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1、浅谈丢番图方程x31=3qPy2的整数解 摘 要：随着数论探讨内容的不断深化，现阶段数论探讨方向渐渐向整数解问题转移，本文以x31=3qPy2这一丢番图方程的整数解为主要探讨对象，这不仅能够丰富数论探讨内容，而且还会探究出丢番图方程多样探讨方法，同时，有利于吸引相关数学学者对此绽开关注，优化丢番图方程问题解决方法，深化丢番图方程理论探讨。本文主要分为四部分，第一部分主要对丢番图方程绽开了基本介绍，其次部分分析了丢番图方程引理，第三部分总结了相关理论，最终一部分进行了定理说明。 关键词：丢番图方程；整数解；平方剩余；同余式 中图分类号：O156.7 文献标识码：A 文章编号：1673-20642
2、0-0207-02 目前，探讨丢番图方程的学者较多，不同学者针对同一方程所应用的方法不尽相同，虽然整数解处理方法尚未统一，但正是不同方法的差异性应用促进数论内容不断丰富。丢番图方程定理较困难，个别定理具有生活好用性，部分定理结论尚未明确，从中能够看出，丢番图方程整数解探讨方面仍需相关学者不断努力，以此拓展探讨范围，探究探讨新型探讨成果。由此可见，本文针对丢番图方程x31=3qPy2整数解进行探究，具有肯定理论意义和现实意义，详细分析如下。 1 丢番图方程基本介绍 丢番图方程有两种名称，第一种为不定方程，其次种为整数系多项式方程，详细指的是整数系方程，方程内在变量为一个或多个，受相关限制性因素影
3、响，这种方程的求解方式不用于实数方程，即所得方程解仅限整数范围内。丢番图最早探讨时间为公元3世纪，探讨者为希腊人，该方程主要以整数解为主要探讨内容，探讨目标有三个，目标一为方程解步骤推断，目标二为方程解个数确定，目标三为方程解结果明确1。 丢番图问题即针对等式对应的整数组合详细确定，这一问题所绽开的探讨即丢番图有效性分析。丢番图方程例子主要有四种，第一种即勾股定理整数解，其次种即费马最终定理，第三种为贝祖等式，第四种为四平方和定理。其中，不定方程形式为m11+m22+mnn=c的方程，则是c的因子，这是不定方程有整数解的充要条件，假如有二元一次不定方程AX+ BY= C，且|C，则其必有一组整
4、数解X1，Y1，并且还有以下关系式2： *X=X1+B/t *Y=Y1-A/t 其中，t為随意整数，因此，不定方程解有无限多个。 丢番图方程发展、应用的过程中，始终探讨的问题主要有“是否可以解答？”、“解答结果有几种？”、“解答数目有多少？”、“解答结果能详细确定吗？”。现如今，丢番图方程探讨过程中主要发展方向有三方面，即丢番图集递归可枚举集、探讨方法无穷递降法、探讨原理哈赛原理、丢番图靠近系数为无理数不等式，变量为整数3。 2 丢番图方程引理 丢番图是希腊闻名数学家，被人们称为代数之父，这位数学家将所要探讨的问题通过符号代替数的方式来深化探讨。其中，不定方程探讨最早理论探讨体现于白鸡问题分析
5、中，即用一百零一钱购买白鸡，鸡翁一，直钱一，鸡母一，鸡雏三，直钱三，直钱五，问母、雏、鸡翁数量各为多少？解决这一数学问题时，分别用M、P、Q代表母、雏、鸡翁个数，这一数学问题即非负整数解M、P、Q，同时，也是三元不定方程组问题。对于丢番图的年龄计算，已知条件为：幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又过了七分之一才结婚，五年后生子，子先父四而卒，寿为其父二分之一。”计算丢番图的方程为M/6+M/12+M/7+5+ M/2+4=M，M=84，从中可知，丢番图享年84岁。除了这种算法外，还可以通过这种算法进行年龄计算，即9/1-4。 丢番图方程，当M不含6k+1形素因子、M含6k+1形素因子，以及M
6、含1个或2个6k+1形素因子等状况进行探讨，引出如下引理5。 引理1，假如Q=3e+1，eN，则QX2-3Y2=1的最小解为。引理2，设Q为奇素数，则丢番图方程4X14-QY12=1只有正数解Q=3，X1=Y1=1和Q=7，X1=2，Y1=3。引理3，设Q是一个奇素数，则丢番图方程X14-QY12=1只有正数解Q=5，X1=3.Y1=4和Q=29，X1=101，Y1=18206。 3 相关结论 定理1，设Q=，ri，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的奇素数，Q为奇素数，这时丢番图方程为X3+1=3mQY2。在三种不同条件下，平凡解=。 条件一：m=27e2+1，eN，Q满意下列三
7、种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m；m1，7，17，23，。条件二：m=12e2+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m；m1，7，17，23，。条件三：m=3+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m；m1，7，17，23，。 定理2，设Q=，ri，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的奇素数，Q为奇素数，这时丢番图方程为X3-1=3mQY2。在三种不同条件下，平凡解=7。 条件一：m=27e2+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m；m1，7，17，23，。条件二：m=12e2+1，eN，Q满意下列三种
8、条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m；m1，7，17，23，。条件三：m=3+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m；m1，7，17，23，。 4 定理证明 证明：设是方程X3+1=3mQY2的整数解，即=3，X2-X+10。又ri，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的素数，即X2-X+10，并且i大于等于1，小于等于s，这时方程X3+1=3mQY2有下列两种情形，分别为X+1=9Qu2，X2-X+1=3mv2，Y=3uv，=1；X+1=9Qu2，X2-X+1=3v2，Y=3uv，=1。 情形一：将X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，m
9、2-32=1，则是方程eX2-3Y2=1的一组解。对于条件一：m=27e2+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m；m1，7，17，23，。因为是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m2-32=1表示为2vm+3=m+3e32n+1，。 由2vm+3=m+3e32n+1，可得6Qu2-1，因为3|3e，所以-1，较冲突，从中可知，上述假设不成立。 对于条件二：m=12e2+1，eN，Q满意下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m；m1，7，17，23，。因为是方程eX2-3Y2=1的最小解，则方程m2-32=1的全部整数解表示为2vm+3=m+3e32n+1，
10、。由2vm+3=m+3e32n+1，可得，6Qu2-1，因为2|2e，所以-1，较冲突，从中可知，上述假设不成立。条件三利用同样方法证明，也不成立。 情形二，将X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，2-32=1，则是方程X2-3Y2=1的根本解，因此有6mQu2-1=Yn，即6mQu2-1=Yn+1，仅考虑6mQu2=Yn+1，因此，Yn。以此代入可知，方程X3+1=3mQY2的平凡解=，即定理1成立。 5 结论 综上所述，针对丢番图方程x31=3qPy2进行整数解分析，通过相关引理，得出相关结论，同时，对其进行定理证明，这对丢番图方程深化分析具有重要意义。本文所探讨的丢番图方程
11、在方法应用以及定理证明等方面仍存在些许不足，要想实现丢番图方程的有效性分析，应接着分析探讨理论，针对相关理论进行价值探讨、全面学习，以此提高丢番图方程整数解的精确性。 参考文献 1杜先存.丢番图方程x31=3qPy2的整数解N. 郑州高校学报：理学版，2022，：38-41+45. 2尚旭，王泽灯.关于不定方程x2+4n=y的整数解J.渭南师范学院学报，2022，：33-41. 3杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程X31=1267y2的整数解J.数学的实践与相识，2022，：288-292. 4管训贵，杜先存.关于丢番图方程x3-1=13py2的整数解J.沈阳高校学报：自然科学版，2022，
12、：511-513. 5李彤，夏张莉，宿伟玲.求解丢番图方程的模拟植物生长算法J.中国管理科学，2022，：143-147. 6杜先存，孙映成，万飞.关于丢番图方程x3+1=3pqy2的整数解J.西南师范高校学报：自然科学版，2022，：18-22. 7管训贵，杜先存.关于丢番图方程x3+1=13py2的整数解J.贵州师范高校学报：自然科学版，2022，：36-38. 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页