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1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则设函数设函数 z=f(u)可微，可微，u=g(x,y)偏导数存在，偏导数存在，函数关系图函数关系图问题：设函数问题：设函数 z=f(u,v)可微，可微，与与 导数存在，导数存在，一、链式法则一、链式法则定理定理 若函数若函数 及及 都在点都在点x可导，可导，函数函数z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)可微可微，则复合函数则复合函数 在点在点x 可导，且可导，且链式法则：复合函数的链式法则：复合函数的链式法则：复合函数的链式法则：复合函数的(偏偏偏偏)导数，等于其各条导数，等于其各条导数，等于其各条导数，等于其各条复合链上的复合链上
2、的复合链上的复合链上的(偏偏偏偏)导数乘积之和。导数乘积之和。导数乘积之和。导数乘积之和。解解例例1 设设 ，而，而 u=xy，v=x+y，求求例例2 设设验证验证例例3 设设z=f(u,v)，而，而 u=x2siny，v=2x+y 求求 解解2xsiny2 x2cosy1记记例例4 设设 求求解解 设设练习题练习题 1.设设 求求 2.设函数设函数f(u,v)偏导数连续，且偏导数连续，且求求 3.过点过点(1,3,2)且与直且与直线线平行的直线为平行的直线为_.解解例例5 设设w=f(x+y+z,xyz)，f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数(f)求求练习题练习题2.求过点求过点(0,3,2)且与且与z轴相交成轴相交成 角的直线方程角的直线方程1.设设 求求作业：作业：P82:T4,T6,T8(1)(2),T12(2)无论无论 z 是自变量是自变量u,v 的函数或中间变量的函数或中间变量u,v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：设函数设函数z=f(u,v)有连续偏导数，有连续偏导数，（u,v为自变量）为自变量）（u,v为中间变量）为中间变量）二、全微分形式上的不变性二、全微分形式上的不变性解解例例6 已知已知