(x)=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f (x)的单调性；（）证明：当x1时，g(x)0；（）确定a的所有可能取值，使得f (x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.解：(1) f (x)2ax(x0)当a0时，f (x)0时，由f (x)0得x.当x时，f (x)0，f (x)单调递增 (2)证明：令s(x)ex-1x
9、，则s(x)ex-11.当x1时，s(x)0，所以ex-1x，从而g(x)0. (3)由(2)知，当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f (x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f0.所以此时f (x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当a时，令h(x)f (x)g(x)(x1)，则h(x)2axe1-xx0.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又因为h(1)0，所以当x1时，h(x)f (x)g(x)0，即f (x)g(x)恒成立综上，a.【点评】关键点拨：第(1)问中对a的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是
10、难点测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题(2)考生失分主要体现两点：分类讨论不全面；在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误6.（2016课标全国文）（本小题满分12分） 已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.解：(1)f (x)的定义域为(0，)，当a4时，f (x)(x1)ln x4(x1)，f (x)ln x3，f (1)2，f(1)0.所以曲线yf (x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20. (2)当x(1，)时，f (x)0等价于ln x0.设
11、g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)0，所以m对于任意xR恒成立而f (x)24，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f (x)2有且只有1个零点，而g(0)f(0)2a0b020，所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1知ln a0，所以g(x)0有唯一解x0l
12、og.令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.若x00，则x00，于是galog20，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0a1，所以loga20又0，所以x10，同理可得，在和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾因此，x00.于是1，故lg aln b0，所
13、以ab1.【解析】【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，意在让学生得分(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误9.（2016山东理） (本题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立解：(1)f (x)的定义域为(0，)，f (x)a.当a0时，x(0，1)时，f (x)0，f
14、 (x)单调递增，x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递减当a0时，f (x) .0a2时，1， 当x(0，1)或x时，f (x)0，f (x)单调递增，当x时，f (x)0，f (x)单调递减a2时，1，在x(0，)内，f (x)0，f (x)单调递增a2时，01， 当x或x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递增，当x时，f (x)0，f (x)单调递减综上所述，当a0时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f (x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a2时，f (x)在(0，)内单调递增；当a2时，f (x)在内单调递增，在内
15、单调递减，在(1，)内单调递增 (2)由(1)知a1时，f (x)f (x)xln xxln x1，x1，2设g(x)xln x，h(x)1，x1，2，则f (x)f (x)g(x)h(x)由x1，2，得g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号又h(x).设(x)3x22x6，则(x)在x1，2内单调递减因为(1)1，(2)10，所以x0(1，2)，使得x1，x0)时，(x)0，x(x0，2时，(x)0.所以h(x)在1，x0)内单调递增，在(x0，2内单调递减由h(1)1，h(2)，可得h(x)h(2)，当且仅当x2时取得等号所以f (x)f (x)g(1)h(2)，即f
16、(x)f (x)对于任意的x1，2成立【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系证明函数不等式f (x)g(x)，主要有两种方法：一是构造函数h(x)f (x)g(x)，将问题转化为函数h(x)f (x)g(x)的最小值大于0；二是证明f (x)ming(x)max.测训诊断：本题难度大，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想，考查分析解决问题的能力、推理能力若错一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0，)；二是在第(1)问
17、中不能准确地对参数a进行分类讨论；三是(2)中的求解在构造函数f (x)f (x)xln x1后不能将函数分解为g(x)xln x与h(x)1两个函数，而是将等式右边的式子作为一个整体构造函数，从而不能求得其最值10. (2017江苏文)（本小题满分16分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b3a;(3)若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围.解：（1）因为，令，解得，所以，所以，因为，所以.（2），因为对称轴，所以，所以b3a.（3）由（1）可设的极值点的横坐标为，；极值点为，由（1）得 即解得. 专心-专注-专业