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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题3.3 定积分考点分析定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义知识链接1、相关术语：对于定积分（1）称为积分上下限，其中（2）：称为被积函数（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分
2、的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心： 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数） 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位
3、于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设存在（1）作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度（2）作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如（3），其中作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若为奇函数，则（2）若为偶函数，则6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数（3）若时，始终有，则该处面积为7
4、、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。融会贯通题型一定积分的计算典例1(1)(2017九江模拟)若(2x)dx2(R)，则等于()A0 B1 C2 D1(2)定积分|x22x|dx等于()A5 B6 C7 D8【答案】(1)B(2)D【解题技巧与方法总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2
5、)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分【变式训练】(1)若则实数a的值为()A1 B1 C D.(2)设f(x)则f(x)dx等于()A. B. C. D.【答案】 (1)A(2)C【解析】 0a(10)1a2，a1.(2)f(x)dxx2dx(2x)dxx3|(2xx2)|(44)(2).题型二定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分典例2(1)计算： dx_.(2)若 dx，则m_.【答案】(1)(2)1命题点2求平面图形的面积典例3(2017青岛月考)由曲线xy1，直线yx
6、，y3所围成的封闭平面图形的面积为_【答案】4ln 3【解析】由xy1，y3可得交点坐标为(，3)由xy1，yx可得交点坐标为(1,1)，由yx，y3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy1，直线yx，y3所围成图形的面积为(31ln 3)(93)4ln 3.【解题技巧与方法总结】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案【变式训练】(1)定积分dx的值为()A9 B3C. D.(2)由曲线y
7、2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_【答案】(1)C(2)题型三定积分在物理中的应用典例4一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2【答案】C【解析】令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离s(73t)dt|282425ln 5425ln 5. 【解题技巧与方法总结】定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv
8、(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【变式训练】一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为()A. J B. J C. J D2 J【答案】C【知识链接】1定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3
9、)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)练习检测1【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题】已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 2【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学（理）试卷】如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线， 所围成的阴影部分的面积为（ ）A. 1 B
10、. C. 2 D. 【答案】D【解析】 ，选D.3【江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理）试题】如图，在边长为的正方形中， 是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 4【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试理科数学试卷】若，则二项式展开式中的常数项是（ ）A. 20 B. -20 C. -540 D. 540【答案】C【解析】由题意可知,二项式变为,所以,系数为-540.所以选C.5. （2017甘肃兰州第一中学冲刺模拟，8）. 任取实数，则满足的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图
11、示：， ，满足条件的概率为：，故选D.6. （2017重庆巴蜀中学高三三诊，6）. 若，则二项式展开式中的常数项是（ ）A. 20 B. -20 C. -540 D. 540【答案】C 7.（2017河北石家庄高三冲刺模考，10）. 在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为由几何概型知所求概率为故本题答案选8.（2017太原市高三年级模拟试题（三），14）. =_【答案】【解析】由定积分的几何意义可知
12、表示的是半径为1的半圆的面积，即： ，而函数 是奇函数，则 ，由微积分的运算法则可得=.9.（2017厦门外国语学校高三适应性考试，14）. 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为_【答案】3 10.（2017河北省石家庄二中三模，13）. _【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,因此原式等于,故填.考点：定积分的计算.11.（2017湖北襄阳四中5月适应性考试，14）. 已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_【答案】【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.12.（2017福州一中高三最后一模，13）. _【答案】 13.（
13、2017甘肃西北师大附中四诊，13）. 设，则二项式的展开式中含项的系数为_【答案】12【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。14【湖北省襄阳第四中学2017届高三下学期5月适应性考试数学（理）试题】已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_【答案】【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.15【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学（理）试题】边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_【答案】 16【河北省2017届衡水中学押题卷理数 I】已知实数， 满足不等式组且的最大值为，则=_【答案】 【解析】 17【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即类比之，若对，不等式恒成立，则实数等于_【答案】2【解析】因为，所以即 18【2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理工类）试卷】函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于_【答案】【解析】因为，所以， ，则函数在点(1，2)处的切线为，即，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为.专心-专注-专业