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1、依概率收敛的几个等价命题及其应用 摘 要: 依概率收敛在整个概率论和数理统计中占有非常重要的地位,应用也及其广泛,本文给出了三个依概率收敛的等价命题和严格的数学证明过程,使依概率收敛更加完整和严密。文章最终给出了一个详细的应用实例,验证了依概率收敛的几个等价命题可以起到简化问题的作用。 关键词: 依概率收敛 可测函数 数学期望 1.引言 依概率收敛广泛的应用于各个领域,如大数定律和中心极限定理,可以说它是整个统计学的基本工具之一。但依概率收敛在函数期望的求法中应用极少,特殊是极大值、微小值的期望。本文给出了依概率收敛在此方面的应用,与传统求期望的方法相比,我们可以用此很简洁地计算期望值。本文同
2、时给出了依概率收敛的三个等价命题,并用测度论的学问严格的证明白其正确性,使依概率收敛的性质更加完整和严密。为使结构更加完整,在文章的最终给出了详细的应用实例。本文详细支配如下:其次部分给出了下文将要用到的几个引理和定理;在第三部分阐述了本文的主要结果;文章的最终给出了应用实例。 2.定义与引理 定义12:设(,X,P)是一个概率空间,X是取自样本空间(,X,P)的n个样本。假如对?坌0,有:P|X-X|=0,则我们称X依概率收敛到X,记为:XX(n)。 引理13:假定g(x)是一个非零的Borel可测函数,满意Eg(x)c)=0, 则对?坌0,有:P(|x|)。 定理13:(有界收敛定理)假定
3、XX(n),且存在一个常数b,使得P(|X|b)=1,则EX=EX。 证明:设x是实数集,满意F在每一个i都连续,则有下式成立: xPx0,则EXEXEXMEXM。 右边的收敛是依据有界收敛定理而得。 由此就有EXMinfEXsupEXEX, 由引理2,问题得证。 3.三个等价定理及其证明 定理3:XX(n),当且仅当E=0。 定理4:XX(n),当且仅当E|X-X|C=0,这里C是随意实数。 定理5:E|X-X|C=0,当且仅当E=0,这里C是随意实数。 定理3的证明:令g(x)=,则a.s.supg(x)=a.s.sup。 由引理1: E-P(|X|)E(1) 则对随意,假如令r=1,X=
4、X-X,由(1)可得: E0和XX(n)是等价的。证毕。 定理5的证明:假如左边式子成立, 则当C=1时, EE|X-X|10(2) 当C1,并假定它是一个有限的实常数,则: E|X-X|C=CE|X-X|10。 因此,E|X-X|10。由(2),则右边成立。 当C时,由引理2,E|X-X|C=E|X-X|, 则由单调收敛定理,E|X-X|E()0。 由以上的证明过程可得,当定理5左边成立时,对取遍全部的实数C,定理5右侧仍旧成立。下面假定定理5右边成立,即:E=0。也就是说,0,a.s.;而且,|X-X|0,a.s.,因此|X-X|C0,a.s.则由E|X|=0和|X|=0,a.s.的等价性
5、可得下式成立E|X-X|C=0,a.s.,即E|X-X|C=0。 由传递性,可得定理4成立。 4.应用 上述定理在期望与依概率收敛之间架起了一座桥梁。由以上定理,我们可以很轻松地计算平常很难处理的问题。这里我们就举一个例子来说明定理的应用。 引理3:(Khinchine theorem)假定随机变量X,X,L,X,L相互独立同分布,且有E(X)=(k=1,2,L),则?坌0,都有下式成立:P|-|=0,i.e.。 例:假定随机变量X,X,L,X,L(n)相互独立同分布于泊松分布(),则E(X)=(k=1,2,L),由Khinchine theorem,则: =X。 再由定理4,|-|C=0。
6、这里C是随意实常数,且有=0。 参考文献: 1陈希孺.数理统计引论M.北京:科学出版社,11012. 2严士健等.概率论基础M.北京:科学出版社,11012. 3陆传荣,林正炎等.概率论极限理论引论M.北京:高等教化出版社,2001. 4Thomas G.Kurtz.Lectures on Stochastic Analysis.Departments of Mathematics and Statistics University of Wisconsin-Madison. 5李裕奇等.概率论与数理统计(上).北京:国防工业出版社,2001. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页