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1、第5章 信号分析与处理 第5章 信号分析与处理 5.1 概述概述 5.2 周期信号及其频谱周期信号及其频谱 5.3 非周期信号及其频谱非周期信号及其频谱 5.4 数字信号分析与处理数字信号分析与处理 5.5 随机信号分析与处理随机信号分析与处理 5.6 虚拟测试系统中的信号处理模块虚拟测试系统中的信号处理模块 第5章 信号分析与处理 5.1 概概 述述 5.1.1 信号的概念和分类信号的概念和分类 1. 1. 信号的基本概念信号的基本概念信息本身不具有能量及物质， 故信息的传递必须借助于某种中间媒介，而这个包含有特定信息的媒介即为信号。信号一般表现为声、光、电、磁等物理量。 信号一般可以用单个
2、或多个独立变量的函数或图形表示。 信号可以描述极为广泛的物理现象，可以计算、合成及分解。 一般信号具有以下性质： （1） 信号具有特定的意义， 即含有特定的信息； （2） 信号具有一定的能量； （3） 信号易于被测得或感知； （4） 信号易于被传输。 第5章 信号分析与处理 2. 2. 信号的分类信号的分类1) 按信号的规律分类按信号的规律，信号可分为确定性信号和非确定性信号。 确定性信号：可以用明确的数学关系式描述或可由实验多次复现的信号。 非确定性信号：不能用数学关系式描述，而且其幅值、 相位、频率不可预知。这类信号只能用概率统计的规律加以描述。 在实际工程测试过程中， 信号的物理过程往往
3、是很复杂的， 即无理想的确定性信号也无理想的非确定性信号， 而是相互掺杂的。 第5章 信号分析与处理 图5.1 信号的分类 第5章 信号分析与处理 2) 按信号的函数性质分类按表示的函数性质，信号可分为连续时间信号和离散时间信号。 连续时间信号：是指在某一指定时间内，除若干个第一类间断点外，该函数都可给出确定的函数值的信号。 离散时间信号：是指仅在某些不连续的时刻有定义的信号。 信号除了在时间上有连续时间信号与离散时间信号之分外， 还可依据幅值取值将信号分为连续幅值信号与离散幅值信号。 时间和幅值均连续的信号称为模拟信号。 时间和幅值均离散且幅值被量化的信号称为数字信号。 第5章 信号分析与处
4、理 3) 按信号的能量分类按信号的能量可将信号分为能量信号及功率信号两大类。 能量信号： 在所分析的区间能量为有限值的信号。 功率信号： 具有有限平均功率的信号。 一个能量信号具有零平均功率， 而一个功率信号具有无限大能量。 第5章 信号分析与处理 5.1.2 5.1.2 信号的时域分析和频域分析信号的时域分析和频域分析通常信号可以被看作是一个随时间变化的量， 是时间t的函数x(t)。 在相应的图形表示中， 作为自变量出现在横坐标上的是时间t。 信号的这种描述方法就是信号的时域描述。 基于微分方程和差分方程等知识， 在时域中对信号进行分析的方法称为信号的时域分析。 第5章 信号分析与处理 对于
5、快速变化的信号， 时域描述不能很好地揭示信号特征。 此时人们感兴趣的是什么样的幅值在什么频率值或什么频带出现。 与此对应， 将频率作为自变量， 把信号看作是频率f的函数X(f)。 在相应的图形表示中， 作为自变量出现在横坐标上的是频率。 信号的这种描述方法就是信号的频域描述。 信号在频域中的图形表示又称作信号的频谱， 包括幅频谱和相频谱等。 幅频谱以频率为横坐标并以幅度为纵坐标， 相频谱以频率为横坐标并以相位为纵坐标。 基于傅立叶变换理论， 在频域中对信号进行分析的方法称为信号的频域分析。 第5章 信号分析与处理 信号分析的主要任务就是要从尽可能少的信号中取得尽可能多的有用信息。 时域分析和频
6、域分析是从两个不同角度去观察同一现象。 时域分析比较直观， 能一目了然地看出信号随时间的变化过程， 但看不出信号的频率成分， 而频域分析正好与时域分析相反。 在工程实际中应根据不同的要求和不同的信号特征选择合适的分析方法， 或将两种分析方法结合起来， 从同一测试信号中取得需要的信息。 第5章 信号分析与处理 5.2 周期信号及其频谱周期信号及其频谱 5.2.1 5.2.1 周期信号的定义周期信号的定义如果信号x(t)在所有时间t内均能满足 x(t)=x(t+nT) (5.1) 式中: n任意整数； T常数。 则x(t)是周期信号，T称为周期。显然，周期信号是幅值按一定周期不断重复的信号。 第5
7、章 信号分析与处理 周期信号又分为正弦信号(包括余弦信号)和复杂的周期信号。 正弦信号是最简单的周期信号， 其数学表达式为 2sin)2sin()(00ntxntxtx(5.2) 可见，正弦信号的周期T=2/，称为角频率或圆频率， 周期的倒数称为频率，即f=1/T，=2f，x0为常数。 复杂的非正弦周期信号又可称之为非正弦周期函数， 如图5.2所示。 第5章 信号分析与处理 图5.2 非正弦周期信号 第5章 信号分析与处理 5.2.2 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式周期函数的一个重要特征是可以表示成无穷个正弦及余弦函数之和。这个正弦和余弦函数的系列称为傅里叶级数。 若周期
8、函数x(t)周期为T，满足狄里赫利条件，即： （1） 在一个周期内，只存在有限数目的极大值和极小值； （2） 只存在有限个不连续点； （3） 在不连续点取值有界， 即函数绝对可积。 第5章 信号分析与处理 则此周期函数可以表示为傅里叶级数的三角函数形式 1000)sincos()(nnntnbtnaatx式中： n=1， 2， 3；0=2/T；a0、an、bn称为傅里叶系数，其值分别为 220220220dsin)(2dcos)(2d)(1TTnTTnTTttntxTbttntxTattxTa（5.4） 第5章 信号分析与处理 a0值是此周期函数在一个周期内的平均值，又称直流分量， an是余弦
9、分量的幅值，bn是正弦分量的幅值。 在工程测试中常见的周期信号(即周期函数)一般都满足狄里赫利条件。 为了显示出傅里叶级数在工程应用中所具有的物理意义， 可将式(5.3)写成只包含正弦项或只包含余弦项的形式。 如果令 nnnnnnabbaAarctg22（5.5） 第5章 信号分析与处理 则式(5.3)可简化为 100)cos()(nnntnAatx（5.6） 第5章 信号分析与处理 5.2.3 周期信号的频谱周期信号的频谱由式(5.6)可以看出，周期信号是由无限个不同频率的谐波分量叠加而成。各次谐波的幅值和初相位分别由An和n决定。 当n=1时，A1cos(0t+1)称为信号的一次谐波(基波
10、)分量，0称为基波角频率。 其余各次统称为高次谐波。n=2，称为二次谐波，n=3，称为三次谐波，依此类推。由于幅值An和初相位n均为角频率=n0的函数， 以角频率为横坐标，幅值An或初相位n为纵坐标所作的图形统称为频谱，An图称为幅频谱，n 图称为相频谱。An表示信号所具有的谐波分量的幅值； n是各次谐波分量在时间原点处所具有相位。幅值谱和相位谱结合起来便确定了信号各次谐波的波形。 第5章 信号分析与处理 图5.3 周期信号的时间历程及其频谱 (a) 周期信号的时间历程; (b) 周期信号的频谱 第5章 信号分析与处理 【例5.1】求图5.4(a)所示的周期性矩形波的傅里叶级数表示，并画出其幅
11、频谱。 解解：该波形在一个周期内的数学表达式为 AAtx )(0tT/2 -T/2t0 根据式(5.4)得 )cos1 (2dsin)(dsin2dsin)(20dcos)(2dcos2dcos)(20d)(d1d)(12002002202002002202002220nnAttnAttnATttntxTbttnATttnATttntxTatAtATttxTaTTTTnTTTTnTTTT第5章 信号分析与处理 代入式(5.3)得 ttttAtx00007sin715sin513sin31sin4)(图5.4(b)所示是波形的幅频谱图。 第5章 信号分析与处理 图5.4 周期性矩形波及其频谱图
12、(a) 周期性矩形波； (b) 频谱图 第5章 信号分析与处理 上例揭示出周期方波可以分解为无穷多个谐波， 在MATLAB命令界面下（Command Window Font）键入如下程序， 可产生由基波w0和19次谐波合成的方波。A=4;w0=pi/0.1;t=-0.5:.001:0.5;cosine=sin(w0*t)+(1/3)*sin(3*w0*t)+(1/5)*sin(5*w0*t)+(1/7)*sin(7*w0*t)+(1/9)*sin(9*w0*t)+(1/11)*sin(11*w0*t)+(1/13)*sin(13*w0*t)+(1/15)*sin(15*w0*t)+(1/17)
13、*sin(17*w0*t)+(1/19)*sin(19*w0*t); plot(t， cosine) 第5章 信号分析与处理 图5.5 用谐波合成周期方波 第5章 信号分析与处理 5.2.4 复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数虽然傅里叶级数的三角函数展开式能够很清楚地表示原函数中所包含的各个谐波分量， 但是其积分运算比较复杂，特别是当原函数x(t)为复杂的函数时，其计算就更为繁杂，有时甚至难以计算。 傅里叶级数也可以表示成复指数形式展开式。 根据欧拉公式 sinjcosje（5.7） 则式(5.6)可转换为 ntnnntnntnnCCCCtx000j1j -j0e)ee()(（5.8）
14、第5章 信号分析与处理 式中：Cn表示周期信号x(t)的复振幅，称为傅里叶系数。 tetxTCTTtnnd)(122j0 n=0, 1, 2, （5.9） 一般情况下Cn是复数，可以写成 nnnCCje（5.10） 式中：|Cn|复数Cn的模； n复数Cn的幅角。 第5章 信号分析与处理 若 Cn=Re(Cn)+jIm(Cn) （5.11） 式中：Re(Cn)复数Cn的实部； Im（ Cn ）复数Cn的虚部。 则有 )(Re)Im(arctg)Im()Re(|22nnnnnnCCCCC(5.12) （5.13） 第5章 信号分析与处理 同时可得 nnnnnnnabarctgAbaC2121|2
15、2（5.14） 根据|Cn|-n0， n-n0(n=0，1、2)的函数关系，可画出复数形式的傅里叶频谱图， 不过它同三角形式的傅里叶频谱图在形式上有所不同， 这是由于描述谐波分量的数学方法不同而造成的，没有什么本质差别。例如一个余弦信号 x(t)=Acos0t 第5章 信号分析与处理 它在三角形式的傅里叶级数中仅有一项，即n=1， 故其谱线只有一条，如图5.6(a)所示， 而用复数表示同一信号时， 有 )ee (2cos)(00j -j0ttAtAtx故它有两条谱线：n=1，如图5.6(b)所示。 第5章 信号分析与处理 图5.6 三角形式的傅里叶频谱和复数形式的傅里叶频谱 第5章 信号分析与
16、处理 特别需要指出的是， 将一个周期信号展开成复数形式的傅里叶级数后， 其频谱图上出现了负频率。 频率表示每秒钟的变化次数， 它不可能是负值， 由于用复数表示可以得到简练的复数形式的傅里叶级数， 此时允许n取负整数， 于是出现了所谓的负频率。 在这种形式下，n单独取正数或单独取负数都不能构成一个谐波分量， 只有n=k和n=-k两项之和才能表示第k项。 由此可见， 负频率的引入仅仅是在将正余弦函数变成一对指数函数的过程中为缩短式子长度而采取的一种数学手段。 第5章 信号分析与处理 【例5.2】求图5.7所示的周期性三角波的幅频谱。 解解：x(t)在一个周期中可表达为 tTAAtTAAtx22)(
17、0220tTTt因x(-t)=x(t)， 故x(t)是偶函数，bn=0。 2d22200AttTAATaT第5章 信号分析与处理 图5.7 周期三角波 第5章 信号分析与处理 042sin4dcos242222020nAnnAttntTAATaTnn=1, 3, 5, n=2, 4, 6, 其幅频谱(单边谱)如图5.8(a)所示。 若用复数形式表示， 则根据 0021aCaCCnnn第5章 信号分析与处理 图5.8 周期三角波幅频谱的两种形式 第5章 信号分析与处理 在MATLAB中输入如下程序， 可得出如图5.9所示周期三角波幅频谱和相频谱： N=8;n1=-N:-1; c1=sin(n1*
18、pi/2).*sin(n1*pi/2).*4./pi.2./n1.2;c0=1/2;n2=1:N;c2=sin(n2*pi/2).*sin(n2*pi/2).*4./pi.2./n2.2;cn=c1 c0 c2;n=-N:N;subplot(2， 1， 1);stem(n， abs(cn);ylabel(Cn的幅度);subplot(2， 1， 2);stem(n， angle(cn);ylabel(Cn的相位);xlabel(omegaomega0); 第5章 信号分析与处理 图5.9 周期三角波的频谱 第5章 信号分析与处理 通过以上例题可以看出， 周期信号有以下几个特点： （1） 周期信
19、号的频谱是由无限多条离散谱线组成， 每一条谱线(单边谱)代表一个谐波分量。（2） 各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。（3） 谱线的高度表示了相应谐波分量的幅值大小。 对于工程中常见的周期信号， 其谐波幅值的总趋势是随着谐波次数的增高而减小。 当谐波次数无限增高时， 其幅值就趋于零。 第5章 信号分析与处理 以上三个特点分别称为周期信号频谱的离散性、 谐波性和收敛性。 进一步分析还可发现， 信号波形越接近于正弦波， 其谱线越稀。 信号波形与正弦波相差越大， 特别是当信号含有脉冲性突变时， 其谐波成分就越丰富。 另外， 信号波形越接近于正弦波， 幅值下降越快， 例如， 谐波幅值大于基波幅值的2
20、%的谐波分量， 矩形波有25个， 全波整流信号有6个， 三角波仅有4个。 由此可知， 对于工程中遇到的大多数周期信号， 可以忽略那些次数过高的谐波分量， 用有限个谐波之和来代替傅里叶级数中的无限多项， 而不会引起太大的误差。 从基波开始， 到还需要考虑的最高谐波分量的频率间的频段， 称为信号的频带宽度， 这在选用仪器时要充分注意。 第5章 信号分析与处理 5.3 非周期信号及其频谱非周期信号及其频谱 5.3.1 5.3.1 傅里叶积分傅里叶积分1. 1. 准周期信号准周期信号复杂周期信号可以用傅里叶级数展开成多项以至无限项正(余)弦谐波信号之和， 其频谱具有离散性。 反之， 几个正(余)弦信号
21、叠加是否一定是周期函数， 这主要取决于组成此信号的各正(余)弦信号的频率之比。 如果组成信号的各正(余)弦信号的频率比是有理数， 那么就可以找到它们之间的公共周期， 这些正(余)弦信号合成后仍为周期信号， 因为经过公共周期后又会重演原来信号。 但若各正(余)弦信号的频率比不是有理数， 例如， x(t)=sin0t+sin20t， 各正(余)弦信号间找不到公共的周期， 它们在合成后不可能经过某一周期重复， 所以合成后不可能是一个周期信号， 但是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱， 这种信号称之为准周期信号。 第5章 信号分析与处理 2. 2. 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱
22、瞬变非周期信号是指除准周期信号以外的非周期信号。 通常所称非周期信号就是指这种信号。 常见的瞬变非周期信号如图5.10所示。 图5.10 非周期信号 第5章 信号分析与处理 非周期信号按照定义不能按傅里叶级数分解成许多正(余)弦谐波之和，但为了了解其频域描述， 可援引周期信号的方法加以解决，即将一非周期信号仍当作周期信号处理， 认为其周期趋于无穷大。 如设x(t)为周期信号， 其频谱应为离散的。当认为x(t)的周期趋于无穷大时， 则该信号即成为非周期信号。 从频谱图可以看出， 周期信号频谱谱线的频率间隔=0=2/T， 当周期T趋于无穷大时， 其频率间隔趋于无穷小， 所以非周期信号的频谱应该是连
23、续的。如周期信号x(t) ， 在(-T/2, T/2)区间内傅里叶展开式为 ntnneCtx0j)(第5章 信号分析与处理 其中 ttxTCtnTTnde )(10j22将Cn代入上式，得 TttxettxTtxtnnTTtntnnTTtn2ede )(21de )(1)(0000j22jj22j 第5章 信号分析与处理 式中，n取整数0，1，2，因而各谐波频率n0只能取离散值；相邻谐波谱线间的频率增量，于是上式可写成 Tnn2) 1(000tntnTTnttxtx00jj -22ede )(21)(当信号的周期T不断增大时， 谱线间的频率增量不断减小，即谱线变得愈来愈密。若T，则0， 原来只
24、能取离散值的谐波频率n0变为可连续取值的连续变量0。 不仅如此， 而且原来在频谱图上代表谐波幅值的谱线高度的含义也发生了本质的变化。 第5章 信号分析与处理 在数学上，T就意味着上式中 22,d,TT于是 dede )(21)(jj -ttttxtx将=2f代入上式得 fttxtxftftdede )()(j2j2-（5.15） 第5章 信号分析与处理 这样就避免了在傅里叶变换中出现1/2的常数因子，使公式简化。 式(5.15)称为傅里叶积分， 其存在条件是： (1) x(t)在有限区间上满足狄里赫条件； (2) 积分收敛，即x(t)在无限区间上绝对可积。 周期信号可以通过傅里叶级数分解成为无
25、限多项谐波的代数和。与此类似，非周期信号则可通过傅里叶积分 “分解” 成 “无限多项谐波” 的积分和。从所起的作用看，傅里叶积分与傅里叶级数类似。 ttxd)(第5章 信号分析与处理 5.3.2 5.3.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱在式(5.15)括号里的积分中，t是积分变量， 因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数， 记作 ttxfXde )()(j22-（5.16） 此式称为函数x(t)的傅里叶变换（FT）。 傅里叶变换是把时域函数x(t)变换为频域函数X(f)的桥梁， 其功能与式(5.9)类似，只是Cn中的自变量n0只能跳变取离散值，而X(f)中f可连
26、续取值。 此外，X(f)与Cn的量纲也有差别， 这点下面将要论述。 第5章 信号分析与处理 将式(5.16)代入式(5.15)， 可得到傅里叶反变换 (IFT)公式 ffXfXftde )()(j2（5.17） 它把经过傅里叶变换后得到的频域X(f)再变成时域函数。由此可知， 傅里叶变换与傅里叶反变换构成一对傅里叶变换对， 即 ffXfxFtxttxtxFfXftftde )()()(de )()()(j21j2-（5.18） x(t)FTIFTX(f)第5章 信号分析与处理 傅里叶级数是离散的叠加，其谐波中存在着一个基本频率0，其余频率是0的整数倍， 所以叠加的结果是一个周期为T（T=2/
27、0 ）的信号。而傅里叶变换则是 “连续的叠加” ， 虽然叠加的每一项X(f)ej2ftdf都可看作周期函数(周期为1/f)，但不存在什么基本频率，因而叠加的结果必然是非周期信号。 更为重要的是，X(f)ej2ftdf是一个无穷小量， 它表示非周期信号x(t)在频率等于f处的谐波分量的幅值趋近于零。只有在一定的频带内， 该谐波分量才具有一定的大小。由此可知，非周期信号x(t)的傅里叶变换X(f)本身并不能代表谐波分量的幅值，只有在一定频带内对频率f积分后才含有幅值意义。从量纲上看 X(f)df具有幅值的量纲，而 fffXfXdd)()(第5章 信号分析与处理 则具有幅值/频率的量纲， 或称单位频
28、率上的幅值，即有分布密度的含义，故称X(f)为信号x(t)的频谱密度。由此看来，非周期信号的频谱具有两大特点：连续性和密度性。因此，非周期信号的频谱应叫频谱密度，不过习惯上仍称频谱。 前面已经提到，周期函数的傅里叶系数是一个复数。与此类似，非周期信号x(t)的傅里叶变换X(f)是一个以实变量f为自变量的复变函数， 它可表示为 )(j1Re| )(|)(j)()(ffXfXfXfX(5.19) 第5章 信号分析与处理 式中：XR(f)X（f）的实部； XI（f）X（f）的虚部； |X（f）|非周期信号x(t)的幅频谱， ； (f)非周期信号x(t)的相位频谱，。 由于 )()()(2I2fXfX
29、fXR)()(arctg)(R1fXfXftfttxtfttxfXtftxtfttxttxfXftd2sin)(jd2cos)()(d2sin)(jd2cos)(de )()(j2-所以X(f)与X(-f)是一对共轭复数，其模相等。 因此X(f)f曲线对称于纵轴， 如图5.11(a)所示，并称为双边谱。 第5章 信号分析与处理 图5.11 非周期信号的幅值谱密度 (a) 双边谱; (b) 单边谱 第5章 信号分析与处理 【例5.3】求图5.12(a)所示的单个矩形脉冲的频谱，其中 01)(tu2|2|tt解解：设u(t)的傅里叶变换为U(f)，由傅里叶变换定义： )( csinsin)ee (
30、2 j1dede )()(2j2j222j2jfffftttufUffftft第5章 信号分析与处理 图5.12 单个矩形脉冲及其频谱 (a) 单个矩形脉冲; (b) 频谱 第5章 信号分析与处理 定义，叫做sinc(赛音克)函数。该函数值由数学表可查得，它以2为周期并随x的增加而做衰减振荡。 sincx函数是偶函数，在n/(n=1，2，3)处其值为零。 sincx函数在傅里叶分析及线性时不变系统的研究中起着非常重要的作用。 xxxsincsin第5章 信号分析与处理 在MATLAB中编辑如下程序:A=4;w0=40*pi;phi=pi/6;t=-0.5:.001:0.5;cosine=A*s
31、in(w0*t+phi)./(w0*t+phi);plot(t， cosine) 第5章 信号分析与处理 图5.13 在MATLAB中生成的sinc函数 第5章 信号分析与处理 5.3.3 5.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换是信号分析及处理中进行时间域和频率域之间变换的一种基本数学工具。当信号在时间域中的变化规律改变后，其在频率域中的变化规律也会对应改变；同样，当信号在频率域中的变化规律改变后，其在时间域中的变化规律也会对应改变。这种改变的对应关系体现在傅里叶变换的性质中。 傅里叶变换的主要性质有：奇偶虚实性、 线性叠加性、 对称性、时移性、频移性、尺度改变性、卷积定理、微
32、分特性和积分特性等。 傅里叶变换的主要性质如表5.1所示。 第5章 信号分析与处理 表表5.1 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 第5章 信号分析与处理 表表5.1 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 第5章 信号分析与处理 5.3.4 5.3.4 几种特殊信号的频谱几种特殊信号的频谱1. 1. 矩形窗函数及频谱矩形窗函数及频谱矩形窗函数即为单个矩形脉冲函数， 其频谱在例5.3中已讨论。 一个在时域有限区间有值的信号， 其频谱却延伸至无限频率。在时域中， 若截取信号的一段记录长度， 则相当于原信号和矩形窗函数乘积， 根据傅里叶变换的频域卷积特性， 所得信号的频谱将是原信号频谱函数
33、和sinc函数的卷积，它将是连续的且频率无限延伸的频谱。 第5章 信号分析与处理 2. 单位脉冲函数单位脉冲函数(函数函数)及频谱及频谱1) 函数的定义在数学上，如果函数s(t)仅在区间0, 上具有脉冲样图形(矩形脉冲、 三角形脉冲等)， 并且此图形与t轴围成的面积为1， 如图5.14(a)所示， 那么当脉冲宽度0时， 函数s(t)的极限称为函数。 根据此定义不难看出函数有如下特点： 0)(tt=0 0t （5.20） 1d)(d)(0ttstt（5.21） 第5章 信号分析与处理 图5.14 函数 (a) 脉冲; (b)有向线段第5章 信号分析与处理 2) 函数的采样性质若x(t)为一时域连
34、续信号，则乘积(t)x(t)仅在t=0处得到(t)x(0)，其余均为零，于是 )0(d)()0(d)0()(d)()(xttxtxtttxt可见(t)与x(t)相乘后积分， 其作用就是取出了信号x(t)在t=0时刻的一个值， x(0)为一个采样点。 第5章 信号分析与处理 同样，对有延时的函数(t-t0)，其值仅在t=t0时刻才不为零， 于是 )(d )()(d)()(d)()(000000txttttxttxttttxtt此时，得到了x(t)在t=t0时刻的一个采样点x(t0)。 在工程上，利用单位脉冲函数的概念， 可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。 第5章 信号分析与处理 3
35、) 函数的频谱将函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数： 1d )(ede )()(02jttttfft(5.22) 由此可见，时域的脉冲信号具有无限宽广的频谱， 而且各频率上的信号强度都相等。 在信号的检测中， 一般爆发电火花地方(如雷电、 火花塞等)都会对测试系统引起严重干扰， 这是因为尖脉冲(类似函数， 能量均匀地分布在0的频带内)的高频部分以射频形式发射出来，对测试系统形成干扰的缘故。 凡是频谱为常数的信号俗称白噪声。 “白” 是由白色光引申而来， 意即白色的光谱频率丰富。 脉冲就是一种理想的白噪声。 第5章 信号分析与处理 根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶变
36、换对： 时域 频域 )(ee)()(11)(02j2j000ffttfttfft（5.23） 第5章 信号分析与处理 4) 函数与其它函数的卷积在函数卷积运算中，若其中有一个函数是函数，则运算极为简便。例如，若U(f)为如图5.15所示的矩形函数，(f)=(f-fs)+(f+fs)为在频率轴上的两个单位脉冲函数，则其卷积 )d-()()(d )()()()(ssfUfffUfUf根据函数的采样性质 )()d()(d )()(ssssffUfffUfUf第5章 信号分析与处理 所以 )()()()(ssffUffUfUf由此得出一个重要结论： 任意函数和函数的卷积， 就是简单地将该函数在自己的横
37、轴上平移到函数所对应的位置。 此结论对时域函数同样适用。 第5章 信号分析与处理 图5.15 函数与函数的卷积第5章 信号分析与处理 3. 3. 周期性单位脉冲序列及频谱周期性单位脉冲序列及频谱等间隔的周期性单位脉冲序列的周期为Ts， 如图5.16(a)所示。 它的数学表达式为 nnnTtt)()(sn=0, 1, 2 若用傅里叶级数表示，则 ntnfnnsCt2je)(第5章 信号分析与处理 s02js222js222js1e1de )(1de )(1TTttTttTCttnfTTtnfTTtnfnnsssssss所以 ntnfsnsTt2je1)(（5.26） 第5章 信号分析与处理 根据
38、式(5.23)并对式(5.26)两端取傅里叶变换，即得n(t)的频谱 nssnssnTnfTnffTf)(1)(1)(由图5.16(b)所示频谱图可以看出， 时域中周期为Ts的脉冲序列在频域中仍是周期为1/ Ts的脉冲序列， 其幅值为时域中脉冲幅值的1/ Ts倍。 第5章 信号分析与处理 图5.16 周期单位脉冲序列及其频谱(a) 周期单位脉冲序列; (b) 频谱 第5章 信号分析与处理 用计算机进行信号分析时， 首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列。 以数字量的形式存入一个个内存单元中， 然后进行各种计算。 为了实现这一过程， 可先用n(t)与连续信号x(t)相乘。 根据函
39、数的采样性质可知， 相乘后便得到一离散的时间序列。 由此看来， 周期性单位脉冲序列n(t)在数学上具有采样功能， 因此又称采样函数。 相应地，Ts称采样间隔， 也称采样周期，其倒数1/ Ts=fs称采样频率。 第5章 信号分析与处理 4. 4. 正正( (余余) )弦函数及频谱弦函数及频谱由于正(余)弦函数不满足绝对可积条件， 因此不能直接应用傅里叶积分变换式，而需在傅里叶变换时引入函数。 根据欧拉公式， 正(余)弦函数可写成 )ee (21j2sin00j2j2-0tftftf)ee (212cos00j2j2-0tftftf第5章 信号分析与处理 由式(5.23)即可求得正、余弦函数的傅里
40、叶变换，如图5.17所示。 )()(212sin)()(21j2sin000000fffftffffftf（5.28） （5.29） 第5章 信号分析与处理 图5.17 正、 余弦函数及其频谱 第5章 信号分析与处理 5.4 数字信号分析与处理数字信号分析与处理 5.4.1 5.4.1 信号的数字化信号的数字化 大部分传感器的输出信号都是随时间连续变化的模拟电量， 若要采用数字式处理， 则需要将连续模拟量转换成离散数字量， 这可利用模/数转换装置(A/D转换器)来实现。 图5.18所示为数字信号处理系统的简单框图。 第5章 信号分析与处理 图5.18 数字信号处理系统的简单框图 第5章 信号分
41、析与处理 A/D转换器的输入量为模拟信号A和模拟参考信号R，而输出量是数字编码信号D(一般是按二进制编码)。A、R和D之间的关系可表示为 RAD (5.30) 式中的恒等式和中括号的含义是：在数字能够表示的最精确的范围内，D是最接近A/R的值。A/D转换的实现要经过下述三个过程。 第5章 信号分析与处理 1. 采样采样 采样就是将连续变化的模拟信号离散化的过程。 若将一个模拟信号x(t)和一个等间隔的脉冲序列 是采样间隔)相乘，由于函数的采样性质，相乘以后只有在t=nTs处有值。因此，采样后得到如图5.19(c)所示的一系列在时间上离散的信号序列x(nTs)，n=0， 1， 2 nnnTtt)
42、()(s第5章 信号分析与处理 由图5.19还可以看出，采样间隔Ts越小，x(nTs)越能如实反映原模拟信号x(t)。 而正确的采样必须保证采样得到的离散序列x(nTs)应该包含原信号x(t)所隐含的主要信息。假如Ts过大，x(nTs)相对于x(t)会失真， 也就是经过采样之后的信号x(nTs)不能完全恢复成原信号x(t)所隐含的主要信息， 因而影响数据分析的精度。Ts过小，则数据的数量过多，使计算工作量急剧增加。 因此， 必须有一个选择采样间隔Ts的准则， 以确定x(nTs)不失真的最大允许间隔Ts，这个准则称为采样定理。 采样定理指出：一个连续的模拟波形，若它的最高频率分量为fm，则当采样
43、频率fs2fm时，采样后的信号可以无失真地恢复成原来的连续信号。 第5章 信号分析与处理 图5.19 A/D转换过程(a) 模拟信号; (b) 采样脉冲; (c) 离散信号; (d) 信号的量化; (e) 信号的编码 第5章 信号分析与处理 2. 2. 量化量化数字信号只能以有限的字长表示其幅值，对于小于末位数字所代表的幅值部分只能采取 “舍” 或 “入” 的方法。 量化过程就是把采样取得的各点上的幅值与一组离散电平值比较， 以最接近于采样幅值的电平值代替该幅值， 并使每一个离散电平值对应一个数字量， 如图5.19(d)所示。 若两相邻量化电平之间的增量为x， 则量化误差最大为x/2，由此可见
44、， 在量化过程中相邻量化电平之间的增量越小(供比较的离散电平值的数量越多)， 误差越小。 第5章 信号分析与处理 3. 3. 编码编码编码过程是把已量化的数字量用一定的代码表示并输出， 通常采用二进制代码。 经过编码之后， 信号的每个采样值对应一组代码， 如图5.19(e)所示。 第5章 信号分析与处理 5.4.2 5.4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换( (DFT)DFT)随着数字计算机的普及和应用，人们越来越多地利用数字计算机来进行傅里叶变换，以提高处理速度和处理精度。 数字计算机不能对一个连续的模拟信号进行处理， 原因是： 第一， 数字计算机仅能处理离散数据；第二，计算机的内存容量总是
45、有限的，它不能存放无限多的采样数据。 因此 “数值离散” 和 “点数有限” 是使用数字计算机进行傅里叶变换的两大特点，为了区别常见的傅里叶变换，我们称之为离散傅里叶变换。 下面从连续傅里叶变换出发，从图形上来认识离散傅里叶变换的演变过程及出现的问题。 第5章 信号分析与处理 图5.20(a)所示是某一连续信号x(t)及其傅里叶变换X(f)。 将x(t)乘以采样函数n(t)（见图5.20(b)），得到一无限的离散函数x1(t)=x(t)n(t)(见图5.20(c)）。根据卷积定理(时域的乘积对应于频域的卷积)可知，x1(t)的傅里叶变换为X1(f)=X(f)*n(f)。 而函数与函数的卷积就是把
46、该函数简单地平移到函数所对应的位置，于是得到图5.20(c)， 比较X1(f)与X(f)可知，时域函数的离散导致频域图形的周期化。 这是离散傅里叶变换引入的第一次误差。 第5章 信号分析与处理 图5.20 离散傅里叶变换的图解说明(a) 模拟信号及其傅里叶变换； (b) 采样信号及其傅里叶变换;(c) 离散信号及其傅里叶变换； (d) 矩形函数及其傅里叶变换;(e) 矩形函数采样信号及其傅里叶变换； (f) 频域采样函数及其傅里叶逆变换;(g) 离散信号傅里叶变换 第5章 信号分析与处理 按照上述推演离散傅里叶变换的思路， 可从理论上导出离散傅里叶变换的数学表达式 10/2j10/2je )(
47、1)(e )()(NnNknNnNknkXNkXnxkX(k=0, 1, 2, , N-1) (n=0, 1, 2, , N-1) (5.31) (5.32) 式中： X（k）频率分辨力为f=1/T的N个频域采样值； x(n)时间采样间隔为T的N个时域采样值。 第5章 信号分析与处理 【例5.4】求序列x(n)=1, 2, 1, 0当N=4的离散傅里叶变换X（k）。 解解: 由式(5.31)知 2 j0e1e2e1e )() 3(:300e1e2e1e )()2(:22 j0e1e2e1e )() 1 (:140e1e2e1e )()0(:03/4j22-3/4j22-030/j2-/42j2
48、2-2/4j22-030/j2-1/4j22-1/4j22-030/j2-00030/j2-nNnknNnknNnknNnknxXknxXknxXknxXk因此可得x(t)的4点DFT：X(k)=4, -j2, 0, j2。 第5章 信号分析与处理 5.4.3 数字化分析处理中的问题数字化分析处理中的问题1. 频率混叠频率混叠由图5.20(c)可以看出，时域的采样引起了频域的周期化。 这时如果采样频率fs选得足够高，则频域各周期的图形不会发生重叠。与此同时，在应用中仅取-fs/2,fs/2(双边谱)或仅取0,fs/2(单边谱)进行分析，其余各周期不予理会，则频域周期化所带来的误差就可能完全避免
49、。在工程上，称采样频率的一半fn=fs/2为奈奎斯特频率或截止频率。 第5章 信号分析与处理 图5.21 混叠现象 第5章 信号分析与处理 如果原信号频带很宽或采样频率fs选得太低，则频域中相邻周期的波形就会发生重叠，从而引起误差，如图5.21所示。 这种现象称频率混淆，简称频混。如果一个信号的频谱具有无限的带宽，则不论如何选择采样频率fs，频混误差都不可避免。 然而这种信号并不多见，比较常见的是一个有用的低频信号混进了一个高频的噪声信号，因此在采样之前先用低通滤波器滤去高频噪声，这种低通滤波器称为抗混淆滤波器。在现代数字式分析系统中，抗混淆滤波器已被列为基本组成环节。抗混淆滤波器的截止频率选
50、为fS/2。 第5章 信号分析与处理 2. 采样频率及频率分辨力采样频率及频率分辨力由采样定理可知： 对于一个频率为0fm的有限带宽连续信号进行采样， 只有当采样频率fs2 fm 时， 其离散傅里叶变换才不发生频率混淆， 因而只有用这样采样的点才能得到离散信号的频谱， 同时也只有用这样采样的点才能够完全恢复原时域信号的连续波形x(t)，不过此时要借助下面的插值公式来求出采样点以外的其它点。 nTnTtTnTtnTxtxsssss)()(sin)()(5.33) 第5章 信号分析与处理 采样定理要求fs2fm，但采样频率fs并非选得越高越好。 由N个时域采样点进行离散傅里叶变换，得到N个频域点，