结构力学2复习课件.ppt

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1、指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的x座标与杆轴重合；座标与杆轴重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部座标局部座标1 12 21u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位

2、移编号1 12 21X1Y1M2M2X杆端力编号杆端力编号(c)(c)二、单元刚度矩阵二、单元刚度矩阵( (局部座标系局部座标系) )1 1、一般单元：、一般单元：21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM212211uulEAXuulEAX222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlE

3、AlEAMYXMYXeee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：将上面六个方程合并，写成矩阵形式：EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 kFeeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力可求单元杆端力 Fe ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6E

4、I l206EI l2011u11v1112u12v12只与杆件本身性质有只与杆件本身性质有关而与外荷载无关关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵包含三种特殊单元：包含三种特殊单元：1、桁架单元；、桁架单元；2、梁单元；、梁单元；3、连续梁单元。、连续梁单元。2、单元刚度矩阵的性质、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义ijke代表单元杆端第代表单元杆端第j个位移分量等于个位移分量等于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量。个杆端力分量。例如例如35212lEIk 代表单元杆端第代表单元杆端

5、第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引起的第5个杆个杆端力分量端力分量 的数值。的数值。11v2Y（2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是对称矩阵，是对称矩阵， ke即即jiijkk 。（3）一般单元的刚度矩阵）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；是奇异矩阵； ke从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵 ke的行列式的行列式 ke=0因此它的逆矩阵不存在因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程从力学上的理解是，根据单元刚度方程 Fee Fee kFeee由由有一组力的解答有一组力的解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。由由如果如果 Fe 不是一组

6、平衡力系则无解；若是一不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。三三 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (整体座标系整体座标系) )xye1X1Y1M2XxyX1Y11MX2Y22M2Msincos111YXXeeecossin111YXYeee11MM eesincos222YXXeeecossin222YXYeee22MM ee2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXeee FTF ee座标转换矩阵座标转换矩阵单元杆端

7、力的转换单元杆端力的转换式、单刚的转换式式、单刚的转换式1、单元座标转换矩阵、单元座标转换矩阵 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT正交矩阵正交矩阵T-1 =TT或或 TTT=TT T =I于是可以有于是可以有 同理可以有同理可以有 Tee FTFTee FTF ee TT（解决（解决 与与k 的关系）的关系） kee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为： kFeee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)

8、eeeF =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT (c)ekek = TT keTe(e)ke的性质与的性质与ek一样。一样。2、整体座标系中的单元刚度矩阵、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式可转换为：）式可转换为：两边前乘两边前乘TT比较式比较式(b)和和(d)可得：可得：四四 等效结点荷载等效结点荷载F= K (1)结构体系刚度方程：结构体系刚度方程：1、位移法基本方程、位移法基本方程k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 K +FP =0 .(2

9、)F +FP =0 .(3)将将(1)式代入式代入(2)式：式： 表示结点位移表示结点位移 和结点力和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性质，而之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。基本体系在荷载单独作用下基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。产生的结点约束力。基本体系在结点位移单独作基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。用下产生的结点约束力。2、 等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念结点结束力结点结束力FP结点结束力结点结束力FP等效结点荷载等效结点荷载P原荷载

10、原荷载显然显然 P=FP解决了计算等效结点荷载的问题解决了计算等效结点荷载的问题等效原则等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力K = FFP+=3、 综合结点荷载综合结点荷载1 直接作用于结点的荷载，为结点外力或支座反力。直接作用于结点的荷载，为结点外力或支座反力。2 对于非结点荷载作等效变换后得到等效结点荷载。对于非结点荷载作等效变换后得到等效结点荷载。计算步骤如下：计算步骤如下：A 根据单元所受到的非结点荷载情况，计算单元局部坐标系下根据单元所受到的非结点荷载情况，计算单元局部坐标系下的单元等效结点荷载的单元等效结点荷载 。式中。式中

11、为单元固端约为单元固端约束力。束力。Pe PFe PFB 利用单元坐标转换矩阵利用单元坐标转换矩阵T，求整体坐标系下的单元等效结，求整体坐标系下的单元等效结点荷载点荷载 PTPTeeC 利用单元定位向量依次将单元结点荷载集成到整体结构的利用单元定位向量依次将单元结点荷载集成到整体结构的等效结点荷载向量等效结点荷载向量P4、 各杆的杆端力各杆的杆端力单元杆端力的计算公式为单元杆端力的计算公式为 PFkFeeee Tee而将而将 代入上式，得代入上式，得 epeeeFTkFK 求单元常数求单元常数TP原始数据、局部码、总码原始数据、局部码、总码解方程解方程K =P求出结点位移求出结点位移 开始开始

12、单元刚度单元刚度矩阵矩阵ke单元固单元固 端力端力 PFe结束结束五五 计算步骤和算例计算步骤和算例K = FFP+=程序设程序设程序设程序设程序设程序设计框图计框图计框图计框图计框图计框图求杆端力求杆端力 PFkFeeeech10 ch10 结构的动力计算结构的动力计算一、动力计算的特点、自由度和方法一、动力计算的特点、自由度和方法 “ “动力荷载动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，

13、由它所引起的内力和变形都是时间的函数。由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。动力计算方法：动力平衡法（达朗伯尔原理）动力计算方法：动力平衡法（达朗伯尔原理）二、单自由度体系的自由振动二、单自由度体系的自由振动).(.0bkyym 运动微分方程运动微分方程其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位

14、位移时，须在质点上使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力沿振动方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为在质点上沿振动方向施加数值为W W的荷载时质的荷载时质点沿振动方向所产生的位移点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一三参数中哪一个最便于计算来选用。个最便于计算来选用。自振周期计算公式：自振周期计算公式：圆频率计算公式：圆频率计算公式：一些重要性质一些重要性质：（1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰

15、因素无关。干扰力只影响振幅素无关。干扰力只影响振幅a。（2 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相

16、近，则在动荷反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。载作用下的动力性能基本一致。stgWgmmk1gkmTst22).(.sincos)(etvtyty位移响应：位移响应：三、单自由度体系的强迫振动三、单自由度体系的强迫振动受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。)()(atPkyym 强迫振动运动微分方程强迫振动运动微分方程简谐振动的通解可写为：简谐振动的通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同

17、时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11styy22max11styy动力系数动力系数为为：1023123重要的特性：重要的特性：f当当/0时时,1，荷载变化荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。得很慢，可当作静荷载处理。f当当0 / 1，并且随并且

18、随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/ 1时时,。即当荷载即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为无限增大。称为“共振共振”。通常。通常把把0.75 / 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。stPyy2122222241动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/=1附近附近

19、的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。 21 共振时共振时当当接近接近 时，时， 增加很快，增加很快， 对对的数值影响也很大的数值影响也很大。在在0.75 / 1.25( (共振区共振区) )内，内，阻尼大大减小了受迫振动的位阻尼大大减小了受迫振动的位移，移，因此因此, , 为了研究共振时的为了研究共振时的动力反映动力反映, , 阻尼的影响是不容阻尼的影响是不容忽略。忽略。在共振区之外阻尼对在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。的影响较小，可按无阻尼计算。maxmax并不发生在共振并不发生在共振/= =1 1时，而发生在，时，而发生在， 由由y=yPsin(t ) 可见，阻尼可见

20、，阻尼体系的位移比荷载体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后滞后一个相位角一个相位角 ， 21,11max峰21)(1)(2tg但因但因很小，可近似地认为：很小，可近似地认为：221当当时时,180体系振动得很快，体系振动得很快，FI很大，很大，S、R相对说相对说来较小，动荷主要由来较小，动荷主要由FI 平衡，平衡， FI 与与y同向，同向，y与与P反向；反向；)cos(),sin(),sin(),sin(2tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP 弹性力弹性力S，惯性力惯性力FI， 阻尼力阻尼力R分别为：分别为：tsin21tFsinm22当当=时时,90由此可见：共振时（由此可

21、见：共振时（=），），S与与FI刚好互相平衡，刚好互相平衡，yst21)(1)(2tg)cos(),sin(),sin(),sin(2tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP 有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。k=m2=m22mF)90sin(0tkySP)90sin(02tymFPI)90cos(0tycy

22、cRPtymPsin2四、多自由度体系的自由振动四、多自由度体系的自由振动1 1、刚度法、刚度法 0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动微分方程两自由度体系自由振动微分方程设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty1 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。但其比值始

23、终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率（1 1）主振型）主振型11

24、2111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2 2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；初位移或初速度与此振型相对应；0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk由此可见：由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的实际上，多自由度体系在零时刻的y0或或vo通常不能完全与某一振型相对应。通常不能完全

25、与某一振型相对应。（3 3）一般振动）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体多自由度体系自由振动系自由振动的振型分解的振型分解2、 柔度法柔度法m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然解当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令01122221212122111mmmmD令210)()(2121

26、122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY五五 多个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动多个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：在平稳阶段，各质点也作简谐振动：tYtytYtysin)(sin)(221122222212112121121

27、1)()(PYmkYkPYkYmk0222221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷载频率如果荷载频率与任一个自振频率与任一个自振频率1、 2重合，则重合，则D0=0, 当当D1、D2不全为零时，则出现共振现象不全为零时，则出现共振现象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtPCh16 结构的极限荷载结构的极限荷载一、一、极限弯矩、塑性铰、破坏机构极限弯矩、塑性铰、破坏机构1、极限弯矩（、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动

28、状态时，对应的弯矩。整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。 截面达到极限弯矩时的特点截面达到极限弯矩时的特点 极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依据这一特点可确定极限弯矩。据这一特点可确定极限弯矩。 极限弯矩与外力无关极限弯矩与外力无关, ,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。2、塑性铰、塑性铰意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。个铰链。称为塑性铰。注意塑性铰的特点（与机械铰的区别）注意塑性铰的特点

29、（与机械铰的区别）3、破坏机构、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系），由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系），失去继续承载的能力，该几何可变体系称为失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构机构”。二、比例加载时判定极限荷载的定理二、比例加载时判定极限荷载的定理1 1、极限状态下的结构应满足的条件、极限状态下的结构应满足的条件1) 平衡条件平衡条件2)屈服条件（内力局限条件）屈服条件（内力局限条件）3)单向机构条件单向机构条件在极限状态下，结构的整体、或任一局在极限状态下，结构的整体、或任一局 部都满足静力部都满足静力平衡条件。平衡条件。在

30、极限状态下，结构的任一截面上的在极限状态下，结构的任一截面上的弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。在极限状态下，结构中有足够多的截面的弯矩值达到其极限弯在极限状态下，结构中有足够多的截面的弯矩值达到其极限弯矩，形成塑性铰，使结构成为机构，并可按荷载增加的方向作矩，形成塑性铰，使结构成为机构，并可按荷载增加的方向作单向机构运动（刚体位移）。单向机构运动（刚体位移）。精品课件精品课件！精品课件精品课件！2 2、判断极限荷载的三个定理、判断极限荷载的三个定理A.A.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小

31、的。 PPuB.B.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。 PPuC. 单值定理（唯一性定理）：极限荷载是唯一的。单值定理（唯一性定理）：极限荷载是唯一的。3 3、计算极限荷载的基本方法、计算极限荷载的基本方法A.A.极限平衡法（又称静力法或极限平衡法）极限平衡法（又称静力法或极限平衡法）B.B.破坏机构法（又称机动法或虚位移法）破坏机构法（又称机动法或虚位移法）C. 试算法试算法列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。继续运算。