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1、第一章第一章 时域离散随机信号的分析时域离散随机信号的分析 1.21.2 时域离散随机信号的统计描述时域离散随机信号的统计描述1.11.1 引言引言1.31.3 随机序列数字特征的估计随机序列数字特征的估计1.41.4 平稳随机序列通过线性系统平稳随机序列通过线性系统 1.51.5 时间序列信号模型时间序列信号模型 现现 代代 信信 号号 处处 理理信息工程学院广播电视工程系牛力丕 数字信号处理 -时域离散随机信号处理丁玉美 等西安电子科技大学出版社教教 科科 书书参参 考考 书书3、数字信号处理-理论、算法与实现 胡广书 清华大学出版社2、现代数字信号处理 姚天任 华中理工大学出版社1、现代
2、信号处理 张贤达 清华大学出版社第一章第一章 时域离散随机信号的分析时域离散随机信号的分析 第二章第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章第三章 自适应数字滤波器自适应数字滤波器 第四章第四章 功率谱估计功率谱估计 本本 书书 内内 容容第一章第一章 时域离散随机信号的分析时域离散随机信号的分析 1.21.2 时域离散随机信号的统计描述时域离散随机信号的统计描述1.11.1 引言引言1.31.3 随机序列数字特征的估计随机序列数字特征的估计1.41.4 平稳随机序列通过线性系统平稳随机序列通过线性系统 1.51.5 时间序列信号模型时间序列信号模型 1.1 引引 言言 信号有确
3、定性信号和随机信号之分：信号有确定性信号和随机信号之分：确确定定性性信信号号：就就是是信信号号的的幅幅度度随随时时间间的的变变化化有有一一定定的的规规律律性性，可可以以用用一一个个明明确确的的数数学学关关系系进进行行描描述述，是可以再现的。是可以再现的。随随机机信信号号：随随时时间间的的变变化化没没有有明明确确的的变变化化规规律律，在在任任何何时时间间的的信信号号大大小小不不能能预预测测，因因此此不不可可能能用用一一明明确确的的数数学学关关系系进进行行描描述述，但但是是这这类类信信号号存存在在着着一一定定的的统统计计分分布布规规律律，它它可可以以用用概概率率密密度度函函数数、概概率率分分布函数
4、、数字特征等进行描述。布函数、数字特征等进行描述。(1)(1)连续随机信号：时间和幅度均取连续值的随机信号。连续随机信号：时间和幅度均取连续值的随机信号。实际中的随机信号常有四种形式：实际中的随机信号常有四种形式：(2)(2)时时域域离离散散随随机机信信号号：时时间间变变量量取取离离散散值值，而而幅幅度度取取连续值的随机信号。连续值的随机信号。(3)(3)幅幅度度离离散散随随机机信信号号：幅幅度度取取离离散散值值，而而时时间间变变量量取取连连续续值值的的随随机机信信号号。例例如如随随机机脉脉冲冲信信号号，其其取取值值只只有有两两个个电电平平，不不是是高高电电平平就就是是低低电电平平，但但高高低
5、低电电平平的的选选取却是随机的。取却是随机的。(4)(4)离离散散随随机机序序列列(也也称称为为随随机机数数字字信信号号)：幅幅度度和和时时间间变量均取离散值的信号。变量均取离散值的信号。随随机机信信号号X(X(t)是是由由它它所所有有可可能能的的样样本本函函数数集集合合而而成成的的,样本函数用样本函数用xi(t),i(t),i=1,2,3,=1,2,3,表示表示图图1.1.1 1.1.1 n部接收机的输出噪声电压部接收机的输出噪声电压 图图1.1.2 1.1.2 n部接收机输出噪声的时域离散化部接收机输出噪声的时域离散化 1.2 1.2 时域离散随机信号的统计描述时域离散随机信号的统计描述
6、概率分布函数概率分布函数概率密度函数概率密度函数N N维概率分布函数和维概率分布函数和N N维概率密度函数维概率密度函数 概概率率密密度度函函数数、概概率率分分布布函函数数能能对对随随机机序序列列进进行行完完整整的的描描述述,但但实实际际中中往往往往无无法法得得到到它它。因因此此，引引入入随随机机序序列列的的数数字字特特征征。在在实实际际中中，这这些些数数字字特特征征比比较较容容易易进进行行测测量量和和计计算算，知知道道这这些些数数字字特特征征也也足足够够用用了了。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数等。常用的数字特征有数学期望、方差和相关函数等。随机信号用概率密度函数、概率分布函数描述：
7、随机信号用概率密度函数、概率分布函数描述：1.2.2 1.2.2 随机序列的数字特征随机序列的数字特征式中式中E E表示求统计平均值。表示求统计平均值。由由上上式式可可见见，数数学学期期望望是是n的的函函数数，如如果果随随机机序序列是列是平稳的，则数学期望是与平稳的，则数学期望是与n无关常数。无关常数。1.1.数学期望数学期望(统计平均值统计平均值)2.2.均方值与方差均方值与方差随机序列的方差定义为随机序列的方差定义为 数学期望数学期望、均方值和、均方值和方差方差三者的关系为：三者的关系为：随机序列均方值定义为随机序列均方值定义为 一一般般均均方方值值和和方方差差都都是是n的的函函数数，但但
8、对对于于平平稳稳随随机机序序列，它们是与列，它们是与n无关的常数。将无关的常数。将x 称为标准方称为标准方差。差。3.3.随机序列的相关函数和协方差函数随机序列的相关函数和协方差函数 在在随随机机序序列列不不同同时时刻刻的的状状态态之之间间，存存在在着着关关联联性性，或或者者说说不不同同时时刻刻的的状状态态之之间间互互相相有有影影响响，包包括括随随机机序序列列本本身身或或者者不不同同随随机机序序列列之之间间。这这一一特特性性常常用用自自相相关关函数和互相关函数进行描述。函数和互相关函数进行描述。自相关函数自相关函数定义为定义为 自协方差函数自协方差函数定义为定义为 式中的式中的“*”“*”表示
9、复共轭。上式也可以写成表示复共轭。上式也可以写成 对于零均值随机序列，对于零均值随机序列，mXn=mXm=0,则则 此时，自相关函数和自协方差函数没有什么区别。此时，自相关函数和自协方差函数没有什么区别。对对于于两两个个不不同同的的随随机机序序列列之之间间的的关关联联性性，我我们们用用互相关函数和互协方差函数描述。互相关函数和互协方差函数描述。当当 mXn=mYm=0 时时，cov(Xn,Ym)=rxy(n,m)互相关函数互相关函数的定义为的定义为 互协方差函数互协方差函数定义为定义为 在在信信息息处处理理与与传传输输中中，经经常常遇遇到到一一类类称称为为平平稳稳随随机机序序列列的的重重要要信
10、信号号。所所谓谓平平稳稳随随机机序序列列，是是指指它它的的N维维概概率率分分布布函函数数或或N维维概概率率密密度度函函数数与与时时间间n的的起起始始位位置置无无关关。换换句句话话说说，平平稳稳随随机机序序列列的的统统计计特特性性不不随随时时间而发生变化。间而发生变化。1.2.3 1.2.3 平稳随机序列及其数字特征平稳随机序列及其数字特征上面这类随机序列称为上面这类随机序列称为狭义狭义(严严)平稳随机序列平稳随机序列，这一，这一严平稳的条件在实际情况下很难满足。严平稳的条件在实际情况下很难满足。许许多多随随机机序序列列不不是是平平稳稳随随机机序序列列，但但它它们们的的均均值值和和方方差差却却不
11、不随随时时间间改改变变，其其相相关关函函数数仅仅是是时时间间差差的的函函数数。一一般般将这一类随机序列称为将这一类随机序列称为广义广义(宽宽)平稳随机序列平稳随机序列。平平稳稳随随机机序序列列的的一一维维概概率率密密度度函函数数与与时时间间无无关关，因此均值、方差和均方值均是与时间无关的常数。因此均值、方差和均方值均是与时间无关的常数。二二维维概概率率密密度度函函数数仅仅决决定定于于时时间间差差，与与起起始始时时间间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。两个各自平稳且联合平稳的随机序列两个各自平稳且联合平稳的随机序列,其互相关函数为其互相关
12、函数为显然显然,对于自相关函数和互相关函数对于自相关函数和互相关函数,下面公式成立下面公式成立:则称两个随机序列互为则称两个随机序列互为正交正交则称两个随机序列则称两个随机序列互不相关互不相关 1)1)自相关函数和自协方差函数是自相关函数和自协方差函数是m的偶函数的偶函数:2)2)rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率数值上等于随机序列的平均功率实平稳随机序列的相关函数、协方差函数有如下性质实平稳随机序列的相关函数、协方差函数有如下性质3)3)4)4)上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，愈来愈弱。间差的变大，愈来愈弱。5)5)随
13、随机机序序列列的的自自相相关关函函数数是是非非周周期期序序列列，但但随随着着时时间间差差m的的增增大大，趋趋近近于于随随机机序序列列的的均均值值。如如果果随随机序列的均值为机序列的均值为0 0，rxx(m)是收敛序列。是收敛序列。1.2.4 平稳随机序列的功率密度谱平稳随机序列的功率密度谱随机序列自相关函数的随机序列自相关函数的z变换为：变换为：平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信号，无法直接利用傅里叶变换进行分析。号，无法直接利用傅里叶变换进行分析。进行进行z变换，得变换，得类似地，互相关函数的类似地，互相关函数的z变换用变换用Pxy(z)表示表示
14、如果如果z1是其极点是其极点，1/z*1也是极点也是极点如果如果z1在单位圆内在单位圆内，1/z*1必在单位圆外必在单位圆外所以收敛域一定包含所以收敛域一定包含单位圆单位圆，Pxx(z)的收敛域为的收敛域为:进行进行z变换，得变换，得Pxx(z)的收敛域包含单位圆，的收敛域包含单位圆，rxx(m)的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在将将m=0代入反变换公式，得代入反变换公式，得 将将 代入，有代入，有称为称为功率谱密度功率谱密度，简称，简称功率谱功率谱 离散离散 周期周期非周期非周期 连续连续离散、非周期序列离散、非周期序列 周期、连续的频谱周期、连续的频谱rxx(0)等于随机序列的平均功率等于随
15、机序列的平均功率1)1)功率谱是功率谱是的偶函数的偶函数实、平稳随机序列的功率谱，有如下的性质实、平稳随机序列的功率谱，有如下的性质:2)2)功率谱是实的非负函数功率谱是实的非负函数集集合合平平均均要要求求对对大大量量的的样样本本进进行行平平均均,实实际际中中这这种种的的做做法法是是不不现现实实的的。在在很很多多情情况况下下，可可以以用用研研究究一一条条样样本曲线来代替研究整个随机序列。本曲线来代替研究整个随机序列。其其时间自相关函数时间自相关函数为为 式中式中表示时间平均算子表示时间平均算子1.2.5 1.2.5 随机序列的各态历经性随机序列的各态历经性设设x(n)是是平平稳稳随随机机序序列
16、列X(n)的的一一条条样样本本曲曲线线，其其时时间间平平均值均值为为 如如果果平平稳稳随随机机序序列列的的集集合合平平均均值值与与集集合合自自相相关关函函数数值值依依概概率率趋趋于于平平稳稳随随机机序序列列样样本本函函数数的的时时间间平平均均值值与与时时间自相关函数间自相关函数 平平稳稳随随机机序序列列虽虽有有各各态态历历经经性性的的和和非非各各态态历历经经性性的的两两种种，但但在在实实际际中中遇遇到到的的平平稳稳随随机机序序列列，一一般般都都是是各各态态历历经经性性的的。用用研研究究平平稳稳随随机机序序列列的的一一条条样样本本曲曲线线代代替替研研究究其其集集合合，用用时时间间平平均均代代替替
17、集集合合平平均均，这这给给研研究平稳随机序列带来很大的方便。究平稳随机序列带来很大的方便。则称该平稳随机序列具有则称该平稳随机序列具有各态历经性各态历经性正态随机序列的概率密度函数是正态随机序列的概率密度函数是钟钟形曲形曲线线1.2.6 1.2.6 特定的随机序列特定的随机序列1.1.正态（高斯）随机序列正态（高斯）随机序列具具有有指指数数型型自自相相关关函函数数的的平平稳稳高高斯斯过过程程称称为为高高斯斯马马尔可夫过程。这种信号的自相关函数和谱尔可夫过程。这种信号的自相关函数和谱密度函数为密度函数为 高高斯斯马马尔尔可可夫夫是是一一种种常常见见的的随随机机信信号号，适适合合于于大大多多数物理
18、过程，具有较好的精确性，数学描述简单。数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。过程的自相关函过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。数特性完全描述了过程的特性。随机序列的变量不同时刻之间是两两不相关的，即随机序列的变量不同时刻之间是两两不相关的，即 式中式中 称序列为白噪声序列称序列为白噪声序列;2.2.白噪声序列白噪声序列2是是常常数数。设设均均值值mx=0，其其功功率率谱谱Pxx(ej)=2，在在整整个频带上功率谱是一个常数。个频带上功率谱是一个常数。如果该序列是平稳的，则如果该序列是平稳的，则注注意意：正正态态和和白白色色是是两两种种不不同同的的概概念念，正正态态是是指指信信号号取
19、取值值的的规规律律服服从从正正态态分分布布，白白色色是是指指信信号号不不同同时时刻刻取取值的关联性。值的关联性。服从正态分布的服从正态分布的白噪声序列，称为白噪声序列，称为正态白噪声序列正态白噪声序列白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想的噪声。一般只要信号的带宽大于系统的带一种理想的噪声。一般只要信号的带宽大于系统的带宽，并且在系统的带宽内信号的频谱基本恒定，便可宽，并且在系统的带宽内信号的频谱基本恒定，便可把该信号认为是白噪声。把该信号认为是白噪声。3.3.谐波过程谐波过程 其其中中，Ai和和i(i=1,2,3,N)是是常常数数
20、，i(i=1,2,3,N)是服从是服从均匀分布的随机变量，其概率密度为：均匀分布的随机变量，其概率密度为：谐波过程也可以写成下式谐波过程也可以写成下式:谐波过程用下式描述谐波过程用下式描述设设N=1,1,计算它的统计平均值和自相关计算它的统计平均值和自相关函数：函数：由由于于谐谐波波过过程程的的统统计计平平均均值值与与时时间间n无无关关，自自相相关关函函数仅与时间差数仅与时间差m有关，所以谐波过程是平稳的。有关，所以谐波过程是平稳的。当当N大于大于1 1时，也有同样的结论时，也有同样的结论白噪声白噪声序列的相关性最差，序列的相关性最差，谐波谐波序列的相关性最强序列的相关性最强如果平稳随机信号的
21、功率谱如果平稳随机信号的功率谱Pxx()满足下式：满足下式：则则称称该该随随机机信信号号为为低低通通性性带带限限随随机机信信号号，式式中中c c表表示示功率谱的最高截止频率。功率谱的最高截止频率。1.2.7 1.2.7 随机信号的采样定理随机信号的采样定理采样频率采样频率fs必须满足：必须满足：对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某一有限频带内，该随机信号称为带限随机信号。一有限频带内，该随机信号称为带限随机信号。1.3 1.3 随机序列数字特征的估计随机序列数字特征的估计 1.3.1 1.3.1 估计准则估计准则 根根据据观观测测数数据据对对一一
22、个个量量(参参数数)或或者者同同时时对对几几个个量量(参参数数)进进行行推推断断，是是估估计计问问题题。无无论论对对那那种种量量估估计计，都都必必须须根根据据观观测测数数据据进进行行估估计计，而而观观测测是是存存在在观观测测误误差差的的(或或者者把把观观测测误误差差看看成成噪噪声声)，虽虽然然被被估估计计的的参参数数是是确确定定量量，但但观观测测数数据据却却是是随随机机的的，所所以以由由观观测测数数据据推推算算出出的的估估计计量量存存在在着着随随机机估估计计误误差差。因因此此如如何何判判定定估计方法的好坏，是统计估计的基本问题。估计方法的好坏，是统计估计的基本问题。假假定定对对随随机机变变量量
23、x观观测测了了N次次，得得到到N个个观观测测值值：x0,x1,x2,xN-1，希望通过这希望通过这N个观测值来估计参数个观测值来估计参数 图图 1.3.1 1.3.1 估计量的概率密度曲线估计量的概率密度曲线 的估计值用表示。它是观测值的函数：的估计值用表示。它是观测值的函数：偏移性偏移性方差方差一致性一致性1.1.偏移性偏移性如如果果B=0，称称为为无无偏偏估估计计。无无偏偏估估计计表表示示估估计计量量仅仅在在它的真值附近摆动，这是我们希望的估计特性。它的真值附近摆动，这是我们希望的估计特性。则称为则称为渐近无偏估计渐近无偏估计，这种情况在实际中是常见的。，这种情况在实际中是常见的。估计量的
24、统计平均值与真值之间的差值为偏移估计量的统计平均值与真值之间的差值为偏移如果随着观察次数如果随着观察次数N的加大，能够满足下式：的加大，能够满足下式：如果如果B B00，则称为，则称为有偏估计有偏估计 和和 都都是是x的的无无偏偏估估计计值值，如如果果对对任任意意N，它它们们的的方差满足：方差满足：则称比更有效。一般希望当则称比更有效。一般希望当N时，时，2.2.估计量的方差估计量的方差如果两个估计量在观察次数相同时，都是无偏估计，如果两个估计量在观察次数相同时，都是无偏估计，哪一个估计量在真值附近的摆动更小一些，即估计量哪一个估计量在真值附近的摆动更小一些，即估计量的方差更小一些，则这个估计
25、就更有效。的方差更小一些，则这个估计就更有效。比比较较两两个个有有偏偏估估计计是是较较麻麻烦烦的的。偏偏移移较较小小的的估估计计，可可能能有有较较大大的的方方差差，而而方方差差较较小小的的估估计计可可能能有有较较大大的的偏偏移。此时使用估计值的均方误差会更方便。移。此时使用估计值的均方误差会更方便。如如果果估估计计量量的的均均方方差差随随着着观观察察次次数数的的增增加加趋趋于于0 0，即即估估计计量量随随N N的的加加大大，在在均均方方意意义义上上趋趋于于它它的的真真值值，则则称该估计是称该估计是一致估计一致估计。3.3.一致性一致性均方误差均方误差估计量的估计量的均方误差均方误差为：为：通通
26、常常对对于于一一种种估估计计方方法法的的选选定定，往往往往无无法法使使上上述述的的三三种种性性能能评评价价一一致致，此此时时只只能能对对它它们们折折衷衷考考虑虑，尽尽量量满满足足无偏性无偏性和和一致性一致性。估计量的估计量的均方误差均方误差与估计量的与估计量的方差方差和和偏移偏移的关系：的关系：随随N N的加大，偏移和估计量方差都趋于零，是一致估的加大，偏移和估计量方差都趋于零，是一致估计的充分必要条件。计的充分必要条件。1.3.2 1.3.2 均值的估计均值的估计下面评价它的估计质量。下面评价它的估计质量。对于样本数据：对于样本数据：xi(i=0,1,2,N-1)，均值的估均值的估计用下式计
27、算：计用下式计算：1.1.偏移偏移 B=0，说明这种估计是无偏估计，说明这种估计是无偏估计2.2.估计量的方差与均方误差估计量的方差与均方误差 在计算上式时，与数据内部的相关性有关，先假在计算上式时，与数据内部的相关性有关，先假设数据内部不相关设数据内部不相关 上上式式表表明明，估估计计量量的的方方差差随随观观察察次次数数N N增增加加而而减减少少，当当NN时，估计量的方差趋于时，估计量的方差趋于0 0。B B=0，当当N N时，时，是是一一致致估估计计。结结论论是是：当当数数据据内内部部不不相相关关时时，按按照照上上式式估估计均值，是一种无偏的一致估计。计均值，是一种无偏的一致估计。当数据内
28、部存在关联性，会使一致的效果下降，估计当数据内部存在关联性，会使一致的效果下降，估计量的方差比数据内部不存在相关情况的方差要大量的方差比数据内部不存在相关情况的方差要大估计量的估计量的均方误差均方误差为为 已已知知N N点点观观测测数数据据xi(i=0,1,2,N-1)，假假设设数数据据之间不存在相关性，且信号之间不存在相关性，且信号的均值的均值mx已知，方差估计：已知，方差估计：但但实实际际中中mx是是不不知知道道的的。下下面面分分析析数数据据之之间间不不存存在在相相关关性，均值也不知道的情况下，方差的估计性，均值也不知道的情况下，方差的估计1.3.3 1.3.3 方差的估计方差的估计 可以
29、证明这是一致估计。可以证明这是一致估计。偏移性偏移性式中的第二项已经推出，下面推导第三项：式中的第二项已经推出，下面推导第三项：是有偏估计，但是渐进无偏。是有偏估计，但是渐进无偏。之间的关系是之间的关系是 和和 为了得到无偏估计，可以用下式计算：为了得到无偏估计，可以用下式计算：如如果果数数据据之之间间存存在在相相关关性性，按按照照上上式式计计算算方方差差，可以证明是有偏估计可以证明是有偏估计，但是渐近无偏估计。，但是渐近无偏估计。1.3.4 1.3.4 随机序列自相关函数的估计随机序列自相关函数的估计 1.1.无偏自相关函数的估计无偏自相关函数的估计写成一个表达式：写成一个表达式：0mN-1
30、 1-N m 0 分析这种自相关函数的估计质量分析这种自相关函数的估计质量B=0，是无偏估计，是无偏估计估计量的方差估计量的方差:偏移性：偏移性：只有当只有当N N m，N N时，估计量的方差才趋于时，估计量的方差才趋于0，当当mNN时，方差将很大。不是一种好的估计，虽然时，方差将很大。不是一种好的估计，虽然是无偏估计，但不是一致估计。是无偏估计，但不是一致估计。对比无偏估计公式，不同的是求平均时只用对比无偏估计公式，不同的是求平均时只用N N去除。去除。2.2.有偏自相关函数的估计有偏自相关函数的估计有偏自相关函数与有偏自相关函数与无偏自相关函数的关系式为：无偏自相关函数的关系式为：说明说明
31、 是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移两种估计的方差关系为两种估计的方差关系为 将无偏估计的方差公式代入将无偏估计的方差公式代入,得有偏估计的方差得有偏估计的方差 虽虽然然是是有有偏偏估估计计，但但是是渐渐近近一一致致估估计计，估估计计量量的的方方差差小小于于无无偏偏估估计计的的方方差差。因因此此实实际际中中多多采采用用这这种种有偏自相关函数估计。有偏自相关函数估计。当当NN时时,相关函数应用举例相关函数应用举例1.4 1.4 平稳随机序列通过线性系统平稳随机序列通过线性系统 1.4.1 1.4.1 系统响应的均值、自相关函数和平稳性分析系统响应的均值、自相关函数和
32、平稳性分析输入是平稳随机序列输入是平稳随机序列设设线线性性系系统统是是稳稳定定非非时时变变的的，其其单单位位脉脉冲冲响响应应为为h(n),输入是平稳随机序输入是平稳随机序列列x(n)，系统的输出为，系统的输出为 输出输出的均值为的均值为 输出输出的自相关函数为的自相关函数为 x(n)是平稳的是平稳的输出是平稳随机序列输出是平稳随机序列令令 l=r-kv(l)称为称为h(n)的自相关函数的自相关函数，可以将可以将v(l)写成卷积形式写成卷积形式线性系统输出的自相关函数等于输入的自相关函数与线性系统输出的自相关函数等于输入的自相关函数与线性系统单位脉冲响应的自相关函数的卷积。线性系统单位脉冲响应的
33、自相关函数的卷积。1.4.2 1.4.2 输出响应的功率谱密度函数输出响应的功率谱密度函数将将 代入，得到输出功率谱：代入，得到输出功率谱：利用上式证明功率谱密度函数的非负性利用上式证明功率谱密度函数的非负性随机序列的平均功率随机序列的平均功率 故故Pxx(ej)0，信号的功率谱是实、，信号的功率谱是实、偶、非负函数偶、非负函数 和和 均是均是的偶的偶函数函数-wb-wawawb2pw)(ejwH10p-p理想带通滤波器的幅度特性理想带通滤波器的幅度特性 假设系统的幅度特性如下图所示假设系统的幅度特性如下图所示线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为 设
34、设x(n)是零均值平稳随机序列，上是零均值平稳随机序列，上式的式的z变换为变换为 输入、输出的互功率谱表示为输入、输出的互功率谱表示为 1.4.3 1.4.3 系统的输入、输出互相关函数系统的输入、输出互相关函数输入、输出互相关定理输入、输出互相关定理：输入、输出互相关函数等于：输入、输出互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。将系统输出的自相关函数公式重写：将系统输出的自相关函数公式重写：该该公公式式用用语语言言叙叙述述如如下下：x(n)与与h(n)卷卷积积的的自自相相关关函函数数等于等于x(n)的自相关函数和的自相关函数和h(n)的
35、自相关函数的卷积。的自相关函数的卷积。1.4.4 1.4.4 相关卷积定理相关卷积定理或者简单地说：或者简单地说：卷积的相关等于相关的卷积卷积的相关等于相关的卷积例例1.4.1 1.4.1 假假设设系系统统的的输输入入、输输出出和和单单位位脉脉冲冲响响应应分分别别用用x(n)、y(n)和和h(n)表表示示，试试求求输输入入、输输出出互互相相关关函函数数和输入自相关函数之间的关系。和输入自相关函数之间的关系。解解 按照相关卷积定理，得到按照相关卷积定理，得到 输出、输入互相关函数和输入自相关函数之间的关系：输出、输入互相关函数和输入自相关函数之间的关系：这就是已经推导出的输入、输出互相关卷积定理
36、。这就是已经推导出的输入、输出互相关卷积定理。解：解：例例1.4.2 1.4.2 按按照照下下图图，推推导导两两个个系系统统的的输输出出互互相相关关函函数数与输入互相关函数之间的关系。与输入互相关函数之间的关系。H1(z)H2(z)x1(n)x2(n)y1(n)y2(n)按照相关卷积定理按照相关卷积定理,有有 例例1.4.3 1.4.3 已已知知实实平平稳稳白白噪噪声声x(n)的的功功率率谱谱是是2x，使使通通过过一一个个q阶阶的的FIRFIR网网络络，求求输输出出自自相相关关函函数数ryy(m)、功功率率谱谱Pyy(ej)、互相关函数互相关函数rxy(m)和互功率谱和互功率谱Pxy(ej)网
37、络输出的功率谱为：网络输出的功率谱为：解：解：q阶阶FIRFIR网络的传输函数为：网络的传输函数为：输出信号的自相关函数有限长，存在于输出信号的自相关函数有限长，存在于q之间。之间。同样方法，可求出互功率谱和互相关函数：同样方法，可求出互功率谱和互相关函数：例例1.4.4 1.4.4 设设实实平平稳稳白白噪噪声声x(n)的的方方差差是是2x,均均值值mx=0，让，让x(n)通过一个网络，网络的差分方程为通过一个网络，网络的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)式中式中a是实数。求网络输出的功率谱和自相关函数。是实数。求网络输出的功率谱和自相关函数。解：解：令令m=0,则则 先用归纳法求网
38、络输出的自相关函数先用归纳法求网络输出的自相关函数令令m=1，则则 令令m=2，则，则 网络输出功率谱为网络输出功率谱为 a是网络的极点，为了稳定，要求是网络的极点，为了稳定，要求|a|1。y(n)=x(n)+ay(n-1)a愈接近于单位圆，功率谱峰愈尖锐，带宽愈窄，但愈接近于单位圆，功率谱峰愈尖锐，带宽愈窄，但相关函数衰减愈慢；反过来，相关函数衰减愈慢；反过来，a愈小，功率谱下降愈愈小，功率谱下降愈慢，自相关函数衰减愈加快。慢，自相关函数衰减愈加快。1.5 1.5 时间序列信号模型时间序列信号模型 图图1.5.1 1.5.1 平稳随机序列的信号模型平稳随机序列的信号模型 假设信号模型用一个假
39、设信号模型用一个P阶差分方程描述阶差分方程描述式中，式中，w(n)是零均值、方差为是零均值、方差为2w的白噪声的白噪声;1.5.1 1.5.1 三种时间序列模型三种时间序列模型根据系数取值情况，将模型分成以下三种：根据系数取值情况，将模型分成以下三种：x(n)是要研究的随机序列是要研究的随机序列当当差差分分方方程程中中ai=0,i=1,2,3,p时时，该该模模型型称称为为MAMA模模型。模型差型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：分方程和系统函数分别用下式表示：该该模模型型只只有有零零点点,没没有有除除原原点点以以外外的的极极点点，因因此此模模型型也也称称为为全全零零点点模模型型。如如果果
40、模模型型全全部部零零点点都都在在单单位位圆圆内内，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。1.1.滑动平均模型（滑动平均模型（Moving AverageMoving Average，简称，简称MAMA模型）模型）当当差差分分方方程程中中bi=0,i=1,2,3,，q时时，该该模模型型称称为为ARAR模型。模型模型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：差分方程和系统函数分别用下式表示：上上式式表表明明该该模模型型只只有有极极点点,没没有有除除原原点点以以外外的的零零点点，因因此此该该模模型型也也称称为为全全极极点点模模型型。只只有有当当全全部部极极点点都都
41、在在单位圆内部时，模型才稳定。单位圆内部时，模型才稳定。2.2.自回归模型（自回归模型（Autoregressive,Autoregressive,简称简称ARAR模型）模型）分分子子部部分分称称为为MAMA部部分分，分分母母部部分分称称为为ARAR部部分分，这这两两部部分无公共因子，应分无公共因子，应分别满足稳定性和可逆性的条件。分别满足稳定性和可逆性的条件。3.3.自回归自回归-滑动平均模型（简称滑动平均模型（简称ARMAARMA模型）模型）当当差差分分方方程程中中 时时，该该模模型型称称为为ARMAARMA模模型型。模模型的型的系统函数为：系统函数为：对对于于FIR滤滤波波器器或或者者M
42、AMA模模型型的的阶阶数数，是是指指分分子子多多项项式式中中q的大小，或者说的大小，或者说是它的长度减是它的长度减1 1。滤波器长度一般是指滤波器的单位脉冲响应滤波器长度一般是指滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度的长度对于对于FIRFIR滤波器或者滤波器或者MAMA模型，其单位脉冲响应的长度是模型，其单位脉冲响应的长度是有限长的，长度就是系数的个数；有限长的，长度就是系数的个数；对于对于IIRIIR滤波器或者滤波器或者ARAR模型、模型、ARMAARMA模型，其单位脉冲响模型，其单位脉冲响应的长度则是无限长的，一般只讲它的阶数；应的长度则是无限长的，一般只讲它的阶数；阶数是指分母多项式中的阶数
43、是指分母多项式中的p的大小的大小.该该定定理理说说明明MAMA信信号号模模型型具具有有普普遍遍适适用用的的性性质质。由由于于ARMAARMA信信号号模模型型包包含含了了MAMA模模型型部部分分，因因此此ARMAARMA信信号号模模型型也具有普遍适用的性质。也具有普遍适用的性质。1.5.2 1.5.2 三种时间序列信号模型的适应性三种时间序列信号模型的适应性(1)(1)沃尔德分解定理：沃尔德分解定理：式中式中u(n)是确定性信号是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的是具有连续谱分布函数的平稳随机平稳随机MAMA序列。确定性部分可以不存在或者事先去掉，序列。确定性部分可以不存在或者事先去掉，
44、MAMA部分常常是有限阶的。部分常常是有限阶的。一个实平稳随机序列一个实平稳随机序列x(n)均可以分解均可以分解:x(n)=u(n)+v(n)(2)(2)任任意意一一个个MAMA序序列列均均可可用用无无限限阶阶ARAR信信号号模模型型表表示示，或者用阶数足够大的或者用阶数足够大的ARAR信号模型近似表示。信号模型近似表示。例如：例如：ARMAARMA模型系统函数为模型系统函数为 设设ARAR模型系统函数为：模型系统函数为：以上说明以上说明MAMA和和ARMAARMA模型可以用无限阶模型可以用无限阶ARAR模型表示模型表示例如：例如：同样，同样，ARMAARMA模型也可以用无限阶的模型也可以用无
45、限阶的MAMA模型表示模型表示以以上上表表明明三三种种信信号号模模型型可可以以相相互互转转化化，而而且且都都具具有有普普遍遍适适用用性性。但但是是对对于于同同一一时时间间序序列列用用不不同同的的信信号号模型表示时，却有不同的效率。模型表示时，却有不同的效率。ARAR模型较其它两种模型计算简单，研究人员喜欢采用模型较其它两种模型计算简单，研究人员喜欢采用ARAR模型，只要阶数选高些，近似性较好。模型，只要阶数选高些，近似性较好。一般一般ARAR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，深谷的信号，MAMA模型适合表示功率谱有深谷而没有尖模型适合表
46、示功率谱有深谷而没有尖峰的信号，峰的信号，ARMAARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。模型则适合尖峰和深谷都有的情况。1.5.3 自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系 如如果果信信号号模模型型输输出出的的功功率率谱谱是是e ejj或或者者coscos的的有有理理函函数数，这种随机信号称为有理谱信号。，这种随机信号称为有理谱信号。1.1.有理谱信号有理谱信号如果如果 是是 的极点，的极点，就是就是 的极点，的极点，一定包含下面的因子：一定包含下面的因子：有理函数有理函数(rational function):分子分母都是多项式函数分子分母都是多
47、项式函数有理谱信号的功率谱是有理谱信号的功率谱是e ej j或者或者coscos的有理函数的有理函数 因此因此 是是 的函数，设该函数用的函数，设该函数用 表示表示令令 得到得到 如如果果功功率率谱谱Pxx(ej)是是平平稳稳随随机机序序列列x(n)的的有有理理谱谱，那那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z)满足满足 式中，式中，ak,bk都是实数，都是实数，a0=b0=1,且且|k|1,|k|12.2.谱分解定理谱分解定理因因为为功功率率谱谱系系数数是是实实数数，圆圆外外的的零零极极点点必必定定与与圆圆内内的的零零极极点点对对称称出出现现
48、。这这样样除除了了单单位位圆圆内内部部零零极极点点外外，用用其它零、极点组成的系统函数必定是其它零、极点组成的系统函数必定是H(z-1)。对于因果稳定的系统，其极点只能分布在单位圆内对于因果稳定的系统，其极点只能分布在单位圆内部，而零点分布不影响系统的因果稳定性。部，而零点分布不影响系统的因果稳定性。可以用单位圆内部的零、极点构成一个系统可以用单位圆内部的零、极点构成一个系统H(z)（该（该系统必然是最小相位系统）系统必然是最小相位系统）例例1.5.1 1.5.1 已知有理谱如下式：已知有理谱如下式：写出所有可能的分解形式：写出所有可能的分解形式：如如果果没没有有零零极极点点均均在在单单位位圆
49、圆内内部部这这个个约约束束条条件件，分分解解便便不不是是唯唯一一的的。另另外外，按按照照谱谱分分解解定定理理分分解解出出H(z)一一定是最小相位系统，它保证了模型的可逆性。定是最小相位系统，它保证了模型的可逆性。在上面四种分解情况中，只有在上面四种分解情况中，只有(1)(1)满足极零点均在单满足极零点均在单位圆内部，因此按照谱分解定理的约束条件，只能唯位圆内部，因此按照谱分解定理的约束条件，只能唯一地分解出一个零极点均在单位圆内部的系统函数。一地分解出一个零极点均在单位圆内部的系统函数。例例1.5.2 1.5.2 已知一阶已知一阶ARAR模型：模型：式式中中,w(n)是是零零均均值值、方方差差
50、2w=1的的白白噪噪声声，设设x(0)=0，试求与其等价的自相关函数和功率谱。，试求与其等价的自相关函数和功率谱。解解 由模型的差分方程得到其系统函数为：由模型的差分方程得到其系统函数为：3)3)构造对每个根构造对每个根i i的方程的方程:该方程有两个根：该方程有两个根：zi和和1/1/zi ，其中其中zi是是单位圆内的根单位圆内的根上例说明了上例说明了功率谱功率谱、自相关函数自相关函数和和信号模型信号模型之间的之间的相互等价关系。相互等价关系。功率谱是功率谱是cos的函数，为了对功率谱进行谱分解，的函数，为了对功率谱进行谱分解，下面介绍一种分解方法：下面介绍一种分解方法：1)1)用用代替代替