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1、谈概率论中的反例教学 【摘要】概率论中的反例是加深学生对概念、定理及性质理解的重要手段，能帮助学生记牢所学学问，提高思维创新实力。本文从反例对概念的理解，帮助公式的学习，订正学习中的错误，培育学生的创新实力四个方面做了具体的分析。 【关键词】反例 概率论 教学 创新实力 【中图分类号】G642【文献标识码】A 【文章编号】2095-308927-0116-02 概率论是探讨随机现象统计规律性的数学分支，它是学习数理统计的基础，它理论性强、应用广泛。是高等学校工科及经管类专业的一门基础必修课，同时也是考研的一门必考课。在课堂教学中，老师正面讲解并描述概念，干脆证明或给出性质，学生往往不易接受，若
2、老师运用反例教学会对学生学问的理解与驾驭方面帮助很大，它可以加深学生对概念及性质的理解与应用，达到事半功倍的效果。 反例就是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论。反例是推翻一个假命题的最有效手段。学生通过举出一个反例，可以获得成就感，即可以培育学生的学习爱好，也可以培育学生的创新实力。 一、反例可以加深学生对概念的理解 概率论中的有些概念比较抽象，正面不易理解，有时学生会摸不着头脑，这样就影响学生的学习效果。奇妙设置反例可以弥补教学中的不足，可以加深学生对基本概念的理解。 例如：概率为0的事务不肯定是不行能事务。多数学生易用古典概型学问理解概率为
3、0的事务是不行能事务，但在几何概型中“概率为0的事务不肯定是不行能事务”。 如在几何概率中，设=|0x，y1，A=|x=y，0x，y1则P= = =0，可见事务A是可能发生的。学习了连续型随机变量学问后，我们知道连续型随机变量在某个点取值的概率为0，从而也说明白概率为0的事务不肯定是不行能事务。 二、反例可以帮助学生学习公式 由于概率论中的公式许多，学生在运用公式时，若不留意公式的运用条件，极易得到错误的结论。老师课堂教学时除了正面讲解公式外，还应多举些反例以帮助学生加深对公式的理解与驾驭。 例如，二维随机变量X与Y相互独立，则E=E E。反之结论未必成立。如： 二维随机变量的联合密度函数f=
4、 ，x2+y21 0，其它，易求得： E= xy dxdy= xdx=0， E= x dxdy=0，E= y dxdy=0 因此，有E=EE 又当-1x1时，fX= fdy= dy = 故fX= ，-1x1 0，其它，同理得 fY= ，-1y1 0，其它 因ffXfY，所以X与Y不相互独立。 又如，若事务A，B满意A？奂B，则PP，反之不真。 例如，设P=0.1，P=0.2，P=0.2 由P=P+P-P得P=0.1， 故P=P-P=0 由概率为0的事务不肯定是不行能事务，这意味着可有A-AB？准，从而未必有A？奂B。 三、反例有利于发觉和订正学习中出现的错误 在辨析错误时，由于反例具有很强的劝
5、服力，所以在教学中学生可以举反例获得正确的结论。 例如，设有4张形态、大小、质量完全一样的卡片上面分别写有数字112，121，211，222。現从4张卡片中任抽一张，以随机变量X，Y，Z分别表示抽到卡片上的第一、二、三位数字，则 PX=1=PY=1=PZ=1= ， PX=1，Y=1=PY=1，Z=1=PZ=1，X=1= 故X，Y，Z两两独立，但PX=1，Y=1，Z=1=0 =PX=1PY=1PZ=1故X，Y，Z不相互独立。 又如，设有一匀称正八面体，其第1，2，3，4面涂红色，第1，2，3，5面涂黄色，第1，6，7，8面涂蓝色，现以A，B，C分别表示投正八面体一次，底面出现红，黄，蓝颜色的事务
6、，则P=P=P= ，P= =PPP，而P= =PP，P= =PP，P= =PP，故A，B，C不两两独立。 即由P=PPP不能得到A，B，C两两相互独立的结论。 四、反例教学有利于培育学生的创新实力 概率论教学中，反例的教学对培育学生的思维严谨性与批判性方面特别重要。在教学中老师要引导学生自己构造反例，培育学生独立思索擅长动脑的好习惯，为以后专业课的学习供应很好的借鉴方法。提出反例须要学生要有扎实的基础学问，敏捷运用公式的实力及擅长思索独立解决问题的实力。这对学生提出了更高的学习要求。 例如，是否存在既非离散型又非连续型的分布函数？ 如F=0 x0 0x11 x1，由分布函数的定义可知F是分布函
7、数，由于F对应随机变量取值不是有限个或可列多个，故F不是离散型随机变量，又因为F在x=0不连续，所以F不是连续性随机变量，即存在既不离散又不连续的分布函数。 总之，学生在学习概率论时，要留意区分概念、区分原理，在概念的理解与原理的应用上下功夫。对学问的理解上多反问自己，擅长举反例，只有这样才能弄清概念及性质以达到敏捷应用的目的。 参考文献： 1郭同德，贾军国编.概率论与数理统计M.郑州高校出版社.2022. 2李艳萍.概率论中反例的应用体会J.佳木斯教化学院学报，2022，：182-183. 3林穗华.浅谈反例在概率论教学中的作用J.南宁师范高等专科学校学报，2022，：122-123. 4王珍，朱少平.概率分布教学中的反例J.科技信息，2022，：51. 5申广君.概率论与数理统计课程中反例教学的例证探讨J.高校教化，2022，：84-85. 作者简介： 董留栓，男，汉族，河南郑州人，中原工学院信息商务学院副教授，讲师，硕士学位，探讨方向：群论与代数图论。 霍振宏，男，河南郑州人，中原工学院理学院副教授。 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页