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1、偏导数连续偏导数连续(1) 函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数存在偏导数存在 (2) 函数可微函数可微多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1、一元函数与多元函数复合的情形、一元函数与多元函数复合的情形2、多元函数与多元函数复合的情形、多元函数与多元函数复合的情形3、其他情形、其他情形tvvztuuztzdddddd1、一元函数与多元函数复合的情形、一元函数与多元函数复合的情形zuvt“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘” ( 全导数公式全导数公式 )uzdtduvzdtdv),( vufz)(),(tvtu（1 1）),(ufz),( yxu（2 2）xuufxz)(yuufy
2、z)(zuxy)(uf xuyu2、多元函数与多元函数复合的情形、多元函数与多元函数复合的情形),(),(yxyxfz定理定理. 若函数若函数,),(),(, ),(的偏导数及对具有对在点yxyxyxvyxu),(vufz 处有连续偏导处有连续偏导, ),(vu在对应点在点在点 (x,y)的两个偏导数都存在的两个偏导数都存在, 则复合函数则复合函数且有且有xzyzxuuzxvvzyuuzyvvzzuvxyzwvuyx),(yxu ),(yxv ),(yxww ),(yxxy),(wvufz),(wvuxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 类似地再推广类似地再推广，设，设都
3、在点都在点具有对具有对和和的偏导数，函数的偏导数，函数在对应点在对应点具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数, ,),(),(),(yxwyxyxfz在点在点),(yx的两个偏导数都存的两个偏导数都存, ,在，并且有在，并且有例例1. 1. 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解: :xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 例例2. 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw3、其他情形、
4、其他情形)(),(yyxfz定理定理. 若函数若函数),(),(yxyxu在点),(vufz 处有连续偏导处有连续偏导, ),(vu在对应点可导可导, 则复合函数则复合函数的两个偏导数都存在，且有的两个偏导数都存在，且有),(yx)(yv在点在点具有对具有对xy和和的偏导数，的偏导数，函数函数y在点在点xuuzxzdydvvzyuuzyzzuvxy在情形在情形3中，还会遇到这样的情形：中，还会遇到这样的情形：复合函数复合函数的某些的某些中间变量中间变量本身本身又是又是复合函数的复合函数的自变量自变量.),),(yxyxfz例如：设函数例如：设函数),(yxu),(yxufz 则复合函数则复合函
5、数zuxyxyxzxuuzxzyfyuufyzxf)(xzufxfxuufxzwv例例3.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2yu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2uxyzxy例例4. 设设 ,sintvuz.ddtztzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数求全导数,etu ,costv 解解:tusintcosuzvtt二、多元复
6、合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvz都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.若若 u , v就是就是自变量自变量,则则 ),( vufz 的全微分为的全微分为vd例例1 .,si
7、neyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6. 利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则2. 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对不论不论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d（1 1）“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘” z),2 , 1(mjuj),2 , 1(nixi（2）设复合函数的因变量为）设复合函数的因变量为 ，中间变量为中间变量为，自变量为，自变量为 ，则，则ijjmjixuuzxz1如果有一元函数，则如果有一元函数，则将将 改成改成 d精品课件精品课件！精品课件精品课件！